高等代数行列式计算方法小结

1、4、其他方法：其他方法：1、定义法：适用于定义法：适用于0比较多的行列式比较多的行列式2、利用性质化三角形行列式利用性质化三角形行列式3、按行（列）展开按行（列）展开分离因子法分离因子法箭形行列式箭形行列式行（列）和相等的行列式行（列）和相等的行列式递推公式法递推公式法加边法（升级法）加边法（升级法）拆项法拆项法数学归纳法数学归纳法（一）分离因子法（一）分离因子法2211231 223.2315231 9xDx 例：计算例：计算 解：由行列式解：由行列式 定义知为定义知为 的的4次多项式次多项式xD又又 当当 时，时，1，2行相同，有行相同，有 ，0D 1x 1x 为为D的根的根当当 时，时，

2、3，4行相同，有行相同，有0,D 2x 2x 为为D的根的根故故 有有4个一次因式个一次因式: :1,1,2,2.xxxxD(1)(1)(2)(2),Da xxxx设设令令 则则 0,x 1 1 2 31 2 2 312,2 3 1 52 3 1 9D 1 ( 1) 2 ( 2)12,a 3.a 即即3(1)(1)(2)(2).Dxxxx （二）箭形行列式（二）箭形行列式0121121200,0,1,2,3.0000nnnniabbbcacacDaina 解：把所有的第解：把所有的第 列列 的的 倍加到倍加到(1, )in iica 1i 第第1列，得：列，得： 11201().niinnii

3、bcDa aaaa 可转为箭形行列式的行列式：可转为箭形行列式的行列式：121111111),0,2,3.111inaaaina 122),0,2,3.inaxxxxaxxainxxax （把第（把第i 行分别减去第行分别减去第1行，行， 即可转为箭形行列式）即可转为箭形行列式）（三）行（列）和相等的行列式（三）行（列）和相等的行列式1).abbbabDba 12(1)(1)(1)nanb bbanb abcccanb ba 解：解：D 11(1)1bbabanbba 1100(1)2,3,00ibbrrabanbinab 1()(1).nabanb 12 3123 412).11321 22

4、1nnnDnnnnnnn 1 2 311 3 41(1)211321 1 221nnnn nDnnnnn 解解11221123101111(1)2011110 1111nnnnrrrrrrnnnn nnn 1111 1(1)111121111nnn nnn 111111(1)002,31200innrrn nnninnn 11211111(1)0002000nnnn nncccn (1)(2)22(1)( 1)( 1)()2nnnn nn (1)12(1)( 1).2n nnnn （四）升级法（加边法）（四）升级法（加边法）1121221 212,0.nnnnnnabaaaabaDb bbaa

5、ab 121121221211000nnnnnnnaaaabaaDaabaaaab 解：解：1)121121100(2,31)1 001 00ninaaabrr inbb 1 21(1).niniiab bbb 11111100(1,21)00niniiiinaaabcbcinbb （五）（五）递推公式法递推公式法0001000100.0000001nabababababDababab 112c()nnnDab DabD按按 展开展开解解211221()()nnnnnDaDb DaDbDaD 211221()()nnnnnDbDa DbDaDbD 22221();nnnnDaDbaabbaab

6、b 22221().nnnnDbDaaabbaaba 11(1)nnnnababDabnaab 由以上两式解得由以上两式解得 2221,DaabbDab而而行列式的值求出行列式的值求出 的值）的值）D（先将行列式表成两个低阶同型的行列式的线性（先将行列式表成两个低阶同型的行列式的线性关系式，再用递推关系及某些低阶（关系式，再用递推关系及某些低阶（2 2阶，阶，1 1阶）阶）（六）拆项法（六）拆项法（主对角线上、下元素相同主对角线上、下元素相同）121).nnaxaaaaxaDaaax 1210000,000nnxaxax Da 112200nnaxaaaxaaaxaaaxDaaaaaaxaa

7、解：解：1211,nnnnDx xxax D112212,nnnnDx xxaxD 继续下去，可得继续下去，可得 111221231nnnnnnnDaxxax xxxax xxxx 1241341321nnnnax x xxax x xxx xx x D 1211221323()nnnnna x xxx xxxx xxx xx1212110(1).nnnniix xxDx xxax , ,当当 时时 212323,nnnnDx xxaxD12nx xx 110nnaaaxaDaaax 1111naaxax 当当 时时也可以用加边法做：也可以用加边法做： 0(1,2)ixin111100niin

