2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷3,含解析)

1、绝密启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理全国卷 3【命题特点】2020 年新课标 III 高考数学试卷，试卷内容上体现新课程理念，贴近中学数学教学，坚持对基础知识、 基本技能以及数学思想方法的考查。 在保持稳定的基础上， 进行适度的改革和创新。 2020 年的数学试卷“以 稳为主”试卷结构平稳，同时题目平和、无偏怪题，难度控制理想。“稳中求进”试卷考查的具体知识点 有变化。1、回归教材，注重基础 2020 年新课标 III 卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中 的大部分考点，考查了复数、三角函数、折线图、概率、解析几何、向量、框图、线性规划等考点。2、适当设

2、置题目难度与区分度 与往年课标 III 卷相对比，今年的难度设置在最后 21 题。尤其以选择题 第 12 题和填空题第 16 道，只要能认真分析，解决此问题的是不成问题。3、布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察 解答题部分，包括三角函数、立体几何、概率 统计、解析几何、导数五大版块和二选一问题。以知识为载体，立意于能力。4、命题考察的沿续性 2020 年新课标 III 卷，在力求创新基础上，也有一些不变的东西。例如 2020 年 新课标 III 卷在集合、复数、算法、线性规划的命题方式基本完全一致。【命题趋势】1. 函数知识：以导数知识为背景的函数问题；分段函数与不等式结合的题目；

3、三角函数的性质及其讨论； 从重结果考查转向重过程考查；从熟悉情景的考查转向新颖情景的考查。2. 函数零点问题：函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，这也体现了数形结合思想的应用3. 不等式知识：突出工具性，不等式的性质与分段函数，绝对值的性质综合起来进行考查，考查学生的等 价转化能力和分类讨论能力；4. 立体几何知识： 2020 年已经变得简单， 2020 年难度依然不大， 16 题填空题将立体几何的知识与运动问 题相联系，然后确定最值及取值范围；第 8 题考查圆柱的体积问题，要求学生的空间想象能力比加强 .5. 解析几何知识：解答题主要考查直线、抛物线和圆的知识，考试的难度与往年持平，

4、选择题 5 题考查共 焦点问题，属于常规题目， 10 题综合了抛物线、圆和直线的问题，需要对位置关系有透彻的理解。6. 导数知识： 导数是研究函数的单调性、 极值 （最值 ）最有效的工具， 而函数是高中数学中重要的知识点， 21 题加强了与不等式的联系，要求学生的对导数的深层含义能准确把握， 12 题涉及零点问题，由唯一性确定参数值，要应用选择题的特点灵活处理、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。1已知集合 A= (x,y) x2 y2 1 ，B= ( x, y) y x ，则 AI B中元素的个数为A3B2C1D0

5、答案】 B解析】【考点】 交集运算；集合中的表示方法。【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性 ( 是点集、数集或其他情形 )和化简集合，这是 正确求解集合运算的两个先决条件。集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母 的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。2设复数 z 满足(1+ i )z=2i ，则 z=AC 2D2答案】 C解析】【考点】 复数的模；复数的运算法则【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，注意运算性质有：(1) z1 z2 z1 z2 ； (2)z1 z2z1 z2(3)zz； (4) z1 z2(5) z1z2 z1

6、z2 ； (6)z1z2z1z1z1z23某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2020 年 1 月至 2020 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8 月D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】 A【解析】动性大，选项 D说法正确；故选 D。【考点】 折线图【名师点睛】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这 条折线为本组数据的频率折线

7、图，频率分布折线图的的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸半个组 距，即折线图是频率分布直方图的近似，他们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律。4 x y 2x5y 的展开式中x3y 3的系数为A80B40C 40D80【答案】C【解析】5 5 5试题分析： x y 2x y x 2x y y 2x y ，5 r 5 r r由 2x y 展开式的通项公式： Tr 1 C5r 2x y 可得：当 r 3 时， x 2x y 5 展开式中 x3y3 的系数为 C53 221 3 40 ，5 3 3 2 3 2当 r 2 时， y 2x y 展开式中 x3y3 的系数为 C52 231

