数列通项的求法①公式法②an=snsn③累加累乘法

1、通项的求法公式法an = Sn - Sn累加累1-7. a1= 2,an 1 an秀发去无踪，头屑更出众!以下各题默认：“ Sn为数列：a n 的前n项和”.1-8.a1*(nC N)公式法，观察法(已知数列为等差(等比)数1-9=1,%上1=2,求an 1an 1 - 3an 3- 1an(nw N与，且(n =1) (n-2) 向 ：转 化 方an,或全部转化为Sn+ f(n) af=anf(n).采用累加累列)知Sn求an用公式an =Sn - Sn(n >2)S含有an，Sn的式子用an=Q ! Sn - Sn J两 个全部转化为 an 1 - an 乘法 例 1-1. -，需-

2、>3,求 an例1-2.等差数列 况是递增数列，a1,a3,a9成 等比数列，s5=a2.求an例 2-1. Sn =2n2 +3n -1 ,求an例 2-2. Sn =2n +1 ,求 an例 2-3 . a1=3且 an= Sn_1+2n(n 至2)，求 an 及 例 3-1. a1 =2, an =an+2n -1(n >2)，求 an.例 3-2. a。, -an =2n; 求 an.11-例 3-3. a1 =_ , an + - an +'12，求 an2n n例 3-4. a1 =2 , an 由=W?an，求 an 3n 1例 3-5. a1 =1 , Sn

3、 = n2 ,an ,求 an .练习：1111 ，人1-1. 3-,5-,7 ,9 ,的一个通项公式:4 816 32c2111-2. a1 =2,a2 =1,-=+*(nA2,n = N),anan 1 an1-3. S1 =1,a2 =5,and2 =an+ an ,则 a20 =a_ _ 31-4. a1 =0,an 由二十(n= N ),则 a20二一3an 11-5. an 由 +1 =2(an +1),求 ana4 =365(1)求a1的值;(2)若数列an +t为等差数列，求常数t的值;3n(3)求数列的an通项an o1-10. Sn = 3an + 2(n w N +，n

4、之 2),求 an2-1 . Sn= 4n2+ 1,则a1和a 10的值分别为A. 4,76 B. 5,76 C. 5,401 D . 4,4012-2 . Sn= a1(32 1),且 a4= 54,则 a 1 的数值是A. 1 B. 2 C. 3 D. 42-3 .(07 广东)数列an的前n项和Sn=n2-9n, 第k项满足5<ak<8,则k=A. 9B. 8 C. 7 D. 62-4. lOg2(Sn +1) = n +1 ,求 an一 111-2-5. -a1 + a2 +III+an =2n+5 ,求 an2222n2-6. a1 = 2 ,若 Sn = n2an ,求

5、 an2-7. Sn=3( an-1)( nC N*).3求a% a2, a3的值;(2)求an的通项公式及 S10.2-8. Sn=2an +(-1)n,n>1,求 an52-9.数列an满足& =4,&+Sn由=gan书，求an一 一一 3 一2-10 . a1 =1,Sn由=*Sn+1(n= N*)2求数列an的通项公式；，1一设一 的刖n项和为Tn,求满足3Tn a Sn的n an值3-1.在数列an中，a 1=1,当 nCN*时，an+1 an=n,则d。的值为()A. 5050 B. 5051 C. 4950 D. 4951*3-2. a1 = 20, an+

6、1 = an+ 2n 1, nC N ,贝U an =3-3 . ai = 2, an+1 = an+ n + 1,则通项 an=3-4. an=an+2n+1, a1 =1, an=3-5. a1 =1,an斗一an =n,则a畿o =1，c、一3-6. a1 1 ， an an J.=,尸(n 至2) , an =一 n 1. n2-,3-7. a.a2a3an = n，则 %+a5=3-8. an平=an +2M3n +1, a1 =3,求a03-9. a1 =1,a2 =3, an±n±=2,求 % an 1 -an3-10.4=2,(n +2)an+-(n +1后

