第四章向量代数与空间解析几何

1、第四章向量代数与空间解析几何【数学 1, A】2008考试内容（本大纲为数学1,数学2-4需要根据大纲作部分增删）向量的概念向量的线性运算向量的数量积和向量积向量的混合积两向量垂直、平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程、直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件点到平面和点到直线的距离球面柱面旋转曲面常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程2008年考试要求1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。2.掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合

2、积），了解两个向量垂直、平行的条件。3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。4.掌握平面方程和直线方程及其求法。5.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。J6.会求点到直线以及点到平面的距离。7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念。8.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程。了解空间曲线的参数方程和一般方程。了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程。一、三基及其延拓1.向量代数研究的对象为自由向量，研究的空间限于实物空间，即不超过三维

3、的空间 向量的一般表示a, b,等几何表示：以原点为起点的有向线段坐标表示：a =(%,%,乙)，b = (X2,y2,Z2)投影表示：斗耳呻*44a = a i a j za ； b =bxi by j bzk坐标系：任何极大完备无关向量组ai,a2,a3,IHanf,其中:ai：ii：i2：i3可以构成坐标系，如果将该向量组施密特正交化和单位化，则构成正交直角坐标系，很显然，如果、ai,a2,a3, a"中的每一向量是3维（s=3，有三个坐标分量），则不可能由二维坐标系（n=2 ,有二个独立分量）表示，这个 思想应特别注意。 向量的方向角和方向余弦II a与x轴、y轴和z轴的正向

4、且非负的夹角：-,-,称为a的方向角。 cosa,cos B,cos Y称为a的方向余弦，且cosa =獰COS0 =a*, cosY= a任意向量r （ er为r的单位向量，并规定er离开原点为正方向。）r =xi yj zk hx, y, z j ircos , rcos :, rcos* i=r cos： ,cos :,cos住斗 r x 7 ycos : , cos :, cosi ： 一r rer称为r的单位向量，并且2cos :-COS2 " 1 cos2=1 o任意向量线元（e为I的单位向量，并规定ei离开原点为正方向。）H4dx时 dv dz-dHidEdy+kdW

5、訂咕杆沪 icos+j c%k cos任意向量面元（q为面元法线的单位向量，并规定en与Z轴夹角为锐角时为正方向。）d量dS眾idydz + jhdx + kdxdy二二浊字 + j些+ 2哋cos+1 訪寸；c|o s dS dS dS 夹角专题两向量的夹角规定：为两向量不大于:的夹角，即0岂- o-:=0= aLb=魅二电二鱼=两向量平行，:两向量反平行; bx by bz两向量平行或反平行的充要条件为：a _b= axb< ayby azbz =0=两向量垂直。2直线与平面的夹角二规定：直线与该直线在平面上的投影直线之间的夹角,平面与平面的夹角-：规定：两平面的公垂面与他们的截痕直

6、线之间的夹角,0乞20叮2又等于他们的法线之间不超过-的夹角定比分点公式：P, F2, P为同一直线上的三点,旦PF2Z>0,：-i,i £ 丸 <0,P在R和P2中,P 在 P2外=RP VPP2 二 OP 2i -P在P外yi y2i - ZiZ2数量积又称标积或点积，表示为40'a2 yi2 z i2 xXi X2yi y2Z Z2# y #z或: a b=aPr jabrtua bPrjbaHtaxbxayby玄乙匕乙称为a在b上的投影注意：数量积本质上就是一个实数。在三维以上空间的数量积称为内积，且可表示为a b = a, b； = (xi, yi,zi

7、, tj(X2,g,z2,t?)= X1X2y°2乙Z2tt向量积 又称叉积或外积，表示为a bxijyiX2 y2dk丄网w =(%勺 rz > -(xiz -X2Zi )j +以$2-2%)kZ2胡詁右Jb岛畀从);殘X3方向规定：转向角不超过二的右手螺旋定则。 2叫=*”n毋，II几何意义：axb=平行四边形的面积；农石=0，且共起点弋a, t共线混和积表示为abc Iv =0三点共面y3Z3abc代表平行六面体的体积;4 4=0 ：= a, b, c 共面。求导法则二旦吨j毎kdt dt dt dtda空a fdtdadt几何意义:ddadb(a b) d "

