2010届高三数学第二轮复习专题1 集合与简易逻辑第2节 简易逻辑 （教案及测试；含详解答案）

1、1.2 简易逻辑考纲解读：1. 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，并能用逻辑联结词正确表达相关内容；2. 了解命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题之间的关系.能利用互为逆否命题是等价命题来判定有关命题的真假.3. 理解充分、必要、充要条件的意义，并会判定命题P是命题Q的什么条件.考点回顾：逻辑是研究思维形式及规律的一门基础学科，基本的逻辑知识是认识问题、研究问题不可缺少的工具，在近年高考中，本节以考查四种命题、逻辑联结词为主，难度也比较小；预计在2010年高考中本节内容仍会有所体现，题型以选择题为主，另外，本节知识可以作为工具考查三角、立体几何、解析几何等的知识点，平时学习

2、要注意这些知识的联系与应用.基础知识过关：逻辑联结词：1. 命题：（1）、定义：能够 的语句叫命题.（2）、分类：按命题的正确与否，命题可分为 、 . 按是否含有逻辑联结词命题可分为 、 .2.逻辑联结词： 这些词叫做逻辑联结词.3.依据真值表判断命题的真假：（1）、非P形式的复合命题：当P为真时，非P为 ，当P为假时，非P为 .（2）、P且q形式的复合命题：当p、q都为真时，p且q为 ； 时，p且q为假.（3）、P或q形式的复合命题：当p或q至少有一个为真时，p或q为 ；当 时，p或q为假.四种命题1、四种命题：原命题：若p则q，则逆命题为 ；否命题为 ；逆否命题为 .2、四种命题的关系：若

3、原命题为真，则它的逆否命题 ；原命题与它的逆否命题 ；同一个的命题的逆命题和否命题 .3、反证法：欲证“若p则q”为真命题，需从否定其 出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而判定原命题为真，这样的方法称为反证法充要条件1、 从逻辑关系上看：（1）、若，但qp，则p是q的 条件；（2）、若，但pq,则p是q的 条件；（3）、若且，则p是q的 条件；（4）、若pq且qp，则p是q的 条件.2、从集合与集合之间的关系看：（1）、若,则A是B 的 条件；（2）、若，则A是B 的 条件；（3）、若A=B,则A是B 的 条件；（4）、若,则A是B 的 条件.答案：逻辑联结词：1.（1）、判断真假（2）、真

4、命题 假命题 简单命题 复合命题2、或 且 非3、（1）、假 真（2）、真 当p或q至少有一个为假（3）、真 当p和q 都为假四种命题：1、若q则p 若 2、真 等价 等价3、结论充要条件：1、（1）、充分不必要（2）、必要不充分（3）、充要（4）、既不充分也不必要2、（1）、充分不必要（2）、必要不充分（3）、充要（4）、既不充分也不必要高考题型归纳：简易逻辑题型1.判断复合命题的真假此类问题主要是考查真值表的应用，常以选择题的形式出现。例1. 下列各组命题中，满足“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是（ ）Ap:0；q:0Bp：在ABC中，若cos2Acos2B，则AB； ysi

5、nx在第一象限是增函数C；不等式的解集为Dp：圆的面积被直线平分；q：椭圆的一条准线方程是x4分析：分别判断出个选择项中简单命题的真假既得.解析：由已知条件，知命题p假且命题q真.选项(A)中命题p、q均假，排除；选项(B)中，命题p真而命题q假，排除；选项(D)中，命题p和命题q都为真，排除；故选(C)点评：解决此类问题的关键是第一步确定命题p、q的真假，如果这一步弄错了，那么第二步根据真值表确定“p或q” “p且q” “非p”的真假就没有了保障，因此，这两步都必须准确无误.题型2.四种命题此类问题主要考查学生能否依据原命题正确写出其它三个命题的能力，并依据命题间的关系准确判定其真假。例2.