7、” =0(n w NQ , 求吞n 的通项公式.*、3-11 . a1 =1包=4, an虫=4an邛3an(n= N ).(1)求a3,a4的值;(2)证明：数列44-an)是等比数列；(3)求数列an的通项公式；3-12. a1=2, an噂=an+cn ( c是常数)，且a.，a2, a3成公比不为1的等比数列.(I)求c的值；(II )求的通项公式.3-13.2,a1 =19=2, an -anA=-3(anA-an)(n 之3), 求数列Gn的通项公式.4-1 . Sn=2an1, b1 =2, bn+=an+bn，求 an , bn4-2. 2&=(n+2)an1.(1)求

8、数列an的通项公式；111,(2)设+|十1,求a a3 a2 a4an an 2Tn.4-3.已知 a1 =1, Sn+ =4an +2(1)设bn =an,2an,证明数列bn是等比数列(2)求数列an的通项公式。广东普宁流沙小男孩拿着一张假钱走进了玩具店， 准备 买一架玩具飞机。 服务员阿姨说：小朋友， 你的钱不是真的。小男孩反问道：阿姨，难道你的飞机是真 的？而 n =1 时，21-1例2-3解法1:；3(n =1)2nn >2)（全部转化为Sn）公式法an =Sn -Sn累加累乘法参考答案 例1-1解：申是以去=|=1为首项，以:为公差的等差数列，2=i+(n1)3, 22一一

9、一.，.31c an的通项公式为an=(-n-)2。22例1-2解：设数列Gn公差为d(d 0); a1，a3, a9成等比数列，：2a3 =a1a9,即22. 2d) =a1(a1 8d)= d =a1d d#0, a a1 =d S5 = a55 425a1d =(& 4d)2_ _33由得：&=3,d=355 an =3，(n-1) = - n 55 5例 2-1 解： 当 n=1 时，a1 =蚪=2父12 +3父1-1 =4 ,当n之2时，an =Sn -SnJ =(2n2 3n -1) - 2(n -1)2 3(n -1)=4n 1.而 n=1 时，4M1+1=5#a

10、1,Z(n =1)' a1 一 ：4n + 1(n 至 2).例2-2 解：当 n=1 时，a1=§=2+1=3, 当n 2时，nn 1n -1an - Sn - Sn j. - (21)-(21)=2当 n 之2 时，an=SnSn/、LSc设bn =了，'式为：bn - bn=1 (n 2)当 n = 2 时，bi=31 = Wl=E2223. bn是首项bi = 3 ,公差d =1的等差数列。3,1 bn = b. (n - 1)d =- n1 = n - 22 . Sn =(2n 1)2n 二当 n ±2 时，an =Sn Sn= (2n+3)2n/

11、3 (n =1) an =i n 2 ,(2n 3)/n (n_2)Sn =(2n 1)2n例2-3解法2:(全部转化为an) Sni = an 2n(n 之 2)&= a千2n'得：Sn - Sn i= (an平-2) (an -2n)(n.2)即：2an=an+i -2n(n _2)ai_殳=i(n 之2) 2n 2n 1设 bn =2，二式为：bn书-bn - 1 (n - 2) 当 n = 2 时，b2=*=曳=321223. bn是首项bi = *，公差d =1的等差数列。1231 . bn = b.(n 7)d = - n 1 = n - _ 一一 n . Sn =

12、(2n 1)2 当 n 2 2 时，an =Sn Sn,= (2n+3)2n/.=3 (n=1)a 一 (2n 3匕心(n-2) 一 一一 n_1 . Sn =(2n 1)2例 3-1 解：an - an=2n -1例3-2解：= 2n-2+2nT+2nM+2+1 + 1 = 2n.例3-3解an= Sn 1+2n(n -2)an 1 - an. Sn -2SnL2nSL2nSn42n 1=1 (n -2)1_1n2 n n(n - 1)- a.) (a3 -a2) (a4-ag)11111")OF J)1 n 1 (an - anJ )1(n 一 11 1.,己“一己1 1 _ -

