2012年上海市高考数学试卷文科教师版

1、2012年上海市高考数学试卷（文科） 一、填空题（本大题共有14题，满分56分） = 12i （i（4分）（2012?上海）计算：为虚数单位）1 【分析】由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1i，再由进行计算即可得到答案 解：【解答】 故答案为12i 2（4分）（2012?上海）若集合A=x|2x10，B=x|x|1，则AB= （， 1） 【分析】由题意，可先化简两个集合A，B，再求两个集合的交集得到答案 【解答】解：由题意A=x|2x10=x|x，B=x|1x1， AB=（，1） 故答案为（，1） 的最小正周期是 4分）（2012?上海）函数 3（ 【分析】先根据二阶行列式的公式求出函数的

2、解析式，然后利用二倍角公式进行化简，最后根据正弦函数的周期公式进行求解即可 =sinxcosx+2=sin2x +2【解答】解： T= 的最小正周期是 函数 故答案为： ，的倾斜角的的一个方向向量，则l 是直线l 42012?（上海）若分）（4 （结果用反三角函数值表示） 大小为 arctan 【分析】根据直线的方向向量的坐标一般为（1，k）可得直线的斜率，根据tan=k，最后利用反三角可求出倾斜角 ，的一个方向向量l 是直线 解：【解答】 tan=即l的斜率为直线 arctan的倾斜角的大小为则l arctan故答案为： 5（4分）（2012?上海）一个高为2的圆柱，底面周长为2，该圆柱的表

3、面积为 6 【分析】求出圆柱的底面半径，然后直接求出圆柱的表面积即可 【解答】解：因为一个高为2的圆柱，底面周长为2， 所以它的底面半径为：1， 2×+2××S=2S+S=212=6所以圆柱的表面积为 侧底故答案为：6 xx1+3=0的解是 2x=log3 6（4分）（2012?上海）方程4 2 xx1x2x+2变形为（2【分析】根据指数幂的运算性质可将方程422）×3=0xx的一元二次方程即可2看做整体解关于3=0然后将2 xx1+3=0解：42【解答】 x2x3=0×）2（22 xx+1）（2（2=03 x20 x23=0 x=log3 2

4、故答案为x=log3 2 7（4分）（2012?上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比 数列，体积分别记为V，V，V，则 （V+V+V） n2211n 是以1为首项，以= 由题意可得，正方体的体积【分析】 为公比 的等比数，由等不数列的求和公式可求 【解答】解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为a n 则 是以1为首项，以= 为公比的等比数列 = v）=V+V+则 （ n21 故答案为： 的二项式展开式中，常数项等于 20上海）在 8（4分）（2012? 【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项 r2rr66r ）（）x

5、 =（【解答】解：展开式的通项为T=1x 1r+ r=3令62r=0可得 3 201常数项为（）= 20故答案为： ）是奇函数，若49（分）（2012?上海）已知y=f（xg（x）=f（x+2且g（1 31（）= =1，则g ）=fg）+（x）（x（=fg（y=fx）是奇函数，（x）（x）+2得到gx【分析】由题意，从而解出答案=4（1）12=4（+2+fx）+，再令x=1即可得到+g 2+（【解答】解：由题意y=fx）是奇函数，gx）=f（x） 2=4+（2+fx）+=fg（gx）+（x）（x） =1又g）（1 =31=4g1+（1），解得g（） 3故答案为： 的最小的目标函数y2|2z=y

6、xx上海）满足约束条件（10（4分）2012?|+ 2值是 y+作出约束条件对应的平面区域，由【分析】z=yx可得y=xz为直线在，则z越小，结合图形可求轴上的截距，解决越小，z 解：作出约束条件对应的平面区域，如图所示【解答】 越小zzy=xxz=y由于可得+，则为直线在轴上的截距，截距越小，yz ，此时可得最小，由z时过z+结合图形可知，当直线y=xC）0，（C2 Z=2最小 故答案为：2 上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人2012?分）（11（4 （结果用最 只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是 简分数表示） 然后求出有且仅有两人选择的项目完【分析】先求

7、出三个同学选择的所求种数，全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可 解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球【解答】 种3=27三个同学共有3×3× 种× ×有且仅有两人选择的项目完全相同有 =18 表示从三种组合中选一个，2个同学选择相同的项目，表示其中 3 个同学中选 种选择2表示剩下的一个同学有 =故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 故答案为： 、，若M的长分别为2、1中，边分）（2012?上海）在矩形ABCDAB、AD（124 ，则上的点，分别是边NBC、CD且满足， 1的取值范围是 4 轴，建立坐标系