8、 a dtdtdtd a =lbJdb dtdtdt2、场论考点场的概念：在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的确定值，叫做该 空间的物理量的场，分为数量场与向量场两类。数量场用梯度描述，向量场用散 度与旋度描述。场论的数学核心：梯度算符，用表示，定义为 b =肚昇空眾£。ex cycz梯度'定义: U二excycz，就好比楼梯的陡度。散度一 A定义:=，其中A = Pi Qj Pk，表示分散的程度。 :x : y :z如果没有分散，则散度为零，如静磁场的散度' B=0。旋度l A定义:如没有闭合,.XAx即不存在蜗旋,，表示蜗旋的程度。-yAyczAz

9、则旋度为零，如静电场的旋度I E=0。 运算关系（本知识点内容数学1-4不作要求，高数甲乙或高数 AB需掌握）(A B) =(A l)B (B l )A A (I B) B C 2 -4： (r)r = er.:u；：u；：u -.:uCOSG + COSP + cos_T:x1 pf(r)=r (rr crC A)=y2 ：:f (r).:z.:r-'、2A CC A) A 二A 'A-'、A22'、(A B)二 C A)B-C B)A'、(A B) B)A (' )A-0 A)B-(A 'JB咼斯公式的场论表示A dS ： ill A

10、dV斯托克斯公式场论表示平面格林公式:Q ；:Pg|A d 电 Pdx+Qdy 二“三-ex&ydxdy评 注 在高斯公式和斯托克斯公式中，各符号的具体意义如下:A =iP jQ kR; dS idydz jdzdx kdxdy; dl 二 idx jdy kdz dv 二 dxdydz评 注|读者最难理解是关系：dS = dS： = idydz+jdzdx+kdxdy。其实就是n的方向余弦=dSi cos ，如,co厂,cos元投影面元的关系，读者可在三维空间作一个平面m=1。然后并有：Z du = dxdy, Z dS =dS= dxdy = dScosf，同理可得其他两个坐标平面

11、的面兀投影关系：dydz =dScos； dzdy=dScos-。上述关系是读者能否学好空间积分的关键，务必掌在该平面内过Z=c点画无数线元dSi，每一线元在xoy平面的投影为dui，显然dui握3、万能坐标系正交曲线坐标系（本小节内容数学1-4不作要求，高数甲乙或高数AB需掌握）即：V =1 1 1 ; hif色 e?-h?/u2hs - 口3对直角坐标d | =d xd 2 -d y d 3 = d zhi 二 h：二 hs 1 ; u二 x, u：二 y,出二 z对柱坐标系(r门h 二1 ,h = r 3,h 二；ui 1 r,氏-),出=z对球坐标系(r门,Th =1 h = r h

12、=r r; su r, u2 - v, u3 =在该系中任一曲线元 dh二hjdUjdu为球面系、柱面系等坐标曲线元。IL、 IL、 I贝 uee2e3 二：112'l3'u1.:U|u2u31el2e2-es1'U2 '2_u3 ,'3aaaI而？阪严叭）+嘉（hiW 览加A八无须掌握证明过程）Vxhie；:u1Ahide2.:u2AA（无须掌握证明过程）1 : ；：h2h3 况2 J' 一 漏山2).丿f1 hK (hi)瓦3)二丄U3+汨代h1hcuicu2记住'、，'、'八 A的结论形式即可。拉普拉斯算子二在球坐标

13、系的形式dh =drrd d3 = (r sin )d :hi=1=“，ur；詐1上臼丄上乱“近聖 1 冗r r -r sin ：h 2-：u 2 h ：3u丨鳥讪3hh 3hiho ' Ie2 3一)一( L)宀) h1h2h3 : ui h1 ui u2 h> u2 ； u3 h3 比 d (2.Y c- (rsi.r sin):丁r1r2si n： r1：2 f1'=-r 2 一 sin =r : r : r r sin ：；sin J f Lr sin : '21 f.+胡丿r2sin2日点®2拉普拉斯算子厶在柱坐标系的形式（r,二,z） = h

14、| = 1, h? = r, h3 = 1 ;5 = r, u2 - ', u3 = zifAf1' （-h2hh|h2h3 cu1h1 cu1）.丄（hl埜）.丄（hh2工）cU2cU2 cU3cU11 f :1 :f:f=丄（r丄）（1丄） J（rr I r : r 一 r 一 z2 21f 1=f =fIG- z Wx . IVI, G-I（r ）r ；r ；:r r2 .匕；z24.直线方程方向向量s : 一簇与该直线平行的方向数l,m,n ; 一般用1= l,m, n表示直线的方向向量 一般式方程Ax By Gz D1 =0m = A, B1Qr，nA2X B2y C

