2017_18学年高中数学第二章参数方程三直线的参数方程教学案

1、三直线的参数方程对应学生用书P271 .直线的参数方程X = Xo+ t cos a过点M(X0, yo),倾斜角为a的直线l的参数为，(t为参数)y = yo+ tsin a(2)由a为直线的倾斜角知a e 0 ,兀)时，sin a >0.2 .直线参数方程中参数t的几何意义参数t的绝对值表示参数 t所对应的点 M到定点 M的距离.(1)当MM-一与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数.(2)当MM一与e反向时，t取负数,当M与M0重合时，t=0.对应学生用书P27直线的参数方程例1已知直线l的方程为3x 4y+1 = 0,点P(1,1)在直线l上，写出直线l的参 数方程，并求点

2、P到点M5,4)的距离.思路点拨由直线参数方程的概念， 先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、 余弦 值，从而得到直线参数方程.解由直线方程3x4y+1 = 0可知，直线的斜率为3,设直线的倾斜角为a,贝U tan a = I, sin a =1, cos a = .455又点P(1,1)在直线l上，4x=1 + 5t，所以直线l的参数方程为(t为参数).3y=1+5t因为3X5 4X4+ 1 = 0,所以点M在直线l上.,4由1+誉=1.设直线l过点A2 , 4）,倾斜角为55则直线l的参数方程为5兀x = 2 + t cos -,解析：直线l的参数方程为5兀y = 4 + tsin -T-

3、63 x=2-2-t , y= - 4+t x = 2-学, 答案： 1 y=- 4+2t.兀 、2. 一直线过 Po（3,4）,倾斜角 a =,求此直线与直线3x+2y=6的交点 M与P0之间的距离.x = 3+解：设直线的参数方程为将它代入已知直线3x+2y-6=0,得 3（3 + 事）+ 2（4 +乎t） = 6.,得5,即点P到点M的距离为5.【方法*规律小结】、理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t的几何意义，即直线上动点 M到定点M（t为参数），即（t为参数）的距离等于参数t的绝对值是解决此类问题的关键.|MP01=|t|=噩做聚的5.1直线参数方程的应用,兀例2 已知直线l经过

4、点P(1,1),倾斜角a =,(1)写出直线l的参数方程.(2)设l与圆x2+y2 = 4相交于两点 A、B,求点P至U A、B两点的距离之积.思路点拨(1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解., 一, .一,兀解:直线1过点R1,1),倾斜角为互,兀x= 1 + tcos,直线的参数方程为y= 1 + tsin -6,为所求.x=1+t,1y = 1 + 2t(2)因为点A, B都在直线1上，所以可设它们对应的参数为t1和t2,则点A B的坐标分别为A(1 +事 1,1+壬)，B(1 +乎t2,1 + 1t2),以直线1的参数方程代入圆的方程x2+y2=4整理

5、得到t2+bj3+1)t -2=0,因为t1和t2是方程的解，从而 142=2.所以 |PA - | PB = |t1t2| =|-2| =2.I方违，规律小结、求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数t的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷.3.直线l通过P0(4,0),倾斜角a7tl与圆x2+y2=7相交于B两点.3(1)求弦长| AB ;(2)求A、B两点坐标.,、一，兀解：.直线l通过Po( - 4,0),倾斜角a =,x= - 4 + t ,可设直线l的参数方程为ty=2.代入圆方程，得（-4+乎t） 2+号）2= 7.整理得 t244

6、3t +9=0.设A、B对应的参数分别ti和t2,由根与系数的关系得tl+t2=443, tit 2=9| AB = | t 2 - t l| =t 1 + t 2 2 4t it 2 = 2,J3.解 得11=33, 12= 3,代入直线参数方程xi 坐t,1y=2t,得A点坐标(2,立判，B点坐标(一2,平).4.如图所示，已知直线l过点R2,0),斜率为之直线l和抛物线y23=2x相交于A, B两点，设线段 AB的中点为M求：(1) P, M间的距离| PM；(2)点M的坐标.“，一，,一，4解：(1)由题意，知直线l过点P(2,0),斜率为设直线l的倾斜角为a ,则tan a =4,3