8、80 ，则 x3 y3 的系数为 80 40 40 。故选 C。【考点】 二项式展开式的通项公式【名师点睛】 （1） 二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（ 特定项 ） 和通项公式，建立方程来确定指数 （ 求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n， r 均为 非负整数，且 nr ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等） ；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项。（2） 求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解。2 x 5已知双曲线 C： 22 y b21 （ a>0,b>0） 的一条渐近线方程为 y5

9、 x ,且与椭圆222x2 y2 1有公共12 3a焦点，则C的方程为22222222Ax2y2 1Bx2 y2 1C x2 y2 1Dxy1810455443【答案】 B【解析】故选 B。【考点】 双曲线与椭圆共焦点问题；待定系数法求双曲线的方程。【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法。具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲 线标准方程的形式，然后再根据 a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值。如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为2 xya2b20 ，再由条件求出 的值即可。6设函数 f( x)=cos(x+ ) ，则下

10、列结论错误的是3Af( x)的一个周期为 -2B y=f ( x)的图像关于直线 x=8 对称3Cf ( x+)的一个零点为 x=Df(x)在( , )单调递减62【答案】 D【解析】54 当 x , 时， x 5 , 4 ，函数在该区间内不单调，选项 D 错误；2 3 6 3故选 D。【考点】 函数 y A cos x 的性质【名师点睛】 (1) 求最小正周期时可先把所给三角函数式化为yAsin( x)或 yAcos( x)的形2式，则最小正周期为 T ；奇偶性的判断关键是解析式是否为yAsin x或 yAcos xb的形式。(2) 求 f ( x) Asin ( x )( 0)的对称轴，只

11、需令k k Z ，求 x；求 f(x) 的对称中2心的横坐标，只需令 xk(kZ) 即可。7执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为A5B 4C3D2【答案】 D【解析】【考点】 流程图2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 D4【名师点睛】利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循 环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理 框、判断框的功能，不可混用；赋值语句赋值号左边只能是变量，不能是表达式，右边的表达式可以是一 个常量、变量或含变量的运算式。8已知圆柱的高为

12、1，它的两个底面的圆周在直径为3A BC42 【答案】 B解析】试题分析：绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：1AC 1,AB ，2结合勾股定理，底面半径由圆柱的体积公式可得：圆柱的体积是 Vr 2h33 ，故选 B。4【考点】 圆柱的体积公式【名师点睛】 (1) 求解以空间几何体的体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利 用相应体积公式求解； (2) 若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等 方法进行求解。9等差数列 an 的首项为 1，公差不为 0若 a2， a3， a6成等比数列，则 an 前 6 项的和为A 24B 3C 3D 8【答

13、案】 A【解析】【考点】 等差数列求和公式；等差数列基本量的计算【名师点睛】 (1) 等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能 求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。 (2) 数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。2210已知椭圆A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线xyC： 2 2 1，（ a>b>0）的左、右顶点分别为 abbxay2ab 0 相切，则 C的离心率为AB33C 23D 13答案】解析】（ 或离心率的取值范围

14、） ，常见有两考点】 椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率 种方法： 求出 a， c，代入公式 e c ； a 只需要根据一个条件得到关于a，b，c 的齐次式，结合 b2 a2 c2转化为 a，c 的齐次式，然后等式 （ 不等式）两边分别除以 a或a2转化为关于 e的方程（不等式） ，解方程（不等式）即可得e（ e的取值范围 ）。11已知函数 f(x) x2 2x a(ex 111AB23答案】C解析】x1e x 1） 有唯一零点，则 a=1CD 12x 1 x1 a e e ，x 1 x 1 12 x 1e2 x 1 1 ，e e

15、 x1x 1 ，ee试题分析：函数的零点满足 x2 2xx 1 x 1 x 1设 g x e e ，则 g x e当 g x 0 时， x 1 ，当 x 1时， g x 0 ，函数 g x 单调递减， 当 x 1 时， g x 0 ，函数 g x 单调递增，【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想 【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的 范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使 得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用。uuur uuur uuur12在矩