15、2z D2 =0 n2 A2,B2,C2'II则直线的方向向量 s= l, m, n =n n2 点向式（标准式）Shl,m, n般表示平面的法线向量x -X。 y - y° z -勺lmnx = x0 lt 参数式$y=yo+mt M （ x , y> , z为直线上已知点，方向数：s = （l,m,n）z 二 Zo nt 两点式x -捲 y - y1 z - 乙X2 -为 y2 - y1 Z2 - 乙 方向角式： xcos-：ycos ： zcos x2 y2 z2 ,，：，为已知 直线间关系lJ_11 m1n112 m2门2J _ L2 = hl2 m1m2n2

16、= 0cos V点R （Xi, yiZ）到直线土也=士泄=三2的距离dI m n底长为s的平行四边形面积HL1'j卜2-xy2-y1 乙2_乙| 1mnsJ12 + m2 + n2直线到直线的距离da两平行直线的距离d同上H4.iJkX2 - xy2 - y1Z2lmnI2m2n2Zib两异面直线的距离d （画出平行六面体图推导出下式）其中：只（为,乙）和B（X2,y2,Z2 ）分别为两直线上的任意两点，不管这两点位置如何, Pp2的投影的模都等于d 。5. 平面方程 一般式Ax By Cz D0法线方向向量n 二 A,B,C形象记忆掌握法：“影评”（隐蔽平行坐标量），如y不出现，则/

17、 y轴；依此类推。 点法式A（x-x。） B（y-y。）C（ - 0）=0 三点式X_ Xiy-YiZ z.XX2y -y2z _ z2=0X一 X3y -Y3ZZ3截距式：即平面经过下列三点：(a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c)xyzAi abc平面束方程Ax B y C z D2A x 2 B y 2 C z 0 D不包含A2x - B2y C2z D2 =0 ;如果所求平面通过已知直线(一般式)，则用平面束方程会比较简便，但必须验证 A2X B2y C2Z D2 =0是否满足所求结论，以免遗漏平面间的关系 :：d L '2 AlABiB2CiC2 _ =

18、 AiA2 B-|B2 CiC2 =0AA2 + BiBCiC2 A2 Bi2 G21, A22 B22 C22点R X0,y°,Z0到平面Ax By Cz0的距离，对直线到平面的距离只要在已知直线上任取一点即可类似处理|AX+_By+ _ C0才、.A2b2 c2证明：在平面上任取一点R(Xi, %, zi )，作平面的法线向量n，则d= P门仰0P门nRP°=PPn=(x -0X, y y , Ziz。)A, B, C= .A2 B 2 CA_x。二Xi_B_y 0y_i_C_z二°z_ 丄 Ax By Cz - Ax B% CZiJa2+b2+c 2Ja 牟

19、B *C 2AX0By° Cz 0；：i -D_ _ AX0 By 0 Cz °_DJa2 +b2+c 2Ja 2b 卡c 2|Ax° 十 By 0十 Cz 曲 DJa2 +B2 +c2两平行平面之间的距离dD<| D2/a2 +B2 +c26. 平面与直线之关系L 口 二一Al Bm Cn = 0夹角si nr n s7. 曲面及其方程7.1准线与母线的界定准线一般指基准曲线，如旋转轴，圆或圆锥曲线；母线顾名思义是由该曲线旋转或平移（可以是空间平移）后可以生成所要求的曲面的曲线（就像母亲生孩子）；其中的旋转轴和平移基准也就是准线。如一条直线沿某一圆周平移一

20、周形成圆柱面。7.2二次曲面二次曲面的二次型表示2 2 2ax by cz2 d X2yegz fzug'a d ff 、 xx y zdbJ e c.>2df、A =dbe的特征值就确定了三类曲面:ec丿A正定或负定=椭球面« A无0特征值且特征值异号二双曲面A有 0特征值n抛物面大纲中只要求掌握一部分二次曲面，包括：九种常用二次曲面，圆柱面和一般锥面。如 何掌握？下列技巧提供了全面解决方略。陈氏第7技 从准线与母线的三种关系和陈式 4法来系统掌握考点，并理解曲面图形准线和母线都是直线=旋转形成锥面（如椭圆锥面等）。准线是直线而母为曲线 =旋转形成 旋转曲面（如单双叶

