2016全国2卷高考文科数学试卷及答案

1、2016 年普通高等学校招生全统一考试文科数学本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 24 题，共 150 分只有一项是符合题目要求的。第卷、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，1)已知集合 A 1,2,3 ， B x x2 9 ，则 A B2)3)4)5)6)7)A) 2, 1,0,1,2,3B) 1,0 ,1,2设复数 z满足 z i 3 i，则 zA) 1 2iB) 1 2iC) 3 2i函数 y Asin( x ) 的部分图像如图所示，则A) y 2sin(2x 6)C) y 2 sin(2x )6B) y 2sin(2x 3 )3D) y

2、 2sin(2x )3体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A)12B) 323C) 8D)C)D)设F为抛物线 C：A) 12圆 x2 y 2A)31,2,33 2iD) 1,2y2 4x的焦点，曲线 y k (k 0)与C交于点xP， PF x轴，则kB)13C)32D) 22x 8y 13 0的圆心到直线 ax y 1 0 的距离为B) 34C) 3D)2右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A)20B)24C)28D)321，则 a8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至

3、少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为753(A)( B)(C)10889) 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图D)310.执行该程序框图，若输入的 x 2 ，n 2 ,依次输入的 a为 2，2，5，则输出的 sA)7B)12C)17D)3410)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y 10lg x 的定义域和值域相同的是A) y xB) y lgxC)xy2D)1yx11)函数 f(x)cos 2x 6cos(x)的最大值为2A)4B)5C)6D)712)已知函数 f (x)(x R) 满足 f (x) f (2 x) ，若函数 y2 2x 3 与m y f (

4、x)图像的交点为 (x1, y1),(x2,y2), ,(xm,ym) ，则i1xiA)0B) mC) 2mD) 4m第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13) (21) 题为必考题，每个试题都必须作答。(22) (24) 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。13)已知向量 a (m,4) ，b (3, 2) ，且 ab，则 mx y 1 0,14)若 x, y满足约束条件 x y 3 0,则 z x 2y 的最小值为x 3 0,45(15) ABC 的内角 A, B, C的对边分别为 a,b,c，若cosA ,cosC ,a 1，则 b5 13( 1

5、6)有三张卡片，分别写有 1和 2，1和 3，2和3甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片 后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说： “我与丙的卡片上相同的数字不是 1 ”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17）（本小题满分 12 分）等差数列 an 中，且 a3 a4 4 ， a5 a7 6 ）求 an 的通项公式；）记bn an ，求数列 bn 的前 10项和，其中 x 表示不超过 x的最大整数，如 0.9 0，2.6 218）（本小题满分 12 分）某险种的基本保费为 a（单位：元）

6、 ，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了设该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数012345概数605030302010）记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费” 求 P（A） 的估计值；）记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”求 P（B） 的估计值；D）求续保人本年度平均保费的估计值19）（本小题满分 12 分）如图， 菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点

7、E,F 分别在 AD,CD 上，AE CF ，EF 交 BD 于点 H . 将 DEF 沿 EF 折到 D EF 的位置 .）证明： AC HD ； ）若 AB 5， AC 6， AE 5 ，OD 2 2 ，求五棱锥 D ABCFE 的体积420）（本小题满分 12 分）已知函数 f （x） （x 1）ln x a（x 1）当 a 4时，求曲线 y f（x）在（1,f （1）处的切线方程；）若当 x （1, ）时， f（x） 0，求 a的取值范围21）（本小题满分 12 分）22已知 A是椭圆 E： xy 1的左顶点，斜率为 k（k 0）的直线交 E于A,M两点，点 N在E43上， MA NA

8、.）当 AM AN时，求 AMN 的面积；）当 2AM AN 时，证明： 3 k 2.请考生在第（ 22）（ 24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 （22）（本小题满分 10 分）选修 4-1 ：几何证明选讲如图，在正方形 ABCD 中， E,G分别在边 DA,DC 上（不与端点重 D G 合），且 DE DG ,过D点作DF CE ,垂足为 F .EF（）证明： B,C,G,F 四点共圆；）若 AB 1， E为DA的中点，求四边形 BCGF 的面积 .23）（本小题满分 10 分）选修 4-4 ：坐标系与参数方程22 在直角坐标系 xOy中，圆 C 的方程为 （x 6）

9、y25.）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；x tcos ,）直线 l的参数方程是（ t为参数）， l与C交于 A, B两点， AB10，求 l的斜率.y tsin ,24）（本小题满分 10 分）选修 4-5 ：不等式选讲已知函数f(x)11xx22M 为不等式（x） 2 的解集）求 M ；）证明：当 a,b M 时， a b 1 ab .2016 年全国卷高考数学（文科）答案选择题（1）D（2）C（3） A（4 ） A（5） D（ 6） A（ 7） C（ 8） B（9）C（10）D( 11) B( 12) B填空题(13) 6(14) 515)2113

10、（16）1和3三、解答题（17） （本小题满分 12 分 ）2 （ ） 设数列an的公差为d，由题意有2a15d 4,a15d3 ，解得a11,d ，5 2n 3所以 an 的通项公式为 an.)由 () 知bn2n 3当 n=1,2,3 时， 1 2n 3 2,bn 1；5当 n=4,5 时， 2 2n 3 3,bn 2 ；5当 n=6,7,8 时，3 2n5 3 4,bn 3 ；5当 n=9,10 时，4 2n 35,bn4 ，5n所以数列 bn 的前 10 项和为 1 3 2 2 3 3 4 2 24 .18）（本小题满分 12 分 ）（） 事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.