8、，写轴，以所在的直线为先以【分析】 x 所在的直线为y出要用的点的坐标，根据两个点的位置得到坐标之间的关系，表示出两个向量的数量积，根据动点的位置得到自变量的取值范围，做出函数的范围，即要求得数量积的范围 轴，建立坐标系如y轴，以 所在的直线为【解答】解：以 所在的直线为x图， ，AD=1AB=2， ，1）1），D（0，B（2，0），C（2，A（00） ，1），N（x，）设M（2，b ， b= ， ， ）（2 ，= ， = ， 1 4 即1 41，故答案为： 、0）0其中A（，x上海）413（分）（2012?已知函数y=f（）的图象是折线段ABC ，轴围成的图形的x）的图象与1x0（）x（y=

9、xf，函数）0，1（C、 面积为 【分析】先利用一次函数的解析式的求法，求得分段函数f（x）的函数解析式，进而求得函数y=xf（x）（0x1）的函数解析式，最后利用定积分的几何意义和微积分基本定理计算所求面积即可 【解答】解：依题意，当0x时，f（x）=2x，当x1时，f（x）=2x+2 ， f（x）= ， ， y=xf（x）= ， + S=轴围成的图形的面积为）的图象与x0x1（y=xf（x） 23 = =+x）（ =x+ 故答案为： ，各项均为正数的数列a满足a2012?分）（上海）已知 =1，14（41n a=f（a），若a=a，则a+a的值是 112n2012202010n+ 【分析】

10、根据 ，各项均为正数的数列a满足a=1，a=f（a），可n1nn2 + ，利用a=a， ，可得，a=1， ， ，a=确定 2012712010 a=（负值舍去），依次往前推得到a=，由此可得结论 202010 【解答】解： ，各项均为正数的数列a满足a=1，a=f（a）， nn1n2 + ，a=，=1a， ， ， 71 a=a， 20122010 a=（负值舍去），由a=得a= 200820102010 依次往前推得到a= 20 a+a= 1120 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 2 +bx+c=0是关于x的实系数方程x分）（2012?上海）若 的一个复 i15（5 数根

11、，则（ ） Ab=2，c=3Bb=2，c=1Cb=2，c=1Db=2，c=3 2+bx+由题意，将根代入实系数方程xc=0整理后根据得数相等的充要条【分析】 ，b的方程组解方程得出a，b的值即可选件得到关于实数a， 出正确选项 2 +bxx+c=0+的实系数方程 i是关于x【解答】解：由题意1 +b+ bi+c=0，即 1+2 i2 ，解得b=2，c=3 故选：D 22=1对应的曲mxny+，“mn0”是“方程（16（5分）2012?上海）对于实数m，n线是椭圆”的（ ） A充分不必要条件B必要不充分条件 D既不充分也不必要条件C充分必要条件 22=1ny的曲线是椭圆；这里可以利0看能否得出方

12、程mx+【分析】先根据mn22=1ny用举出特值的方法来验证，再看方程mx的曲线是椭圆，根据椭圆的+方程的定义，可以得出mn0，即可得到结论 22=1的曲线不一定是椭圆，+时，方程mn0mxny解：当【解答】 22=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，nmx例如：当m=n=1时，方程都是+ny负数，曲线表示的也不是椭圆； 故前者不是后者的充分条件； 22，且两个量不相等，得0都大于n，m的曲线是椭圆时，应有=1ny+mx当方程到mn0； 22=1的曲线是椭圆”+ny0”是“方程mx的必要不充分条件由上可得：“mn 故选：B 222C，则sinABCA+sin的形状是B17（5分）（2012?上海

13、）在ABC中，若sin（ ） A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定 222222，由余弦定理可得cC，结合正弦定理可得，sinaA+sinbBsin+由【分析】 可判断C的取值范围CosC= 222，sin+sinCB【解答】解：sinA 222c由正弦定理可得，a+b 由余弦定理可得cosC= ABC是钝角三角形 故选：C *，则在S，sin（nNS）=sin18（5分）（2012?上海）若S+sin+ 21n S中，正数的个数是（ ） 100A16B72C86D100 【分析】由于sin0，sin0，sin0，sin=0，sin0，sin 0，sin=0，可得到S0，S=0，而S

14、=0，从而可得到周期性的规律，14131 从而得到答案 【解答】解：sin0，sin0，sin0，sin=0，sin0，sin 0，sin=0， S=sin0， 1 S=sin+sin0， 2 ， S=sin+sin+sin+sin+sin=sin+sin+sin0， 8 ， S0， 12 而S=sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin=0， 13 S=S+sin=0+0=0， 1314 又S=S+sin=0+sin=S0，S=S0，S=S=0，S=S=0， 1416132271152814 S=0，S=0（nN*），在1，2，100中，能被14整除的共7项， 14n14n1在S

15、，S，S中，为0的项共有14项，其余项都为正数 10012故在S，S，S中，正数的个数是86 10021故选：C 三、解答题（本大题共有5题，满分74分） 19（12分）（2012?上海）如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC ，PA=2 ，求：的中点，已知BAC=，AB=2， （1）三棱锥PABC的体积； （2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示） ， ABC的面积：S=首先根据三角形面积公式，【分析】（1）算出直角三角形 ABC的体积；ABC底面ABC，结合锥体体积公式，得到三棱锥P然后根据PA ，BCDEDEAE、，在PBC中，根据中位线定理得到E2（）