21、双曲面等）；空间平移形成柱面（如椭圆柱面等）。准线和母线都是曲线 =相互正交的两抛物线平移形成马鞍面；椭圆沿抛物线伸缩平移形成椭圆抛物面。竖零点法：用于分析二次曲面的准线和母线，以便确定曲面的轮廓。3截痕法：用于分析二次曲面的细节，以便画出曲面图形。竖伸缩法：用于分析曲面之间的转换，如圆锥面转化为椭圆锥面等。竖动静点转换法：是确定旋转曲面方程和伸缩变形方程的定势手段。7.3投影方程的确定任一空间曲线：!Fi（x,y,z） =0在平面冗上的投影构成一条平面曲线投影曲线；以 E（x,y,z）=0投影曲线为母线沿垂直于平面n的任意准线移动构成投影柱面，如直线的投影柱面就是一个 垂直于n的平面。如求曲

22、线-在xoy平面上的投影方程由丨中消去z=得到一个母线/ z轴的柱面方程 “x,y） = 0。pp （x y） = 0则投影于XOY平面上的投影方程为（，y）Z =0评 注I空间几何解题一般切入点：首先尽可能画出草图，思考所求结论必须知道几个可能的条件，这些条件在题目中一般又是隐含出现的，我们的目标就是从隐含条件推出需要的条件，然后套用直线或平面的方程类型。其中，重点注意已知直线的方向向量和已知平面的 法向向量与待求直线或平面的关系。x =3-1【例1】 求直线L-1 2t在平面二：x - y 3z 8=0上和三个坐标平面上的的投影方z =5 8t程。、 * * 解：第一步求投影柱面（对直线投

23、影而言投影柱面就是投影平面）方程二的n， 该平面显然与二垂直，又豈一1,2,8 n1,-1,3T " j则易知 n =sx n = 128=14,11,11-1 3又二也通过L ,可以利用L上的已知点3,-1,5，贝U二为14*- 3) 1y1(-1Y 1( =5L在平面n投影正好为二与二*的交线，其方程为14(x -3) 11(y 1)-(z-5) =014x 11y-z-26 = 0£ =x-y 3z8=0x-y 3z8=0直线在三个平面上的投影方程为：x =3-tx = 3 -1x = 0XOY 二 y=12t;XOZ 二 y=0;YOZ 二 y - -1 2tz =

24、0z = 5 8tz =5 8t8. 二次曲面方程和图形的研究8.1准线和母线是研究曲面的核心技术。已知曲面方程，用 零点法可确定准线和母线，从 而确定曲面的生成方式；用截痕法可以确定曲面的具体形状；用伸缩法可以研究曲面之间的 转换，建立新曲面方程和后面的将要建立的旋转曲面方程要使用 动静点转换法。研考数学中 的曲面都是由母线沿准线空间平移或旋转及坐标伸缩变形而形成 。零点法2 2 2例如：分析曲面方程为令 气=z的图形，令x=0 ：占 =z= y抛物线；令y =0=笃=z =a - -b2z为一开口向下的a bby2二a2z为一开口向上的抛物线;这两个抛物线就构成了该二次曲面的准线和母线，可

25、以想象，该二次曲面是有其中一个抛物线沿另一个抛物线平移生成截痕法平面z=t与曲面F x,y,zi=0的交线称为截痕，通过综合截痕的变化来了解曲面的形状2 2 2 2的方法，称为截痕法。例如：在笃 ¥=Z中，令Z=t -一= 1，这是一条双a b(aVt) (bVt)曲线，也就是用水平平面截该曲面时，其截痕是双曲线。综合零点法的分析，我们就能够确2 2定：孑十汐正是双曲抛物面'即马鞍面。伸缩法如在曲面F x, y =0上取一静点M,现把M变形为动点M 他、 ,然后想办法消去静点坐标（即动静点转换法）。又，给定两了点坐标的伸缩变换关系，如令X2 =Xi； y2 ='紬1，

26、贝U: F Xi、yi =0= F1X2,y2F x,- y =0称为原曲面经伸缩变形后的新曲面方程。例如圆柱面变成椭圆柱面:2 2 2 2 2 2x y = x1y1aXay2 22 bY22 2U1=2 . 2a b2n2 a2b厂1又如圆锥面变成椭圆锥面:2 2 2 2x y 2 冷 y2 Z = 2 -aa二 zib2 X2 -X1；y2 =ayi ,z2 角X22 -1 - y,r 2a2 z n + 互 _ Z2_2 . 2a b2X22 2_ 2_ xy _ 2_ Z2 =2 口 _ Zab8.2常用曲面之一：柱面评 注|柱面是由母线沿准线空间平移形成，柱面的准线和母线必有一个是

