考点强化测试三角向量综合

1、考点强化训练向量与三角函数CM、BN交于P点，记AB =a, AC = b，试用a,b表示，AN:AC=1:4，1、如图，M、N ABC 的边 AB、AC 上的点，若 AM:AB=1:3 7?.2 设 a = ( 1-x)i , b = (1 x)i+yj(x,y R 且 i , j 分别是x，y轴正方向上的单位向量)，若|a|=|b|.(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程；过点(4,0)作直线l交曲线C于A、B两点，设O为坐标原点，且OP=Oa OB,求证：四边形OAPB为矩形.3、已知:a =(cos a ,sin ， at) =(cos B ,sin B )(0< a <B

2、<n)(I)求证：a b与a - b互相垂直；(U)若ka b与k；-b大小相等，求(其中二 且)4、5、已知：a、b、c是同一平面内的三个向量，其中 a = (1，2).(I)若|b|=Y,且a 2b与2a -b垂直，求a与b的夹角二.2(H) 若 |C| = 2.5，且 c/a，求 c 的坐标；-33 x二 卜已知向量 a = (cos x,sin x),b = (cos-, sin ),且x 0, ,求2 2 2 2 2(I) a b及 | a b |; (n)求函数 f (x)二 a b- | a b |的最小值.6、直角坐标平面内， ABC的两上顶点A、B的坐标分别为 A( 1

3、，0)、B(1，0)，平面GA GB GC内两点 G、M同时满足以下条件：|MA| =|MB|= |MC |，GM / AB.求厶ABC的顶点C的轨迹方程.3兀7、已知,ta n -104tan ：32 1,cos( ),求 COS(二-)的值329JTJTOt心8 已知：(二)(0,-),sin(- ：)= 3222322兀卜兀9、已知 6sin :：亠sin .cos: -2cos =0,:乂三,二),求 sin(2 )的值.23x10、已知函数 f (x) = log 1 cos( ).234(I)求f (x)的定义域；(n)求函数的单调区间;b).11、设向量 a=(sin x,cos

4、x), b =(cosx,cosx) , x R,函数 f(x)= 茁a b(I)求函数f(x)的最大值与最小正周期;3(n)求使不等式f(x) > 成立的x的取值范围.2u r12、已知 A、B、C 是/ABC 三内角，向量 m= (- 1, . 3) , n= (cosA,si nA)，且 u rm?i 1 .(I)求角 a ； (II)若 1：sin2B2 二-3，求 tanC cos B- sin B13、已知函数f (x) =si n(x )(一 0,0乞辽二)为偶函数，且其图象上相邻的一个最低点和最高点的距离为 4 二2(I)求函数f(x)的表达式;(n)设g(x) =ax

5、+ f (x)(a色1)，求函数g(x)的单调区间14、已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos 2B -8cos B 0，求角b的大小并判断 ABC的形状.sin( A B) b +c15、在 ABC中，三个内角A、B、C及其对边为a、b、c满足sin (A+B) c(I)求角A的大小；(n)若a =6，求 ABC的面积的最大值.16、设0空x虫理，求函数y二sin 2x -8(sin x cosx) 19的最大值和最小值.考点强化训练向量与三角函数答案1、解 B、P、N 共线，可设 BP= ' BN， BP =?；-(AN AB) b

6、a , CP=BP BC=(1 )a (1)b ,44b不共线,又 cm =aM-ac -,，由 cM,cP 共线且 a、317a.(1 一 )：1 =(1)：(一1)，解得 -，即 AP =AB BP 3弓上 b .2、解 由 |a |=|b 得(_1 x)2 = (1 - x)2 y2,. y2 =4x .由OP =OA OB,得OAPB为平行四边形.3 4111111由O设直线AB的方程为my=x 4,与抛物线联立消去x，得y24my 16=0,二 yy2= 16, X1X2= 上=16,从而 OA OB = x/2 %2 =0, OA_ OB ,4 4即四边形OAPB为矩形.3、解：(

7、1)依题意知 a - b=(cos a +cosB ,sina +，i n B)a - b =(cos cos B ,sincsin B,)又(a b)(a-b) (cos a + cos 0)(co$ a - cos ff) + (sm cs + sin #)($in cs - $in 0)一寫：所以g b）_（a_b）.(U) 由于 |kf±b |=(kcos a± cos B ,ksin a + sin B)2-2kcosb | = | ka - b |，所以所以 | ka ±b |= J1 +k2 ±2kcos（ P -口）.又因为 |_：?：

8、jJ C：i _： 工，且；r I ，故.又 一二,所以一.24、解：(i) (a 2b) (2a-b), (a 2b) (2a-b) = 0，即 2a 3ab-2b = 0,rt予节52| a|23a b -2|b|2 = 0,.2 5 3a b - 2-=0 ,5 a b所以a b ，所以cos1,2|a|b| 丁 0,二,二丁=二.3,或y =4,(n)设 c=(x,y),由 c/a 和 |c| = 2.5，得 罗于二0, |/a口a2 1-cos a + y2 = 20.x = 2 :. C=(2,4)或 C=(-2,-4) y 一.3 x.3. x5、解析：(I)a b =cos-x