16、形 ABCD中， AB=1，AD=2，动点 P在以点 C为圆心且与 BD相切的圆上。若 AP= AB+ AD ，则 + 的最大值为D2A 3B 2 2C 5【答案】 A 【解析】 试题分析：如图所示，建立平面直角坐标系设A0,1,B0,0 ,C 2,0,D 2,1 ,P x,y2 2 2 4 根据等面积公式可得圆的半径 r ，即圆 C 的方程是 x 2 2 y2 ，55【考点】 平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【名师点睛】 (1) 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的 加、减或数乘运算。(2) 用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运

17、用该基底将条件和结论表示成向量的形 式，再通过向量的运算来解决。二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分。xy013若 x， y满足约束条件 x y 2 0，则 z 3x 4y的最小值为 。y0【答案】 1【解析】 试题分析：绘制不等式组表示的可行域，3 131目标函数即： y x z ，其中 z 表示斜率为 k 的直线系与可行域有交点时直线的截距值的 倍，4 444截距最大的时候目标函数取得最小值， 数形结合可得目标函数在点 A 1,1 处取得最小值 z 3x 4y 1。考点】应用线性规划求最值【名师点睛】 求线性目标函数 zaxby(ab0)的最值， 当b>0时，直线

18、过可行域且在 y轴上截距最大时， z值最大，在 y 轴截距最小时， z 值最小；当 b< 0时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时， z 值最小，在 y 轴上截距最小时， z 值最大。14设等比数列an满足a1 +a2 = 1,a1a3 = 3，则a4 = 。【答案】 8【解析】【考点】 等比数列的通项公式 【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等 比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前 n 项和公式时，应该要分类讨 论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程。x 1， x 0，115设函数 f(x) x

19、 则满足 f(x) f(x 1) 1的 x的取值范围是 2 ， x 0，2答案】解析】试题分析：令 gxfxfx12当x0 时， gxfxfx12x 3 ，22当0x 1 时，gxfxfx1 2x1x222当x1 时， gxfxfx1212x 1 ，22【考点】 分段函数；分类讨论的思想【名师点睛】 (1) 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式 求值，当出现 f( f(a) 的形式时，应从内到外依次求值。(2) 当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的 值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应

20、段自变量的取值范围。16 a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边 AC所在直线与 a，b 都垂直，斜边AB以直线 AC为旋转轴旋转，有下列结论： 当直线 AB与a成60°角时， AB与b成 30°角； 当直线 AB与a成60°角时， AB与b成 60°角； 直线 AB与 a 所成角的最小值为 45°； 直线 AB与 a 所成角的最小值为 60其中正确的是 。(填写所有正确结论的编号)【答案】【解析】【考点】 异面直线所成的角【名师点睛】 (1) 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题

21、化 归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； 认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； 计算：求该角的值，常利用解三角形； 取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 0, ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直2线所成的角。（2） 求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（ 12 分） ABC的内角 A， B，C的对边分别为 a，

22、 b， c。已知 sin A 3cosA 0 ，a=2 7 , b=2。（ 1）求 c；（2）设 D为 BC边上一点，且 AD AC,求 ABD的面积。【答案】 （1） c 4 ；（2） 3【解析】【考点】 余弦定理解三角形；三角形的面积公式【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦 定理联系起来。正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯 一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。18（ 12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成

23、本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶 降价处理， 以每瓶 2 元的价格当天全部处理完。 根据往年销售经验， 每天需求量与当天最高气温 （单位： ） 有关。如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间 20 ， 25），需求量为 300 瓶；如 果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温 数据，得下面的频数分布表：最高气温10 ，15)15 ，20)20 ， 25)25 ， 30)30 ， 35)35 ， 40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。（ 1）求六月份

24、这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（ 2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）。当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时， Y 的数学期望达到最大值？【答案】 （1） 分布列略；（2） n=300 时， Y的数学期望达到最大值，最大值为520 元。【解析】若最高气温不低于 25，则 Y 6n 4n 2n ，若最高气温位于区间 20,25 ，则 Y 6 300 2 n 300 4n 1200 2n;若最高气温低于 20 ，则 Y 6 200 2 n 200 4n 800 2n ; 因此 EY 2n 0.4 1200 2n 0.4 800 2n 0.2 640 0.4