27、直线。 其中, 直线为准线，曲线为母线。如果是圆柱面，则准线和母线可以互换；如果为非圆柱面， 如棱柱面，则必须取直线为准线，曲线为母线。x2 yR2圆柱面双曲柱面X2 = 2 py 抛物柱面特点：柱面方程中，柱面轴平行于隐含的坐标轴，如x2 =2py的轴平行于z轴注意：在三维情况下圆的方程的一种形式为X2y2 z R2x y z = R形象记忆掌握法：影（隐）评（平）柱面方程的一般求法：给定准线L : f X，y - 0和母线的方向s = lmj nk，求柱面方法如下:Z = h设P x,y,z为柱面上的任意点，根据柱面形成的过程，必在准线L上有相应的点Q X,Y,Z，使得PQl；，由此可以利

28、用直线PQ的方程将P,Q两点的坐标间关系找出来, 即：X =x ItY = y mt（ 1）|z = z nt又由于Q X,Y,Z在L上，故f X,Y =0Z =h用（1）式代入（2）式，由z nt得t二口；x=x l M;Y = y m 口nnn所求的柱面方程为例如：已知母线方向s =i + j +k及准线L则柱面方程为如二维曲线y绕Z旋转后的曲面方程为 Z厂寸二4 x2y2jx =0特别地：当母线为直线并与准线相交时，旋转或平移则形成圆锥面。例如：直线（母线）z = ycot（：为两直线小于90度交角的一半）沿z轴（准线）旋转后，变为z = ±Jy2 +x2 cota 丄竺 z2

29、=a2（x2+y2 ）即为锥面方程，也可以由直线（母线）z = ycot 沿某一园空间平移一周而形成锥面。锥面方程的一般求法：给定准线L: f x，y =0和原点P0 0,0,0，求锥面方程如下： Z = hL上有相应的点设P x,y,z为锥面上的任意点，根据锥面形成的过程，必在准线Q X,Y,Z，使得Q X,Y,Z在直线RP的延长线上，直线P°P的方向数显然为x, y,z 即:X =xtIY = yt（ 1）z = zt又由于Q X,Y,Z在L上，故f X,Y =0Z = h用（1）式代入（2）式，得所求的锥面方程为j f（xt,yt）=。_立 Jhx hx=0zt 二 h. z

30、' z可见以圆点为顶点的锥面方程是齐次方程。例如：已知顶点在原点及准线2 2L: a2 b2则锥面方程为z 二 2这是一个椭圆锥面。【例2】求以原点为顶点且与三坐标的截距相等的圆锥（正圆锥）方程。解：设锥面与三坐标的交点为 A a,0,0 ,B 0,a,0 ,C 0,0,a，得该三点确定的平面方程2 2 2_ 2 截距式为：x y a，该平面与正圆锥的的交线是一个圆2z2 =3 y z =a，这就是准线。x + y + z = a又设M X,Y,Z为锥面上任意点，0 0,0,0为原点，x, y,z为母线OM与准线的交点,则母线方程点法式为XY-z2x _ y x2 y2 z2x2y2

31、z2令 一=-=x =Xt,y = Yt,z = Zt代入准线方程得 x y z to ooooXY XZ YZ =0即为所求的锥面方程。t X Y Z =aX Y Z =a空间曲线旋转形成的曲面（可以沿任意轴旋转）空间曲线丨的参数方程:x"（t）«y（t ），空间曲面0的参数方程:z =cc （t Jx= x(s,t)* y = y(s,t)Z=z( s,t):沿z轴旋转后形成的曲面方程为:x = J®2 (t )+屮 2(t )COS日 yr ：2 t ' 2 t sin， z =国(t )y = 1、,【例3】求曲线 %2 绕z轴旋转一周所形成的曲面