16、取BP中点，连接中，利所成的角然后在ADE（或其补角）是异面直线BC、AD所以ADE 是锐角，因此，异面直线，所以ADE=arccosADE=用余弦定理得到cos arccosADBC与所成的角的大小 ， BAC=，AB=2， 【解答】解：（1） 2× =S=× ABC 又PA底面ABC，PA=2 ；PA=××S三棱锥PABC的体积为：V= ABC （2）取BP中点E，连接AE、DE， PBC中，D、E分别为PC、PB中点 DEBC，所以ADE（或其补角）是异面直线BC、AD所成的角 在ADE中，DE=2，AE= ，AD=2 cosADE=，可得ADE=

17、arccos（锐角） 因此，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos ）1x+x）=lg（f20（14分）（2012?上海）已知（ 的取值范围；，求x（x）1f0（12x）f（1）若 ，求函）=f（xx1时，g（）02（）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当x）的反函数，21）（xy=g数（x ）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；1【分析】（ ）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解2（ ）2x2+1）=lg（x11x2x（1）f（）=lg（2x+）lg（f1解：【解答】（），1）lg（x+ 要使函数有意义，则 解得：由1x1 1得：1+1）=lg10，lg由0lg（22x）（x

18、，0+1x ，10x+10+122xx ，得： 由 （2）当x1，2时，2x0，1， y=g（x）=g（x2）=g（2x）=f（2x）=lg（3x）， 由单调性可知y0，lg2， y，10x=3又 x，x0，lg2所求反函数是y=310 21（14分）（2012?上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设： ； 失事船的移动路径可视为抛物线 定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援； 救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t （1）当t=0.5时，写出失

19、事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向 （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？ 中，可得P的横坐标，代入抛物线方程 （1）t=0.5时，确定P【分析】 的纵坐标，利用|AP|=，即可确定救援船速度的大小和方向； 2），7t，12t海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（ （2）设救援船的时速为v ，利用基 vt=从而可得，整理得 本不等式，即可得到结论 中， P的横坐标x=7t=，代入抛物线方程t=0.5【解答】解：（1）时， P 得P的纵坐标y=32分 P 由|AP|=，得救援船速度的大小为 海里/时4分 由tanOAP=，得OAP=arctan，故

20、救援船速度的方向为北偏东arctan 弧 度6分 2）12t此时位置为（7t，2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，（ 10 分 vt=由，整理得 22v时等成立，所以 ，当且仅当t=125因为 144×2+337=25，即v 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船14分 22=1已知双曲线C：2xyxOy22（16分）（2012?上海）在平面直角坐标系中， ，求点M 的坐标；F是C的左焦点，M是C右支上一点，若设（1） （2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； 22 =1相切，+yQ两点，若l与圆x）3设斜率为k（ 、

21、）的直线l交C于P（ 求证：OPOQ 222求，）+y利用，|MF|（=x，设）【分析】（1求出双曲线的左焦点F的坐标，M（xy） 的坐标M出x的范围，推出 （2）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出平行四边形的面积 22+1=k与已知圆相切，得到+y=kxb，通过直线PQb，的方程为）设直线（3PQ PO通过求解 =0证明OQ （的左焦点F ， ：）【解答】解：（1）双曲线C 1 222，+yx+），则|MF|=（设M（x，y ，x由M点是右支上的一点，可知 ，x=2 ，得|MF|= 所以 ，）所以M（ ，（） （2）左焦点F xy=± 渐近线方程为： 过

22、F与渐近线y= x平行的直线方程为y= （x+），即y= ， 所以，解得 所以所求平行四边形的面积为S= （3）设直线PQ的方程为y=kx+b， ， 与已知圆相切，故PQ因直线 22222，2bkxbb=k2+1，由，得（k1=0）x即 ，x，则，y）设P（x，y），Q（ 2121 b）（kx+kx又yy=（+b 2211 22 b+kb（x+x）y=xx+y=（1+k）xx+所以 21221121 = = ， 由式可知 OQPO故 ，a=maxb，m上海）（1823（分）2012?对于项数为的有穷数列a记a，21kna（k=1，2，m），即b为a，a，a中的最大值，并称数列b是n1kk2ka的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5 n（1）若各项均为正整数的数列a的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的na n（2）设b是a的控制数列，满足a+b=C（C为常数，k=1，2，m），1kmknn+求证：b=a（k=1，2，m） kk 2 n，b是a（，1），a=a 的控制数，常数（3）设m=100a nnnn 列，求（ba）+（ba）+（ba） 1001212100【分析】（1）根据题意，可得数列a为：2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，n3，4，5，3；2，3，4，5，4，；2，3，4，5，5； （