7、直线l的参数方程的标准形式为3 x=2 + 5t,4 y=5t(t为参数).*;直线l和抛物线相交,将直线l的参数方程代入抛物线方程y2=2x中,整理得 8t215t 50=0A = 152 + 4X8X50 0.设这个二次方程的两个根为由根与系数的关系得tl+t152= 一8t1t252= 一4由M为线段AB的中点, 根据t的几何意义，得| PMt1+t21516-(2)因为中点M所对应的参数为t15M=,16'将此值代入直线l的参数方程的标准形式(*),3 15 41x= 2 + -X 5 164 15 3 y= -X =- y 5 16 41641即M6应用蜀淘r I ri gv

8、o ng对应学生用书P28、选择题tx=- 1 + 21.直线的参数方程为3 y=2-223tM(1,2)和Mx, y)是该直线上的定点和动点，则t的几何意义是（）A.有向线段M0M的数量B.有向线段MM的数量C. | MMD.以上都不是解析：参数方程可化为3y=2+早-t答案：B（t是参数），则曲线是（）B.双曲线的一支D.射线x=3t2+2,x=3t2+2,2 .曲线的参数方程为y_t2_1A.线段C.圆解析：由y = t21得y+1 = t ：代入得 x 3y5=0（x>2）.故选 D.答案：Dx=2+ 3t ,3 .直线（t为参数）上对应t = 0, t = 1两点间的距离是（）

9、y= - 1 +1A. 1B. 10C. 10D. 2 ,''2解析：因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t不具有几何意义，故不能直接由1 0= 1来得距离，应将t = 0, t = 1分别代入方程得到两点坐标 （2 , 1）和（5,0）,由两点间距离公式来求出距离，即V 2-5 2+-1-0 2= 10.答案：B4.若直线x = t cosy = t sin（t为参数）与圆x= 4+ 2cos 6 , y= 2sin （）（巾为参数）相切，那兀BN么直线倾斜角兀A.?一一 y一解析：直线化为 一=tan a ,即y = tan a x, x圆方程化为（x 4）2+y2

10、=4,.|4tan a |” , 21.由河F =2? tan '=3' tan a = ± 3,又 a C 0 ,兀），a =百或-6二、填空题答案：D（t为参数）上到点M2 , -3）的距离为，2且在点M下方的点的坐标是x=2-*-t解析：把参数方程化成标准形式为y= - 3+i22-t把-t看作参数，所求的点在M2, 3）的下方，所以取一t=-® 即t=g,所以所求点的坐标为（3, 4）. 答案:（3 , - 4）3x=1-5t,6.若直线l的参数方程为4y=5t（t为参数），则直线i的斜率为解析：由参数方程可知，cos 0 =-3, sin 0 =*

11、（ 0为倾斜角）.554.tan 0=三，即为直线斜率.3-4答案：43x=1 2t,x=s,7 .已知直线l 1：（t为参数），l2：（S为参数），若l 1/ l 2,y= 2+ kty = 1 2s则 k=；若 l ill 2,则 k =.解析：将11, l 2的方程化为普通方程，得11： kx +2y 4k= 0, 1 2： 2x+y1=0, k 2 4+k11 H 12? 2=不丰-? k= 4.112? ( 2) ( 2)= 1? k=- 1.答案：4 -1三、解答题x= 5+ 3t ,8 .设直线的参数方程为(t为参数).y= 10 4t(1)求直线的普通方程；(2)将参数方程的一

12、般形式化为参数方程的标准形式.解：(1)把t=三斗弋入y的表达式 3/口4 x 5得 y = 10-,3化简得 4x+ 3y-50=0,所以直线的普通方程为4x+ 3y 50= 0.x= 5-1 - 5t ,5(2)把参数方程变形为y = 10+ 5t ,5x=5 一1令t ' = 5t ,即有(t '为参数)为参数方程的标准形式.尸吟.八一,"一4 4x2 2人, 、工"9 .已知斜率为1的直线1过椭圆-+ y =1的右焦点，交椭圆于 A, B两点，求弦AB的 长度.兀解：因为直线1的斜率为1,所以直线1的倾斜角为-4.2椭圆X4+y2=i的右焦点为(小,0),直线l的参数方程为(t为X22V3+挈2 由 2参数)，代入椭圆方程 -+ y2=1,得4十 号 2=1,整理，得 5t 2+2噂6t -2=0.设方程的两实根分别为tl, t2,则 t 1+ t2= t t 1 ' t 2= -5,| t 1 _ t 2| = « t 1 + t22 4t 1t 2=5'8所以弦AB的长为.5x= 1 + 4cos 0 ,10.已知在直角坐标系 xOy中，曲线C的参数方程为(y= 2+4sin 9. 兀直线l经过定点R3,5),倾斜角为.3(1)