32、方程。x +z =3解：先将曲线写成参数式X = V3 costy =iZ = V3s int绕z轴旋转一周后xy 二-2c ots +-2c ots +1；2 2x y -3 1- 二 2z = .3 si In2 2 2 _1 x y 4 - z =厂z<yj39种必须掌握的曲面1)椭球锥面2 2x_. y_ _z22 2 一 z a b2)椭球面3)单叶双曲面4)双叶双曲面H222abc222x+y.z2.22abc222xyzI12 z2 2x y2 以 2 1 a b c5)椭圆抛物面2 2 x_. y_2 abz6)双曲的抛物面2 x 2 a2y_2又称马鞍面（准线与母线是相

33、互正交的抛物线，母线co s2 2 2x y 3 c o s 1 si-n_z =、. 3 s i tn抛物线沿准线抛物线平移形成马鞍面，这是我们需要掌握的唯个准线与母线都是非直线的曲面。）7)椭圆柱面2x_2a2 2冬a2 b2)母线平行z轴z = h8)双曲柱面2 x2 a母线平行z轴9)抛物柱面x2 = a y母线平行z轴五星级提示：对于一般的曲面方程，最方便的方法是：首先令其中一个变量为零，如能得出 母线或准线，我们就能确定该曲面的形状。精品文档典型题型ab +申肖a+bF【例4】证明向量c表示向量a与b的角平行线方向。证明：因为单位向量：2讀 由ea与为边构成的平行四边形为棱形，其对

34、角线平分顶角，则与a与b夹角平分线平行的向量d-故原命题成立。【例5】一向量与x, y轴夹角相等为，与z轴夹角为2：，试确定该向量的方向。解：由于 cos2 驀"cos2 ： cos2 =1，所以：cos2。+cos2a +cos 知=1n 2cos & +(2cos -1 =1 2 2 .= 2cos : 2cos :- -1 1=0= 3；=：一 二二；-方向角定义要求 0故该向量的方向为(cosa,cos P,cos 了)= (0,0, T )或,0 。I22丿【例6】 过点(-1, 0, 4),平行于平面3x-4y+z=10且与直线x +仁y-3 = 相交的直线2方程

35、。解：一般切入点：如果所求的直线方向向量不能明显求出，就设直线方程的参数形式。x = -1 It设所求直线方程为：y = mt= 4 + nt44直线与已知平面平行，则n _ s= 3I -4m n = 0(1)X = -1 It两直线相交，则将 y=mt 代入x y -3 =-消去x, y,z得2z = 4 nt4 +nt fm_¥=3It =3 mt4m 3 - 1 00(2 )2 (2I - n )t =4联立(1) (2得| =4n, m19 n f l=16,m = 19，所求的直线方程为728x = -116tI« y =19t、z=4 + 28t例 7】判断

36、L1 : ；和 L2 : X =rj =-2112134是否共面，若在同一平面求交点，若异面求距离？解：? = 1, 1, 2 ; 12= 1, 3, 4 ;P_1,0, 1 , Q 0, -1,2 = PQ = ：X2-X1,y2-y1, z2 - z1 j 1 - 1,11 1 2134=2式0为异面直线。1 -1 1设两直线距离为d，罟十即=t.d s -t 1 | 亠1 3s -1 | 亠1 4s - 2t h2 2 2h = s -t 1 亠1 3s -t 亠1 4s - 2tPs"2S24t*° 二 t=7,s=1- -24s 12t -4 =03hss =52

37、 = A hn=12=C二hst = hts 一24 二 BA =52 0B2 -4AC 二 -49 ：0由二元函数极值的充分条件知：t谆s=1是最小值点，所以也可直接套用公式计算距离d :卜 x2 'Xi,2 yi, Z2 'Z1'1,d =mi,nJ ： “2, m2,|仆 g, nJ汇l2,m)2,匕|0 1 , 1 0 , -2 1 ； “1,21,3 1,1,2竹,3,4|2 _J2、3 一 3例 8】判断L1 : 口二；和L2:X-y-3 = 0的关系。2343x-y-z-4 = 0解：两直线的有四种关系：异面；相交；平行但不重合；重合。5 = 2, 3,

38、4 ; S2 二 1, -1, 0 3,-1,-1 二 1,1,2 故不平行，也不重合;看两直线有无交点，将L1写成参数式，代入L2的两平面，看看能否得到同一个 tx = 2t, y - -3 3t, z = 4t2t - -3 3t -3=0 > t =02 2t - -3 3t -4t -4 = 0t 二-1故两直线不相交，所以两直线异面【例9】求过M 2,3, 1点，且与直线L2 x =13y都相交的直线方程L z = 2_y解：由于所求直线L过M 2,3,1与L1相交，则L必在过M 2,3,1与J的平面二1 上,同理它 也必须过M 2,3 1与L2的平面二2上,二1和二2联立的交