6、 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:(1) 若q<1，则方程有实根；(2) 若ab0，则a0或b0；(3) 若，则x、y全为零.分析：根据四种命题的关系，正确写出其它几个命题是解题关键，判断真假的时候可以对每个命题单独判定，也可以应用等价关系间接判定.解析：(1)逆命题：若方程有实根，则q1，为假命题否命题：若q1，则方程无实根，为假命题逆否命题：若方程无实根，则q1，为真命题(2)逆命题：若a0或b0，则ab0，为真命题否命题：若ab0，则a0且b0，为真命题逆否命题：若a0且b0，则ab0，为真命题(3)逆命题：若x、y全为零，则，为真命题否命题：若0，则

7、x、y不全为零，为真命题逆否命题：若x、y不全为零，则0，为真命题点评：四种命题问题，要注意分清原命题的条件和结论，特别是对于含有逻辑联结词的问题，在写否命题的时候要注意改变.而且要弄清否命题与命题的否定的区别.题型3.充要条件充分条件与必要条件是四种命题关系的深化，应当深刻领会充分、必要、充要条件的内涵，尤其是“必要条件”，这一概念较难理解，可借助“逆否命题”的概念来帮助理解，一个结论成立的条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个.例3.下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由1 A：，B：方程有实根；2 A：，B：；3A：；B：；4A：圆与直线相切，B：分析：要判断A是B的什么条件，只

8、要判断由A能否推出B和由B能否推出A即可解析：(1) 当，取，则方程无实根；若方程有实根，则由推出或6，由此可推出所以A是B的必要非充分条件(2)若则所以成立若成立 取，知不一定成立，故A是B的充分不必要条件(3) 由，由解得，所以A推不出B，但B可以推出A，故A是B的必要非充分条件(4) 直线与圆相切圆(0，0)到直线的距离，即.所以A是B的充要条件.点评：对充分条件的判定要分清条件和结论，而且对于必要不充分或者充分不必要条件的判定如果考虑不全，则往往出现错误的结果或者变成了充要条件.题型4.反证法反证法的第一步为否定结论，需要掌握常用词语的否定（如“至少”等），而且推理过程中，一定要把否定

9、的结论当条件用，从而推出矛盾用反证法证明命题的一般步骤为：（1）假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过正确的推理论证得出矛盾；（3）由矛盾判断假设不正确，从而肯定所证命题正确例4. 若a，b，c均为实数，且a2y，b2z，c2x求证：a、b、c中至少有一个大于0分析：本题主要考查反证法，首先要正确的作出假设（否定结论）:a、b、c都不大于0，即.证明：假设都不大于0，即 ，则而，相矛盾因此中至少有一个大于0点评：正确地作出反设（即否定结论）是正确运用反证法的前提，要注意一些常用结论否定形式，另外，需注意作出的反设必须包括与结论相反的所有情况，也只有证明了与结

10、论相反的所有情况都不成立，才能保证原来的结论一定成立.过关训练：简易逻辑（人教A版）(一)选择题1下列语句中是命题的是 （ ）A集合与简易逻辑B你学过逻辑知识吗？Cax2bxcD0属于自然数集N2否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是 （ ）A有一个解B有两个解C至少有两个解D至少有三个解3在下列各组命题“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题中，p或q为真，p且q为假，非p为真的是 （ ）Ap：3是质数；q：2不是质数也不是合数Bp：2×810；q：1的倒数还是1Cp：空集的子集是空集 q：设A是任一集合，则ADp：ZR q：NN*4命题“不等式x2x60的解是2x3”中

11、，使用的逻辑联结词是（ ）A或B且C非D没有使用逻辑联结词5原命题：“若xy1，则x、y互为负倒数”，则 （ ）A逆命题为真，否命题假，逆否命题真B逆命题为假，否命题真，逆否命题真C逆命题为真，否命题真，逆否命题假D逆命题为真，否命题真，逆否命题真6下列说法中，正确的个数是 （ ）一个命题的原命题为真，它的逆命题也一定为真；一个命题的原命题为假，则它的逆否命题一定为真；若一个命题的否命题为真，则这个命题不一定为真；若一个命题的逆命题为真，则这个命题的否命题也一定为真A1个B2个C3个D4个7b24ac0是一元二次方程ax2bxc0(a0)有实根的 （ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C

12、充要条件 D既不充分也不必要条件8设集合A，B及全集S，下列命题 ABA ABB A(CSB) (CSA)BS 中与命题AB等价的有 （ ）A1个B2个C3个D4个92x25x30的一个必要不充分条件是 （ ）10已知h0，设命题p：两个实数a、b满足|ab|2h命题q：两个实数a、b满足|a1|h且|b1|h，那么 （ ）Ap是q的充分而不必要条件 Bp是q的必要而不充分条件Cp是q的充要条件 Dp不是q的充分条件也不是q的必要条件11.设x是实数，命题P：x>0,命题Q：>0,则的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12.如果

