2019版高考数学大一轮复习第七章不等式第1节不等式的性质与一元二次不等式学案北师大版

1、第 1 节 不等式的性质与一元二次不等式最新考纲1. 了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次 不等式，会设计求解的算法框图.I 基础摻断回归教材，夯实基础知识梳理1. 两个实数比较大小的方法ab0?ab,(1)作差法ab= 0?a=b,abv0?asb；ab 1?ab(aR, b0),a作商法1?a=b(aR, b0),ai 1?asb(aR,b0).2. 不等式的性质(1)对称性：ab?bva；传

2、递性：ab,bc?ac；(3)可加性：ab?a+cb+c；ab, cd?a+cb+d；可乘性：ab,c0?acbc；ab0,cd0?acbd；(5)可乘方：ab0?anbn(n N,n 1)；可开方：ab0? 鵬换 5 N,n2).3.三个“二次”间的关系2判别式 =b 4ac 0 =0 v0二次函数y=ax2+bxIOl/lu /+c(a 0)的图像1 V 1一兀二次方程ax+bx有两相异实根X1,有两相等实根X1=X2b没有实数根+c= 0 (a 0)的根X2(X1vX2)=2a22ax+bx+c 0 (a 0)的解集x|xX2或xvX1,bl叹|XM芮?R2ax+bx+cv0 (a0)的

3、解集x|x1vxvX2?常用结论与微点提醒1. 有关分数的性质卄b b+m b bm(1) 若ab0, m0,贝ya0).1 1若ab0,且ab?-0,求解时不要忘记讨论a= 0 时的情形.3. 当 O(a 0)的解集为 R 还是？，要注意区别诊断自测1.思考辨析(在括号内打“V”或“x”)(1)ab?ac2bc2.()2若不等式ax+bx+cv0 的解集为(X1,X2)，则必有a 0.()若方程ax2+bx+c= 0(av0)没有实数根，则不等式ax2+bx+c0 的解集为 R.()不等式ax2+bx+cW0在 R 上恒成立的条件是av0 且4=b2 4acbc2?ab；反之，c= 0 时，

4、ab? /ac2bc2.若方程ax2+bx+c= 0(a0 的解集为?.当a=b= 0,c0 时，不等式ax2+bx+cb0,cvdv0，则一定有(a bA. -d cc bc d解析 因为cvdv0,所以 0cd，两边同乘一a ba b等式的性质可知-a-c0.两边同乘1，得avb.答案 B23.设集合M=x|x 3xa bB.v-dcD.a avb cd得一d 20,又ab0,故由不340 ,N= x|0 x 5，贝 U MAN等于()A.(0 , 4B.0 , 4)C. 1, 0)D.( 1, 02解析TM= x|x 3x 40 = x| 1x4, MTN=0,4).答案 B4. (20

5、18 榆林模拟)不等式黑1 的解集是 _.21 x解析由 1 得 0，解得x1 或x 1.答案x|x15. 已知函数f(x) =ax2+ax 1,若对任意实数x，恒有f(x) 0,则实数a的取值范围是解析若a= 0,贝Uf(x) = 1W0恒成立，若 0,则由题意，得a0,2解得4Wa0,A =a+4abaB.acbC.cbaD.acb1 1 1 1 1 1(2)( 一题多解)若ab0:aabbIna2 Inb2.其中正确的不等式是()2 2 2又b+c= 6 4a+ 3a, 2b= 2 + 2a, b=a+ 1,4A.B.C.D.2 2解析(1)Tcb= 4 4a+a= (a 2) 0,.c

6、b.5ba,.cba.1 1法一 因为ab0，故可取a= 1,b= 2.2 2 2 2显然 |a| +b= 1 2 = 1 0，所以错误.综上所述，可排除 A, B, D.1 1 1 1 1 法二由ab 0，可知ba 0.中，因为a+b 0，所以 0.故有ab1乔，即正确；2中，因为baa 0.故一b |a|，即|a| +b 0,故错误；1 1113中，因为ba 0,又一 匸 二 0,a bab11所以a-b匚，故正确；ab2_ 224中，因为baa0,而y= Inx在 定义域（0,+）上为增函数，所以 Inb3 4Ina2,故错误.由以上分析，知正确.答案（1）A（2）C规律方法1.比较大小

