全国高中数学联赛辽宁赛区初赛试题

1、2014年全国高中数学联赛辽宁赛区初赛试题（7 月 6 日 8:30 至 11:00）一.选择题（本题满分30分，每小题5分）1 .已知 AUBUC a,b,c,d,e,f , AI B a,b,c,d , c AI BIC,则符合上述条件的 AB,C共有（）组A. 100 B. 140 C. 180 D. 2002 . 已 知集合 S（x, y）log2（1 x2 y2） < 1 log2（x y）, 并 且集合S2（x,y）log（2 x2 y2）> 2 log 1 （x y），则 S2与 § 的面积比为（）22A. 2:1 B, 4:1C. 6:1D. 8:13.已

2、知zXABC的三边a , b , c成等比数列，a , b , c的对角依次为 A, B , C ,则sin B cosB 的取值范围是（）A. 1,1 刍 B. （1诋 C. （1,1 刍 D.L&22224 . ABC的三个内角为A,值为（）A. 1 B. 1 C.2一,15 .正项数列an满足anan 1cc 廿 sin A V3cosA , 7 冗o 八占右日B , C ,若三 tan一，贝 sin2B 2cosC 的取大cosA x 3 sin A 12D. 2anan 2an冏2*.1（n N ） , aa36 , a1，a2, 戈 单调递增且成等比数列,（）A. 5368

3、B. 5367 C. 5363D. 5362Sn为an的前n项和，则S2014的值是（其中表示不超过实数的最大整数）6.设直线l与球O有且只有一个公共点截面圆的半径分别为1和二面角A. " B. 2"C.痴P ,从直线l出发的两个半平面、截球O的两个l 的平面角为勤，则球。的半径为（）D. 2面二.填空题（本题满分30分，每小题5分）7 .若非零复数x满足x 1 1 ,则x2014 $ xx8 .不等式 一4x2 2x 9的解集为.（1、1 2x）29 .甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的

4、概率为 -,乙在每局中获胜的概率为-,33且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望E（）为.2 5 uuur uuur uuuurnuuu10.如图所示，在4ABC中，cosC 沁,AH BC0, AB（CACB）0,则过点C ,以5A, H为两焦点的双曲线的离心率为 . . a11 .设是由任意100个互不相同的正整数组成的集合， 令B a,b A且a b , f(A)表小 b集合B中元素的个数，则f(A)的最大值与最小值之和为 .12 .抛物线y ax2 bx 1的参数a , b满足8a2 4ab b3,则当a , b变动时，抛物线的顶点(s,t)的轨迹方程为 .三.解答题(本题共4

5、道小题，满分90分)13.(本小题满分20分)函数f(x)的定义域为R ,已知x 0时，f(x) 0 ,并且对任意m,n R ,都有f(m n) f(m) f(n).(1)讨论函数f(x)的奇偶性以及单调性；(2)设集合 A (x,y)f(3x2) f(4y2)< 24 , B (x,y)| f(x) f(ay) f(3) 0 ,1C (x,y) f(x) 1f(y2) f (a)，且 f(1) 2,若 AIB 且 AIC ，试求实数 a 的 2取值范围.14 .(本小题满分20分)如图，锐角 ABC外心为O,直线BO和CO分别与边AC, AB交于点B', C'.直线B&

6、#39;C'交AABC外接圆于点P, Q .若AP AQ ,证明： ABC是等腰三角形锐角三角形.15 .(本小题满分25分)apaq.已知数列an中，& 2,对于任意的p,q N ,有apq(1)求数列an的通项公式;(2)数列bn满足anbib2b3b42-3-42 1212121(1占(n N*),求数列a的通项公式;(3)设Cn 3nbn(n N),是否存在实数，当n N时，Cn 1 Cn包成立,右存在,求实数 的取值范围；若不存在，请说明理由.16 .(本小题满分25分)已知抛物线C : y2 2px(p 0),直线l与抛物线C相交于A , B两点，连结A及抛物线顶

7、点。的直线交准线于B',连结B及。的直线交准线于A',并且AA'与BB'都平行于x轴.(1)证明：直线l过定点；(2)求四边形ABB'A的面积的最小值.2013年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题及参考答案及评分标准说明：1 ,评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题和填空题只设5分和0分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分。2 .如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。一.选择题(本题满分30分，每小题5分)1 ,已知集合 A x|x2

8、2x 10 0, B x|m 1 x 2m 1.当 AI B 时，实数 m 的取 值范围是().1 1 ,、(A) . 2 m 4 (B). m 2或 m 4 (C).- m 4 (D). m 一或 m 42 21. (B)._2.过原点的直线l交双曲线xy2衣于P、Q两点，其中点P在第二象限，将下半平面沿x轴折起使之与上半平面成直二面角，线段 PQ的最短长度是().(A) . 2五(B). 3五(C). 4五(D). 42. (D) .3. 设a,b,c均为非零复数，令w 1,若9b£,则圣的值为().22 bcaabc22(A) . 1 (B). w (C). 1,w,w (D)