11、由所给数据知，一年内险次数小于 2 的频率为60 502000.55故 P（A）的估计值为 0.55.（）事件 B发生当且仅当一年内出险次数大于 1且小于 4.由是给数据知， 一年内出险次数大于 1 且30 30小于 4 的频率为 30 30 0.3，200故 P（B） 的估计值为 0.3.（ ） 由题所求分布列为：保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查 200 名续保人的平均保费为0.85a 0.30 a 0.25 1.25a 0.15 1.5a 0.15 1.75a 0.30 2a 0.10 1.1925a ， 因此，续保人

12、本年度平均保费估计值为 1.1925a.19) (本小题满分 12 分)( I)由已知得， AC BD,AD CD.AE CF又由 AE CF 得 ，故 AC / /EF.AD CD由此得 EF HD,EF HD ，所以 AC/HD .OH AE 1(II)由 EF / /AC 得.DO AD 4由 AB 5,AC 6 得 DO BO AB2 AO2 4.所以 OH 1,D H DH 3.于是 OD 2 OH 2 (2 2)2 12 9 DH2,故OD OH. 由( I)知 AC HD ，又 AC BD,BD HD H ，所以 AC 平面 BHD , 于是 AC OD .又由 OD OH,AC

13、 OH O ，所以， OD 平面 ABC.EF DH9又由 得 EF .AC DO21 1 969五边形 ABCFE 的面积 S 6 8 32 2 241 69 23 2所以五棱锥 D' ABCEF 体积 V 1 69 2 2 23 23 4 220）（本小题满分 12 分）(I) f ( x)的定义域为 (0, ).当 a 4时，1f(x) (x 1)lnx 4(x 1),f (x) lnx 3，f (1) 2, f (1) 0.曲线 y f ( x)在(1, f (1)处 x的切线方程为 2x y 2 0.(II)当 x (1, )时， f(x) 0等价于 ln x a(x 1)

14、0.x1令 g(x) ln x a(x 1) ，则x12x(x 1)g (x) 1x (x2a1)2 x2 2(1 a)2x 1,g(1) 0， x (x 1)i)当 a 2， x (1, )时， x2 2(1 a)x 1 x2 2x 1 0，故 g (x) 0, g( x) 在 x (1, )上单调递增，因此 g(x) 0 ；(ii)当 a 2 时，令 g (x) 0得x1 a 1 (a 1) 1,x2 a 1 (a 1) 1 ，由 x2 1和x1x2 1得 x1 1，故当 x (1, x2)时， g(x) 0， g(x)在 x (1, x2)单调递减，因此g(x) 0.综上， a的取值范围

15、是,2 .21) (本小题满分 12 分)()设 M(x1,y1) ，则由题意知 y1 0.由已知及椭圆的对称性知，直线 AM 的倾斜角为 ， 4又 A( 2,0) ，因此直线 AM 的方程为 y x 2.22将 x y 2代入 x y 1得 7y2 12y 0，43解得因此12 12y 0 或 y 7 ，所以 y1 7 .1 12 12 144 的面积 S AMN 2AMN 2 7 7 49AMNII)将直线22AM 的方程 y k(x 2)(k 0) 代入 x y 1 得4322(3 4k2)x22216k2x 16k2 12 0 .3 4k2由x1 ( 2)163k24k122得x12(

16、3344kk22) ，故| AM| 1 k2 |x12| 12314kk223 4k2 34k2 34k21 12k 1 k2由题设，直线 AN的方程为 yk1(x 2)，故同理可得 |AN| 124k 13k2k2 k 3 2 由2|AM | |AN|得3 24k2 4 k3k2 ，即4k3 6k2 3k 8 0.设 f(t) 4t3 6t2 3t 8，则 k是 f (t)的零点， f '(t) 12t2 12t 3 3(2t 1)2 0，所以 f(t)在(0, )单调递增，又 f( 3) 15 3 26 0, f(2) 6 0，因此 f(t) 在(0, )有唯一的零点，且零点 k

17、在( 3,2) 内，所以 3 k 2.22) (本小题满分 10 分)(I)因为 DF EC ,所以 DEF CDF,则有 GDF DEFFCB, DCFF CDDE DCGB所以 DGF CBF ,由此可得 DGF CBF ,由此 CGF CBF 1800 ,所以 B,C,G,F 四点共圆(II)由B,C,G,F 四点共圆， CG CB知FG FB，连结 GB ，由 G 为 Rt DFC 斜 边 CD 的 中 点 ， 知 GF GC , 故S 是 GCB 面积 S GCB 的 2 倍，即1.2.Rt BCG Rt BFG,因此四边形 BCGF 的面积S 2S GCB 2 12 21 123)

18、 (本小题满分 10 分)I)由 xcos ,y sin 可得 C 的极坐标方程 2 12 cos 11 0.II)在( I)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为 ( R)由 A, B所对应的极径分别为1, 2,将l 的极坐标方程代入 C的极坐标方程得2 12 cos 11 0.于是 1 2 12cos , 1 2 11,| AB | | 1 2 | ( 1 2)2 4 1 2144cos244,由|AB| 10得 cos23,tan 15 ，83所以 l 的斜率为 15 或324) (本小题满分 10 分)11 1 1(I)先去掉绝对值，再分x 2，2x 2和x 2三种情况解不等式，即可得；(II )采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a，b时， a b 1 ab 2x,x1 ,211试题解析：( I) f (x) 1, 1 x 1,222x,x 1.21当 x 时，由 f (x) 2 得 2x 2,解得 x1 ；11当 x 时， f (x) 2 ；221当 x 时，由 f (x) 2得 2x 2,解得 x 1.所以 f(x) 2的解集 M x| 1 x 1 .( II)由( I)知，当 a,b M 时， 1 a 1, 1 b 1 ，从而2 2 2 2 2 2 2 2(a b