7、常用的方法: （1）作差法；（2）作商法；（3）函数的单调性法.2.判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除.【训练 1】（1）（2018 赣州、吉安、抚州七校联考）设 0abbb .C.a1q= 2 ，其中a2,xR,贝 Up,q的大小关系是3 1由a2，故p=a+= (a 2) + 22+ 2 = 4,当且仅当a= 3 时取等号.因为a 2a 22ba=aa+ 1 =123a a2 +4，D.Ig(ba)qB.pqC.p2xax（a 0.1当a= 0 时，原不等式化为x+ K0,解得xw1.（22当av0 时，原不等式化为xa（x+1）w0.22

8、当一一 1,即av2 时，解得一 1wxw-；aa2当_= 1，即卩a= 2 时，解得x= 1 满足题意；a22当一v1,即一 2vav0,解得一wxw 1.aa综上所述，当a= 0 时，不等式的解集为x|xw1；当一 2vav0 时，不等式的解集为lx |wxw 1 ,； 当a= 2 时，不等式的解集为 1；当av 2 时，不等式的解集为 ix| 1wxwa，.规律方法 含有参数的不等式的求解，往往需要比较（相应方程）根的大小, 讨X2 2- 2，所以q= 22=4,当且仅当x= 0 时取等号，所以pq.答案（1）D（2）A考点二一元二次不等式的解法（多维探究）命题角度 1 不含参的不等式【

9、例 2 1】（2018 河北重点八所中学模拟）不等式 2x2x 30 的解集为fAx|ix2 或x 1Cx|解析-3x1 或x3 或x0 的解集为，x|x2 或x对参数进行分类8论:(1) 若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2) 若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集2 1 112【训练 2】 已知不等式ax2bx 10 的解集是x| -x0的解集是_ .r 1+fb二11、22+l3 厂a，解析 由题意，知一：，

10、一是方程axbx 1 = 0 的两个根，且a0为x2 5x+ 60,解得x3或x3或x2考点三不等式的恒成立问题(多维探究)命题角度 1 在 R 上恒成立【例 3 1若一元二次不等式 2kx2+kx3v0 对一切实数x都成立，则k的取值范围为8( )B. 3, 0)C. 3, 0 D.( 3, 0)3解析 一元二次不等式 2kx2+kxv0 对一切实数x都成立,82kv0,则必有2=k4X2解之得3vkv0.答案 D命题角度 2 在给定区间上恒成立【例 3 2( 一题多解)设函数f(x) =mxmx-1(m 0)，若对于x 1 , 3 ,f(x)vm+ 5 恒成立，则m的取值范围是_ .A.(

11、 3, 0kx一3v0,9解析 要使f(x)vm 5 在1 , 3上恒成立,102故mxmx+ m-60,即mx+ 3m 6v0 在x 1 , 3上恒成立.0 时，g(x)在1 , 3上是增函数，所以g(x)max=g(3) = 7n 6v0.6 6所以nv7,贝 U 0vnv7.当nv0 时，g(x)在1 , 3上是减函数，所以g(x)max=g(1) =m-6v0.所以nv6,所以mv0.综上所述，m的取值范围是 im 0vm 0,26又因为n(xx+ 1) 6v0，所以xx+ 1-在1 , 3上的最小值为？所以只需即可.377x+ -2 十 4因为 m0,所以m的取值范围是HI答案”或m

12、V。令g(x)=因为函数y=26,1xx+ 1A.(s,2)U(3,+s)B.(s,1)U(2,+s)C.(s,1)U(3,+s)D.(1 , 3)11命题角度 3给定参数范围的恒成立问题【例 3 3】2已知a 1, 1时不等式x+ (a 4)x+ 4 2a0 恒成立，则x的取值范围为()12解析 把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a) = (x 2)a+x2-4x+ 4,则由f(a) 0 对于任意的a 1, 1恒成立，所以f( 1) =x2 5x+ 6 0,且f=x2 3x+ 2 0 即可，-2x5x+60,解不等式组2得xv1 或x 3.x 3x+ 2 0,答案 C规律方法(1)对

13、于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0 就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元,求谁的范围，谁就是参数【训练 3】(1)若不等式x2 2x+ 5a2 3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是( )A. 1 , 4B. (a, 2U5，+m)C. (a, 1U4,+a)D. 2, 5 已知函数f(x) =x+mx1,若对于任意xm耐 1，都有f(x)v0 成立，则实数m的取值范围是_.