39、面式直线方程即为所求的 L方程。又，过L1的平面束方程为：'x，y亠x-yz，4 =04将M 2,3 1带入上式得 ：1:9y 5z 205过L2的平面束方程为：=x 3y -1 亠y z-4 =01将 M 2, 3 1 带入上式得"二：2： x-2y-5z 9=05故所求直线L方程为x -9y 5z * 20 = 0、x_2y _5z + 9 =0【例10】求满足下面条件的直线方程a 过点 A 1, 0, 2 ;b 与平面二：3x y，2z，3=0平行;x1y -3 zC与直线L1 :亍相交。解：已知直线Li的方向S 一4, -2, 1，其上由一点A 1, 3, 0 ，根据

40、已知条件b，过A 1, 0, -2作平行于平面二的平面,:3 x -1 -y 2 z 2 =0再根据已知条件c，作平面二2通过点A 1, 0, -2和直线L1，显然n 厂 S AA1 =j k 片-2 1 =7i _8j +12k =(7, -8, 12 ) =L1:7 x -1 8y -12 z 2 =0所求直线方程为3x-1-y 2z 2=0 3x - y 2z 1 =0$ 二 «7 x -1 8y -12 z 2 =0 7x 8y -12z-31 =0【例11】设有直线L:x 1 =1=2 1-2a求与L关于原点对称的直线L1的方程；b求与L关于xoy平面对称的直线L2的方程；

41、c求与L关于平面二：x y 0对称的直线L3的方程；。解：a对于任何在直线L1上的静点P x, y, z，由于与L关于原点对称，从而与P x, y, z点关于原点对称的动点Q：i.x, - y, -z必在L上，故L1的方程为：x-1_y _-z_3 x1 y z 32 _ 1 _ _2 _ 2 _ 1 _ -2b对于任何在直线L2上的静点P x, y, z，由于L2与L关于xoy平面对称，从而与P x, y, z点关于xoy平面对称的动点Q x, y, -z必在L上，故L2的方程为:x -1 y_z_3x1y z 31 =2工x -1y z - 3cL与平面二的交点o也在所求的直线L3上，且该

42、点坐标满足21-2(X + y + z = 0由上面的方程组得到：xy 二 X" y z-3 = x y z 一442 1-22 1 -2从而解的交点o点坐标为-7, -4, 11L3的方向数可根据向量代数的基础求得:2 j -蔭（帶+2）=?_£3333故所求直线L3的方程为:z-11-8【例12】证明L1半汽.xyJ Z- 2是异面直线，并求公垂线方程即公垂线的长。解：L1的方向向量S =(1,2,3 ),经过点R(0,0,0 ); L2的方向向量S2 =(1,1,1)，经过点P 1, -1,2，由于（R P2 S,盼5,所以L1,L2是异面直线。公垂线L的方向向量SN

43、T, 2, -1那么，经过L1并且与S平行的平面的方程为1 x-0 , y- 0 ,z- 0 iS ' S =0y -0z-= x -0, y 0 , z 01S S3=0-1二 4x y- 2 z 0经过L2并且与S平行的平面二2的方程为x1 , y 1 z2 S2 S 二 0=x -1 , y 1 , z -2 ?S2 S =x -11-1z 21-1=0二 x - z 1 =0而平面二i,二2的交线即是公垂线L的方程L ： 4x y 一 玄=x -z 1=0公垂线的长d为dS1 S25【例13】求过点P -1,1,2及直线L：X 2二口 二互上的平面3-20解：将L写成一般式-2

44、x- 3y 7 0z 2 = 0经过L的平面束方程为2x 3y - 7、 z 2 =03以P -1,1,2代入得，=-，得平面方程为4x 6y 3z8 = 0又，采用这个平面束方程时没有包括 z 2=0这个平面，但z - 2=0不经过P -1,1,2点，故不是所求【例14】求经过直线L： x_；y 4爲0，并且与平面交成二面角为-的平面方程。解：平面束方程为x5y z x-z4 01 x5y 1 -z40二卜：1 ，5, 1 -，",-4,一81又有兀COS = J2241 亠；i 亠 52 亠 i 1 -1 16 64、29-33=> =.=二丸=29 22274得平面方程为