9、. 1, w,w3. (C).4.设f(x)是(0,)上的单调函数，且对任意x (0,),都有ff(x) log 2 x 6 .若x0是 方程f (x) f (x) 4的一个解，且xO (a 1,a)(a N ),则a的值为().(A) . 1 (B). 2 (C). 3(D). 44. (B) ._4.35.内直径为空3 2 ,高为20的圆柱形容器中最多可以放入直径为2的小球的个数是().3(A) . 30 (B). 33 (C). 36(D). 395. (C).6.已知实数 x,y满足 17(x2 y求f( ) f()的值； 判断f(x)在区间(，)的单调性，并加以证明;) 30xy 1

10、6 0 .贝1 516x2 4y2 16xy 12x 6y 9 的最大值 是().(A) . 7 (B). >/29(C).如(D). 36. (A).二.填空题(本题满分30分，每小题5分)7.7.若2a 2b 2ab,2a 2b 2c 2abe，则2c的最大值是4.3长方体ABCD AB1clD1 中，AB AA14, AD 3,则异面直线AiD与BQ的距离8 .盛4.1729 .椭圆与 a2yy 1(a b 0)的离心率为B两点.uuu uuu设O为坐标原点，若OA OB232 1 cot5斜率为1且过点M (b,0)的直线与椭圆交于AAOB ,则该椭圆的方程是29.1610.将1

11、1个完全一样的小球放入6个不相同的盒子中，使得至多有 3个空盒子的放法有, 一2x 1 x 011.已知函数f(x) l,x 0,f(x 1) 1,x10. 4212.设方程f(x) x在区间(0,n内所有实根的和为Sn,则 0,数列 的前n项和二 Sn11.2nn 112.12.数列an中，an (n 1)(2n 1解答题an2an 12an 1nn 1(n 2),则此数列的通项公式an1).13.设关于x的方程x2mx0有两个实根，()，函数f(x)2x mx2 1(1)(2)(3),均为正实数，证明：|f()f()1 II.13.解:(I).-,是方程x2 mx 1 0的两个根,m,f(

12、)1,同理可得f()f(x) /mx 1)1)22(x_ 1):f( ) f()(x)22，(x 1)2,(5分)时,f (x) 0, ”刈在(，)上单调递增.(10 分)(in) 由（n）可知,f(f()f(),同理f( ) f()f(),f()1 I f()f()I,(15 分)由（I ）可知,1.f( ) , f()1,If( ) f( )II,f(f()I II.(20 分)14.已知数列an满足a13,an 12annan(n（1）若an 2n恒成立，求的取值范围;(2)若 =-2,求证:1a1 214.解：（I）当n 2时，由a21a2 261an 22得2,即an 2n时，下面证

13、明当当n 2时，a2ak 1 a2 kak故对所有n 2 ,2.2 时，an 2n.2 2成立；设当n(5分)(H)当an1a1ak (ak k)an2n成立.当n的取值范围是2 时，an1an 12 a221an 22.2 22 an12n 11215.如图，锐角 ABC中,2k2k(k21时,nan1a1 1 222)时,a1ak 2k成立；则当n k 1时,(k 1) 2 k 1 ,3 2 1成立，故对所有n Nnan12n 11an 2n成立. ( 10 分)(n2 an 20 (n 2),3),L 2n 14.(15 分)(20 分)AB<AC旦点D和E在边BC上，?f足BD=

14、CEg在 ABC内存在点P涉足 PD|AE 且/ PABW EAC 证明：/ PBA=/ PCA.15.证明：如图，作平行四边形ABFC和平行四边形ABGP , A 则 AC FB ACE FBD 又 BD CE故AECBDFAEC ,所以 FD /AE ,又 PD/AE,则P、 D、 F三点共线.因BFP 故B、FBGBFDG、F、FPG止匕EAC BAPP四点共圆，BAP EAPBGP,CAP又AP BG, AC BF(20 分)故 ABP BPG(25 分)故 APC BGF ,BFG ACP.(5分)(10 分)PDQOBMF .GBCF + x16.设点P为圆C1： x2 y2 2上

15、的动点，过点 P作x轴的垂线，垂足为 Q.点满足_ juur jut2 MQ PQ.(1)求点M的轨迹的方程；(2)过直线x 2上的点T作圆C2的两条切线，设切点分别为 A、B,若直线AB与(1)中 的曲线C2交于两点c、d,求LCD!的取值范围.|AB|_ HJLUI16.解：(I)设点 M (x, y),由 72 MQumrPQ ，得 P(x,V2y),由于点P在C/ x2y2 2上,所以 x2 2y2 2,2 x即M的轨迹方程为一 2y2 1.(5分)(n)设点 T(2,t),A(Xi , Vi )，B(X2 , y2 ),则 AT , BT 的方程为X1 x y1 y 又点T(2,t)2, x2 x在AT、y2 y 2,BT上,则有:2xi ty1，由、知,2 x2ty2210AB的方程为：2x ty 2,设点C(x1, y。，D(x2, y2),则圆心。到AB的距d ;片，则|AB| 2 ；r2d22t2 4t2 4又由2x2 x2ty222,得(t2 8)y2 4ty14 0,于是V1y2于是|AB|己，丫甘 t 8(t2 8).t