8、naaaxDxax 1211(1).nniix xxax （七）（七） 数学归纳法数学归纳法例例 证明：证明：12121111111(1).111nninaaDa aaaa 证：当证：当 时，时， ，结论成立，结论成立111111(1)Daaa1n 1211(1),kkkiiDa aaa 假设假设 时结论成立，即，时结论成立，即，nk 1122111101111111011110111 10111 11111111111kkkaaaaaaa 121111111111111 1111111kkkaaDaa 对对 ，将，将 按最后一列拆开，得按最后一列拆开，得1nk1kD 1211211(1)kk

9、kkiia aaaa aaa 112111(1),kkiia aaa 所以所以 时结论成立，故原命题得证时结论成立，故原命题得证1nk12100 000 0000001111 1kkkaaaDa 121kkka aaaD （八）（八） 范德蒙行列式范德蒙行列式解：考察解：考察阶范德蒙行列式阶范德蒙行列式1n 121111222212122111( )11nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxf xxxxxxxxx 12222122221212111.nnnnnnnnnnnxxxxxxDxxxxxx 例例计算行列式计算行列式121()()()()nijj i nxxxxxxxx 显然显然 就是

10、行列式就是行列式 中元素中元素 的余子式的余子式 ，.1n nM 1nx ( )f xD即即,1,1nn nn nDMA , ,（ 为代数余子式）为代数余子式）,1n nA 又由又由 的表达式及根与系数的关系知，的表达式及根与系数的关系知，( )f x1nx ( )f x中中 的系数为：的系数为： 121()().nijj i nxxxxx 121()().nnijj i nDxxxxx ,1121()()n nnijj i nAxxxxx 即即 121212121200,0.0nnnnnnaaaaaaaaDa aaaaaa练习练习1计算计算21121122121000000nnnnnnaaa

11、aaaaDaaaaaaaa 解解12111122211112,311ninnnnaaaaaarraaainaaa 121111222221000001111nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa 12112212101110112001020(3,42)1002ninnnaaaaaaacc inaa 1221(3,42)21(1,2)2ijjcc inccjna 121221111112211122002000002000002ininnnanaaaaaaa 111122( 2)1122nininaaana 2212,1( 2)(2).nnini jjaa aana 9 50 04 9 5

12、0.0 4 900 09 50 04 9nD 111215 004 9 5c94920,54 9nnnnnDDDD 按按 展展 开开解：解：即有即有11254(5),nnnnDDDD于是有于是有 练习练习2计算计算同理有同理有 212345 (4)nnnnDDDD22215(4)5(6136)5 ,nnnDD11115454.45nnnnnnnnnDDDDD 即即 221232154 (5)4(5)nnnnnDDDDDD 24(6145)4 ,nn .nabbbcabbDccabccca 111()11nnbbbabbcac Dcabcca 000ncbbbac bbbcabbabbDccab

13、cabcccacca 解解练习练习3计算计算11000()000nnbbbabcac Dcb abcb cbab 11()(),nnc abac D 000nbbbbabcabbcabbDccabccabcccaccca 又又()() ,nnncb Dc abb ac()()1(1) ().nncbDanb ab ，当当 时时 ()() /,nnncbDc abb accb，当当 时时11111(),ncabbbab Dccabccca abac（）-()-()，得，得证：证：时，时， ， 结论成立结论成立1cosD 1n 11cos10012cos2cos( 1)2cos11 2coskkk

14、kDD 假设假设 时，结论成立时，结论成立nk 当当 时，时， 按第按第 行展开得行展开得1k 1nk1kD cos10012coscos.2cos11 2cosnDn 练习练习4 4 证明：证明： 2coscoscoskk2coscoscoscossinsinkkkcoscossinsinkkcos(1) ,k 于是于是 时结论亦成立，原命题得证时结论亦成立，原命题得证1nk12cos.kkDD 由归纳假设由归纳假设 12coscoscos(1)kDkk 2221212111.nnnnnnxxxDxxx 解：考察解：考察阶范德蒙行列式阶范德蒙行列式1n 2122221211112121111 1( )nnnnnnnnnnnnxxxxxxg xxxxxxxxxxx 121()()()(),nijj i nxxxxxxxx 练习练习5计算计算2,1nM (