45、x 2 0y 7z-12二 0由于平面束方程没有包括x - z 4 = 0，故需要验证如下x - z 4 =0=1,01x -4y -8z 12 二 0= S2 二 1, -4, -8| 1,0, -1 j, 一4, 一8 J、1011 16 64cost 二二 cos -92 二9 >1224所以，所求的平面方程为x 2 0y 7z12二或xz 4 = 0【例15】设直线L: x y b - 0在平面二上，而平面二与曲面z = x2 y2相切于点K +ay _z_3 = 0P 1, -2, 5，求 a, b 之值。解：平面束方程为x y b x ay址 0= T亠x a y 3z &#

46、39;J 川0b =又 z = x2 y2 二 F x, y,z 二 zx2y2 = 04切平面法向向量为n 二 Fx,Fy,Fz = -2x, -2y, 1=：-2,4,1则平面束方程中只有过的P 1.-2,5，且其法线平行n的平面才能满足要求，即1 亠；.I亠 I a 亠；.i 2 ： 5 3 - ,，b = 01 ：; .；, a -1二1, a - -5, b - -2。I1 =1 =-241【例16】M1M2垂直通过平面7： : Ax By Cz 0 , M1 x1,y1，z 坐标已知，M2 x2, y2, z>1离平面的距离为线段M1M2的-，求M2 X2,y2,Z2的坐标。

47、3解：由定比分点公式得M1M2与平面二的交点坐标为PP 人:>0,P在R和P2中Z/.Z2 z =1 + Z"也t人<一1,P在P2夕卜二=心=心PP2-1Cv0, P在R外“一1 + AXi 2x23y1 +2y2.3；z1 - 2z23该点满足平面方程，则A 凶 2X2 B Vi 锂 c 经 ”03 33(1)=A x 2x2 i 亠 B % 2y2 i 亠 C z 2z2 i亠3D = 0x2 =捲 At二=口=1=匚 4 = y1 + Bt(2)ABC21jZ2 = z1 +Ct(2)代入(1)可解得t3(Ax+ By+ G)z+2 A2 B2 C2所以M2 X2

48、,y2,Z2的坐标为3A By 1 Cz 1 D2(A2 +B2+C2 )3BBy1 Cz r D2 A2 B2 C23C Ax1 By1 Cz1D2(A2 +B2 +C2 )【例17】求直线l:亍十号在平面二：X - 0上的投影直线>0绕y轴旋转一周所形成的曲面方程。精品文档解：再次提示：如果所求的平面通过一已知直线，则使用平面束方程简便。X-1 y z-1 x-y-1=0l :-11-1 y + z-1=0经过I的平面束方程为x y 4 皿? y z 101 一 y ；， ：z1 - 0 = 11-，-12 =0 -2-=x-3y2z 1=0x -3y -2z 1=0 所求 |0 为

49、 x-yy2z-1=0将l0写成参数式x： 2：二0x = 2ty =t1z t -12绕y轴旋转一周后形成的曲面方程x2z2x = Jx2 (t )+ y2 (t )cos日y = y t =ty = x2 ty2 t si nr 22 2 2 21=x2z= x2t y2t =4t2t -149 2 2.21 2x z4yy T4222=4x-17y4z2y_1 =0陈氏第8技 动静转换法求旋转曲面方程。【例18】求曲线l z" y绕(X = 0z轴旋转形成的曲面S的方程。解:建立旋转面、锥面与柱面的方程的一般方法是等效变换静点和动点的所满足的几何关系。设曲线I Z = f y&

50、lt;'存在一静点P(0,yo,z° )，对任意在旋转面上的动点 Qx, y, z)，其坐标x =0关系为Z 二 Zo2 . 2x yi Zo = Z=> 彳I二 y2 y0 _ x2 y2代入L的方程，得曲面S的方程为Zq = f y° = z = f 、x2y2【例19】求直线L, : 口二口=三绕直线L, : * = 2旋转一周的曲面方程。231y=3解:设直线Li上的一静点P Xq, yo, Zq ,对应的旋转曲面上任意动点 Q x, y, z 0 O 2, 3, Zq为旋转中心，显然z二zo，则2 2 2 2O P=OQ= x-2 y -3x。-2y。-3又P Xq, y。，Zq在Li上，故有:xo =3 2t xo = 2z 50 0 2 2 2 2Ao =i+3t = Zq =3z+4 代入(x_2) +(y_3) =(Xq_2) +(y。3)得所求的