9、 cos sin x sin cos2x ；+ (si n3x-si n)2 = J2+ 2cos2x =2 22 cos2 x，|a +b |= ' (cosx +2 2 2 2i *n* x 0,. cosx 亠0,. | a b | = 2cos x .22 1 2(n) f(x) = cos 2x - 2cosx = 2cos x - 2cosx - 1 = 2(cos x )21 3X 。才0 52:当且仅当cosxu时，f（x）取得最小值-76 、 解：设点 C , G 的坐标分别为（x,y）,（x°, y°）=0,G A G B G C(r0 1 -

10、x0,$x-)x0,yf y°) =xx-,3x°,yy 3y°)(0, yo),得 x =3xo,y =3y°,由 |MA|=|MB|和GM AB，得点 M 的坐标为由 |MB|=|MC|，得,1 y；X2 (y-y。)2,x22丄=1(y = 0).32 4 2综上可得1- x2 y2,即x2 = 1.所以点C的轨迹方程是9931 1027、解：(I )由 tan得 3tan 二 T0tanJ"3=0,tan313兀1tan 二-3或 tan二 ，又，所以 tan 二 .111 + co-82、2 sin I-2 2 cos:-2 2343

11、Jl片HoHOt nJI JIP_& 解：（2川）（o,2）-孑八（肓,y，：（2j所以 cos( H ,sin( )=«5,23299、解：由已知得：（3si n ：亠2cos： ）（2si n：-cos：）=0解得 3sin2 c o s 或 0 2s+ n : co s由已知条件可知 cos壽所以f ,即很三（一，二）.2 210、解：（I）易知f （x）的定义域为不等式W-1Tcos（3+40的解集，解此不等式得定义域为Jx | 6knJT:x : 6k二二，kf x的最大值为最小正周期是x 下（n ）在f（x）的定义域中，cos（ ）单调递增，当且仅当对一切kz,有

12、34二x二93x二2k2k二解得6kx_6k； cos（）单调递减，当且2344434x 応H33仅当对一切k z，有2k2k,.解得6kx6k.又3 4244nf(x)y =log1 u为递减函数，故f （x）的单调递减区间为23 3的单调增区间为6k二二,6k二-：)( z).4 42 2 211、解：(I)： f(x) = a (a b) =a *a asin x cos x sinxcosx cos x（n）由（I）知x - 3 即-13. 2二=1+ sin2x (cos2x 1)si n(2x) 2224 sin(2 x ) _ 3,解得 二 sin(2 x ) - 0,22242

13、43：.即卩 2k 二岂 2x 2k二二，解牛得 kk 一，k， Z.4 88即f X _3成立的x的取值集合是 x|k,k Z .2 8 81 、3sinAcosA=1, sin(A )二一 6 2b ri*ji兀 5兀12、解：(I m?n 1， : 0 ： A ：二，A 6 6 6A-(U)由1+ sin 2Bcos2 B - sin2 B=-3,得.tanB=2或 tan B - -1.而 tan B - -1 时,cosB-sin B = 0,不合舍去-tanB = 2. tanC - - tan(A B)二tan A tan B1 - ta n Ata nB2.31-2*38 53

14、1113、解：(I)由已知函数 f(x)=sin(x0,0 一 _ '：)为偶函数，故函数f(x)的图象关于y轴对称， f(0) =1,或f(0) = -1 ,二k二 一(kZ).此时2f ( X)二cos x又其图象上相邻的一个最低点和最高点的距离为 4 二2，故 =1, f (x) = cosx.(n)： g(x) = ax cosx , g (x)二 a -sin x.若a -1，贝y g (x)二a -sin x _0恒成立，故函数 g(x)在r上递增，即g(x)的单调递增区间为(：).若a_-1，贝U g(x)=a-sinxi0恒成立，故函数g(x)在R上递减，即g(x)的单

15、调递减区间为(-：-,；).14、解：I 2cos 2B -8cos B 5=0,又a、b、c成等差数列， a 2b，由正弦定理得sin A sinC = 2sin B3 si nA si n(2 A) 、3,得 3 si nA cos33 22.z兀、Ji nnJi-sin(A ) =1, A,.A ,C=-66 233ABC 是等边三角形 .15、解：由正弦定理sin(A B)sin(A-B)b c 可化为 sin(AB) sinB sinCsin (A + B) sinC又；A B C 兰, s i nA B =)sCn故 有 sin( A - B) = sin B sin Csin A

16、 - B ) s Bn sA n (B,2 cAo sBs i n 又 s i B0 e o A = 1 A尸 1. 2 02be _ 3bc,(n)由余弦定理得 a2 = b2 c2 -2bccosA, 36 = b2 c2 bc <12，当且仅当b=c=2：3时取等号AA#2从而 S=bcsinA= bcsin 120bc_3i3.224故当b = e = 2 ； 3时，厶ABC的面积取最大值 3 3.16、解：设 t =sin x cosx , / 0 乞 x 空二，t 二直 x(sx2s22又(sin x cosx) 1 sin2x,. sin 2x = t -1,2 2y=sin2x-8(sin