13、 n4t =6a2 -9al -a3 = 138 45 95 =2 ,1113 1a1 二 一 , 1. an = _ +122 n 2 n例3-4.解：a2 曳.%.三4a2 a3an又: a1 = 一 , an =33n例 3-5 解：丫 a1 =1 , Sn =n2,二当 n ±2 时，Sn° = (n 1)21.1 ,则1 =经检验，t =时,22差数列，1故t :2(3)由(2)可知，存在常数an t3n为等，-11-1. an =2n 1 *1-2.解：4 是以1为首项1为公差的等22差数列，花 1111-2fpC = +(n-1)M = n=an =1

14、76;an 222n1-3 角单：an+2= an-1 =an-4,an=ani-6,a20= a2=51-4 角单：a1=0, a2= V3 , a3= 33 , a4=0= &o =a2, a20 = _ V31-5解：数列an+1是首项为2,公比为2的 等比数列.an +1 =2父2nl； an =2n -121-6. an=n1-7. 3n =n1-8. an =2n -11-9 解： 当 n=1 时，a1 = S = 3a1 + 2 = a1 = 一1,当n之2时，an =Sn-Sn=(3an 2)-(3an1 2).n)是以3为公比的等比数列，其首项为 2a1 = _1,1

15、-10. 解： (1)-a4 =3a3 80 =3(3a2 26) 8027a1 +230 =365 ,得 a1 二5(2 )a1 =5 , a2 =3a +8 =23 ,a3 =3a2 26 =95若数列包小为等差数列，3贝(j 2 .at =at a3t9327 '使包二为等矣 3na2 ta1td = - = 193an t 3号=-(n-1)32即 an = (n g) 3n1 +22-12-22-3a1解：B由Sn=4n2+1得an=解：B - S*= S3+ a4,(n= 1)8n-4 ( n>2)a(34-1)aM331)+ 54,即a!_2-= 54.解彳导 a

16、1 = 2.解：Ban = 2n-10,:有 5<2k10<8 知 k = 8,2-4 .答.a _3，n =1, an - 2n,n>22-5 答：an2-6 答：an_ :14, n =12n n.24n(n 1)111-12-7 解：(1)由 a 1= Si =-( a1 1)得 a1=-. 321n 11又 a 1+ a2 = S2=o( a> 1),得 a2=> 同理 a3=一石348(2) n>2 时，an得哀12.Sn-Sn 1 = 3( an D §( an 1- 1)，,、，1i 1一,:数列 an是首项为一2,公比为一2的等比数

17、歹U.S10 =即(1 q10)3411 -q2-8 解：由 a1 = S = 2a 一 1 二当n2时，有an =Sn-Sn=2(小1024-a1 = 1-an)2 (-1)n,an=2an/2 (-1广a2 = 2a-2.经验证为=1也满足上式，32" (一1尸2 n3 n即 91()na2.()n2 (10 分)322-9 答:4 n =1an - 3 4n：n _232-10.解法 1：由 Sn+ = 0 +1得: n 12 f“ 2 n2令(一)=上|并整理得9m 11m + 2<0, 32解得一<m<1 (11分)93 一当n至2时Sn =3Sn+12一

18、 一 3一 一、.3S+ Sn =2(S1 一&)即 an卡=2anan 13=一(4 分)an 23,又 a1 = 1 ,得 S2 = - a1 +1 = a1 + a2a22二 a2 = 3 (6 分)a12,一 3:数列an是首项为1,公比为一的等比数列2/3、n jan =(-)(7 分)2.33解法 2：由 &十=Sn +1 得 Sn+2=(Sn +2) O分)即生U_3Sn 223;数列Sn +2是首项为S1 + 2 =3,公比为一的等比2数列-3 n 1-3 n：Sn+2=3(一)即 Sn=3(一)-2 (5分)22当n之2时，4 =S-Sl 3§&qu