25、n 。当 200 n 300 时， 若最高气温不低于 20，则 Y 6n 4n 2n ;若最高气温低于 20 ，则 Y 6 200 2 n 200 4n 800 2n ;因此 EY 2n 0.4 0.4 800 2n 0.2 160 1.2n 。所以 n=300时， Y的数学期望达到最大值，最大值为520 元。【考点】 离散型随机变量的分布列；数学期望； 【名师点睛】离散型随机变量的分布列指出了随机变量X 的取值范围以及取各值的概率；要理解两种特殊的概率分布两点分布与超几何分布； 并善于灵活运用两性质： 一是 pi0（ i 1,2 ，） ；二是 p1p2 pn1 检验分布列的正误。19（ 12

26、 分）如图，四面体 ABCD中， ABC是正三角形， ACD是直角三角形， ABD= CBD， AB=BD（ 1）证明：平面 ACD平面 ABC；（2）过 AC的平面交 BD于点 E，若平面 AEC把四面体 ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAE C的余弦值。【答案】 （1） 证明略；7（2） 。7【解析】又由于 ABC是正三角形，故 BO AC 。DO2)7nmnm2AB2BO2 AOAB2 BD 2所以 DOB 为二面角 D AC B 的平面角。故 DOB 90o 。所以平面 ACD平面 ABC。可取 n1, 33,13在Rt AOB中， BO2 AO2又 AB BD ，所以 BO2

27、设m 是平面 AEC的法向量，则uuur mgACuuur mgAE0，同理可得 m 0, 1, 3 。0，则 cos n, m所以二面角 D- AE- C的余弦值为。7【考点】 二面角的平面角；面面角的向量求法【名师点睛】 (1) 求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程 思想进行向量运算，要认真细心，准确计算。(2) 设 m，n 分别为平面 ， 的法向量，则二面角 与<m， n>互补或相等，故有 |cos | |cos< m， n>|= m n 。求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。>|= m n 。求解

28、时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。20( 12 分)已知抛物线 C： y2=2x，过点( 2,0 )的直线 l 交 C与 A, B两点，圆 M是以线段 AB为直径的圆。 ( 1)证明：坐标原点 O在圆 M上；( 2)设圆 M过点 P 4, 2 ，求直线 l 与圆 M的方程。【答案】 (1) 证明略；(2) 直线 l的方程为 xy20，圆 M的方程为x 3 2y 1 210 。或直线 l的方程为 2xy40，圆M的方程为292 x1 y22 854216【解析】故坐标原点 O 在圆 M 上。(2) 由(1) 可得 y1y22m,x1x2my1y242m24 。故圆心 M由于圆 M

29、的坐标为 m2过点 P 4, 22,m，因此2 y1，圆 M 的半径 rm2uuur uuurAP BP 0 ，故 x1 42 x2即 x1x24x1x2y1y2y220 0 。由(1) 可得y1y24,x1x24。242my1 2 y2 20，【考点】 直线与抛物线的位置关系；圆的方程 【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关 系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况。中点弦问题， 可以利用“点差法”，但不要忘记验证>0 或说明中点在曲线内部。21( 12 分)已知函数 f x x 1 aln

30、x 。1)若 f x 0 ，求 a 的值；2)设 m为整数，且对于任意正整数n11211212 L112nm ，求 m的最小值。【答案】 (1) a 1 ；(2) 3【解析】试题分析： (1) 由原函数与导函数的关系可得x=a 是 f x 在 x 0，+ 的唯一最小值点，列方程解得a1(2) 利用题意结合 (1) 的结论对不等式进行放缩，求得22 L2ne，结合1111 1 1 12 1 132 可知实数 m 的最小值为 322223试题解析：解：1) f x 的定义域为 0，+111故 112L 1ne 。2222n111而 1 1 1 12 1 13 2 ，所以 m 的最小值为 3 。22223【考点】 导数研究函数的单调性；导数研究函数的最值；利用导数证明不等式【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值 ) 最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来 看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1) 考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分 相联系 (2) 利用导数求函数的单调区间，判断单调性；