13、x、y是实数，那么“xy>0”是“|x+y|=|x|+|y|”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(二)填空题13.反证法证明命题：“如果a、bN*，a、b可以被7整除，那么a、b中至少有一个能被7整除”，则假设的内容应是_14.已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的_条件，A是B的_条件15.“正数或零能够开平方”是由简单命题p：_和q：_构成的_形式的复合命题16.|x1|(0)的充要条件是_(三)解答题17.设命题p：（4x-3）21;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)0,若p是q的必要不充分条件，求实

14、数a的取值范围.18.求关于x的方程ax2-(a2+a+1)x+a+1=0至少有一个正根的充要条件.19.设p：实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a<0；q：实数x满足x2-x-60，或x2+2x-80，且 的必要不充分条件，求a的取值范围.20.(1)是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；（2）是否存在实数p，使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围.21.已知，设函数在R上单调递减，：不等式的解集为R，如果和有且仅有一个正确，求c的取值范围22. 已知a

15、与b均为有理数，且和都是无理数，证明+也是无理数。答案与解析(一)选择题1解：根据命题定义，能判断真假的只有第四个.答案：D2解：至多有n个”的否定是“至少有n1个.所以至多有两个解得否定式至少有三个解.答案：D3解：由题意p或q为真，p且q为假，非p为真可知，只要找p假q真的一组即可，显然只有B符合条件.答案：B4解：不等式axb是指“xa且xb”答案：B5解：逆命题与否命题同真同假即，一个命题的逆命题与否命题等价.并且原命题为真，则可判断D正确.答案：D6解：互为逆否的两个人命题是等价的，而一个命题的真假和它的逆命题或者否命题之间没有根本的联系.答案：B7解：若b24ac0，则方程ax2b

16、xc0(a0)有两个不等实根，而若方程ax2bxc0(a0)有实根，则b24ac0，所以b24ac0是方程ax2bxc0(a0)有实根的充分不必要条件.答案：A8解：利用文氏图显然可知，四个结论均正确。答案：D9.解：因为，故要找P=的必要不充分条件，即找集合Q,使,则而QP.答案：D 10解：因为|a-b|=|(a-1)-(b-1)|a-1|+|b-1|,所以若|a-1|<h且|b-1|<h,则|a-b|<h,反之则不一定成立.所以P是q的必要不充分条件.答案：B11.解：显然且QP，所以且,所以的必要不充分条件.答案：B12.解：由xy>0,知x、y同号，则|x+y

17、|=|x|+|y|，从而xy>0|x+y|=|x|+|y|,而反之不一定成立，因为x=0,y0时，|x+y|=|x|+|y|成立，但是xy>0不成立，所以“xy>0”是“|x+y|=|x|+|y|”的充分不必要条件.答案：A(二)填空题13.解：至少有一个的反面是一个都没有。答案：a 、b都不能被7整除14.解：根据充分、必要条件的定义以及命题之间的等价即可得.答案：必要；必要15.解：这是一个或命题，由正数能够开平方及0能够开平方两个简单命题复合而成。答案：正数能够开平方；0能够开平方；p或q16.解：求不等式的充要条件就是解不等式.答案：1x1(三)解答题17.解： 设A

18、=x|(4x-3)21,B=x|x2-(2a+1)x+a(a+1)0,易知A=x|x1,B=x|axa+1.由p是q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，故所求实数a的取值范围是0，.18.解方法一 若a=0，则方程变为-x+1=0,x=1满足条件，若a0，则方程至少有一个正根等价于或或-1<a<0或a>0.综上：方程至少有一正根的充要条件是a>-1.方法二 若a=0，则方程即为-x+1=0,x=1满足条件；若a0，=(a2+a+1)2-4a(a+1)=(a2+a)2+2(a2+a)+1-4a(a+1)=(a2+a)2-2a(a+1)+1=(a2+a-1)20，方程一定有两个实根.故而当方程没有正根时，应有解得a-1,至少有一正根时应满足a>-1且a0,综上：方程有一正根的充要条件是a&