19、ot;-23(3尸一2= (|严(6分) 3显然当n =1时上式也成立 an = ()(7分)23 (2);.数列an是首项为1,公比为一的等比数列，2;数列1是首项为1,公比为1的等比数列(8分)an31 -(-)n。Tn =-3=31-(2)n(")1 -233一3 n又 Sn =2 (-)n -2:不等式 3Tn >Sn ,即2<(2)n<1,将n =1,2,3代入都符合，又24 16 2(3) =8T8一， 2.x _且函数y =(-)在R上为减函数，33-13-23-322故当n圭4时都有(一)n <- (13分)39:满足不等式3Tn >Sn

20、的n值为：1, 2, 3 (14分) 解 a 1oo = (a1oo a99)+(a99a98)+十(a? a 1) + a 1 =99+98十十2+1+1 =4951.故选D.解：< 4+1 an= 2 n 1, a2 a1 = 1, a 3 a2 = 3, an-an-1 = 2n-3( n>2).*e- a一 a 1= 1十 3十+ 2n 3.20 + (2 n-2)( n-1)一 an=n22 n+21.当 n= 1 时 a1 = 20=122义 1+ 21,*'- an= n 2n + 21.解：'*' a1 = 2,a+1 = an + n +

21、1 an= an1 +(n 1)+ 1)an1= an-2+(n 2) + 1 )an-2=%-3+(n 3)+1,，a3 = a2+ 2 + 1,a2= a + 1+1, a=2 = 1 + 1将以上各式相加得：an=( n- 1) +(n-2) +(n-3) +-+ 2+ 1 + n+ 1(n-1)( n-1) + 1(n-1) nn( n+1)-2+ n+ 1 ="i一H 13-4 解：由 an4h = an + 2n +1 得 an+ - an = 2n + 13-5. 49513-6. an = Vn-+1 -V2 +1 o32 52 613-7: a3 + a5 = 1+

22、 42=3-8 解：由an = an+2父3+1 得an 1 -an =2 3n 1an(an -an 1)' (an ! -an 2) i| (a3a2) (a2a1) - a1 =(2 3n1 1)(2 3n2 1)."I(2321) (2 311)=2(3nl 3n23231)- (n_1)3-23(1 -3 -).(n _1) 31 _3=3n _3 n -1 3 n.二3 " n 一13-9 解：= %芈%。2,a2 - a1 = 2an 1 - an an4-an)是首项为数列2,公比为2的等比n , an 1 - an - 2n 1an -an J -

23、 2a2- an3-10=2n 解：an 1-1由(n 2)an1n 1-(n 1)an =0n -2n -13-11a3 =4a2 -3al =13,a41)-4a3 - 3a2解=46(2)证明, an 2 =4an 1 -3an, , an 2 -an 1 =3(an 1 -an)又 a1 =1,a2 =4,an也a1 =3 ,an 1 - an则an书-an是以a2-a1 =3为首项, 比的等比数列(3)由(2) an书an =3n ,则 n3为公之2时,an-anL3n又a1 =1适合上式，3n -1故 Vnw N + ,an23-12 解：(I ) a =2 , a2 =2 +c , a3 =2 +3c , a1 , a2 , a3成等比数列，(2+c)2 =2(2+3c),解得 c=0或c = 2.当c=0时，ai = a2 = a3,不符合题意，故 c =2 .(II )当n2时，由于a2an-a1 =c , a3 -a2 =2c ,an4=(n -1)c ,an -a1 =1 + 2+|U+(n_1)c = nnc .32又仇=2 , c = 2 ,故 an = 2+n(n 1) = n2 n + 2(n = 2,3,|11).当n=1时，上式也成立 2an =n -n 2(n =1,2,|)3-13解：an是以1为首项，公比为-