14、解析(1)由于x2 2x+ 5 = (x 1)2+ 4 的最小值为 4,所以x2 2x+ 5a2 3a对任意实数x恒成立，只需a2 3a4,解得Ka4.二次函数f(x)对于任意xm+ 1,都有f(x)v0 成立,13f(m=m+m1v0,则f(m1) = ( m+1)2+m( m+1)1v0,解得vmv0.答案 (1)A分层训练、据升能力14、选择题X 21.(2018 九江一模)已知集合A=x-g(x)C.f(x)vg(x)D.随x的值变化而变化2 2解析f(x) g(x) =x 2x+ 2 = (x 1) + 1 0?f(x) g(x).答案 B3.(2018 河南百校联盟模拟)设a,b

15、R,则“(ab)a2 0”是“ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2解析 由(ab)a0,推不出ab,女口a= 0 ,b= 2 ,因为a20 ,ab,所以(ab)a20 ,故“(ab)a2 0 ”是“ab”的必要不充分条件.答案 B4. (2018 清远一中一模)关于x的不等式axb0 的解集是()A.(a , 1)U(3,)B.(1,3)D.(a ,1)U(3, +a)解析 关于x的不等式axb0 即axb的解集是(1 ,+a), a=b0 可化为(x+ 1)(x 3)0 ,解得1x3 ,基础巩固题组(建议用时：40 分钟)A.1 , 2B.

16、0 ,1, 2C.1D.1 , 2, 3解析A=x0 x 0 恒成立，则b的取值范围是()A. ( 1，0)B. (2,+s)C. (s,1)U(2,+s)D. 不能确定a解析 由f(1 x) =f(1 +x)知f(x)的图像关于直线x= 1 对称，即 2= 1,解得a= 2.又因为f(x)开口向下，所以当x 1, 1时，f(x)为增函数，2 2所以f(x)min=f( 1) = 1 2+bb+ 1 =bb 2,f(x) 0 恒成立，即b2b 20 恒成立，解得bv1 或b2.答案 C二、填空题f 2x+ 2x,x 0,6. 已知函数f(x) =2则不等式f(x) 3 的解集为 _.x+2x,

17、xv0,X 0,xv0,解析 由题意知2或2解得x 1.故原不等式的解集为x|x 1.|x2+ 2x 3x2+ 2x 3,答案x|x 17. (2018 郑州调研改编)规定记号O”表示一种运算，定义aOb=.：ab+a+b(a,b为正实数)，若 1Ok23，则k的取值范围是 _ .解析 由题意知，k2+1 +k23,化为(|k| + 2)(|k| 1)0，所以 |k|1 ,所以1k1.答案(1, 1)8. 不等式(a 2)x2+ 2(a 2)x 40 对一切x R 恒成立，则实数a的取值范围是 _ .16解析 当a 2= 0, 即卩a= 2 时，不等式即为一 40,对一切x R 恒成立，a 2

18、0,当a2时，则有2A =4(a2)+16(a2)0,17解得2a0;若不等式f(x) b的解集为(一 1, 3)，求实数a,b的值.解由题意知f(1) = 3+a(6 a) + 6=a2+ 6a+ 3 0,即a2 6a 3v0,解得 3 2 _ 3vav3+2 3.所以不等式的解集为a|3 2 3vav3+ 2 3.(2)/ f(x) b的解集为(1, 3),方程一 3x2+a(6 a)x+ 6 b= 0 的两根为一 1, 3,故a的值为 33,b的值为一 3.10.某商品每件成本价为 80 元，售价为 100 元，每天售出 100 件.若售价降低x成(1 成=10%),8售出商品数量就增加

19、 5x成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y=f(x)，并写出定义域;(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260 元，求x的取值范围f x、(8、解由题意得，y= 100 i110 1001+5QX.因为售价不能低于成本价，所以100 1 10 80 0.所以y=f(x) = 40(10 x)(25 + 4x),定义域为x|0wxw2.(2)由题意得 40(10 x)(25 + 4x) 10 260 ,2113化简得 8x 30 x+13 时，产2，则原不等式的解集是当a= 0 时，原不等式为一(x 2)v0,解得x 2,即原不等式的解集是x|x 2.a(x 2)ix1v0,根据不等式的性质，这个不等式等a7价于(x 2) (建议用时：20 分钟)11. (2018 咸阳模拟)已知 0a0ab1B.22a+b1C.log2a+ log2b 2 D.2b a2解析 由题意知 0a1,此时 log2a0, A 错误；由已知得 0a1, 0b1，所以1b0