导数压轴题训练

1、1 ax x 2 0,所以当1 -a乞0时,即a _ 1时，f ' x - 0恒成立，则函数f x在单调递增，当 a <1 时，f' xQ- xf(x )在区间0,NW单调递减，在导数压轴题训练2x1.(2014 湖南).22.(2014 湖南).已知常数 a 0,函数 f x =1 n 1 ax -x + 2(1)讨论f x在区间 0，亠上的单调性；若f x存在两个极值点x1, x2，且f为 f x2- 0,求 a的取值范围.【答案】(1)详见解析【解析】解：(1)对函数f x求导可得2 2f'X二亠-亠二亠41：,因为 1+ax (x+2)(1+ax)(x+2

2、)(1 + axJ(x+2)2 . - 一 _ _ 一+ =0单调递增的.解:对函数f x求导可得2a x 2 ? -4 1 ax，丄j2 ''2 = J21+ax (x+2)(1+ax)(x+2)(1 + axJ(x+2)_ 2 _ _ -2ax -4a ，因为1 ax x 2 > 0,所以当1 -a乞0时,即a _ 1时,f ' x: 0恒成立,则函数f x在0,：；心；单调，则函数f(x )在区间0,2皿递增，当 a：1 时，f' x =0= x = 3a 1a单调递减,+ =0单调递增的.(Di：挪帕卩呦上柳亦%叫辄斛®斷网盯+他)谢勅删

3、訓.K你卜斗也学上业斗.1皿 (j+2)r(1册)(聆釘尬1礼 /(；)>0.恤旅何盯冷胡冷上丄3一订总 a ae(O(j|)M. /(Jf)<Ot ?neij,+w)阶 fW w(jt)»i( I片tw& m(瓶+砒輒朋 烁,tJfif恤.牝刑JW脉師*)训i®热 恤闵机/(讹葩他2护)上轉蹶i®K 輒黠(11)1111)1如测j温删幷)秤ffl腕固陋勰 炉丙斛融畀恢何，X/(xMAARWv)J>，削丿號知険m-llLx*-2t臧皿*-丄,* 丫 aRV U 归-评山,甫帥*懈血删必 熾勰山删怖 脚臥朋.H枷网环靠SO<tKyW.

4、 -1<X<(当+"打前，QW】， i2f(j)=h?+-2.(i) 1仲初附询M叮)冲-?以恤沖甘卡爷呱SH翼脚Hd財iBUSi沖应X卜轴端岂 險胡川卜雉灿*(ii) 肖叱闵此匸“卜加护冷以眺g織制卩hWM从側祁血'捫ig"川f,R/卡他以， 淞紺SMMi竈册扣).2.(20)(2014江苏)(本小题满分14分)已知函数f(x)= x- aex (a? R), x? R.已知函数 y= f(x) 有两个零点x1,x2，且xi < x2.(I)求a的取值范围；(n)证明生随着a的减小而增大；X1(山)证明x1 + x2随着a的减小而增大(2014四

5、川卷)21 (2014四川卷).已知函数 f(x) = ex ax2-bx1，其中 a,b R, e=2.71828i为自然对数的底数。(1 )设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数 g(x)在区间0,1上的最小值；(2)若f(1) = 0，函数f (x)在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围解：(i)因为 f (x) = ex -ax? 一 bx -1 所以 g(x) = f (x) = ex 一 2ax - b 又 g (x) = ex 一 2a因为x三0,1 , 1 < ex < e所以：g (x) = ex -2a _ 0 ,所以函数g(x)在区间0,1上单增，gmin

6、(x) =g(0) =1-b1 e若一cac ，则 1<2ace,2 2于是当 0 ： x : In(2 a)时 g (x) = ex - 2a ： 0，当 In(2 a) ： x ： 1 时 g (x) = ex - 2a 0 所以函数g(x)在区间0,ln(2 a)上单减，在区间In(2 a),1上单增，gmin (x)二 gln(2 a) = 2a - 2a In(2a) - be若 a ： ，则 2a _ e， g (x) = ex - 2a 乞 02所以函数g(x)在区间0,1上单减，gmin (x) = g(1) = e-2a -b综上:11 b, a 兰一，21 e g(x

7、)在区间0,1上的最小值为 gmin (x)=二2a - 2a In(2a)-b, a -,e-2a-b,a/,2(2)由 f(1)= 0= e a b1 = 0二 b=e a1，又 f(0) =0若函数 f(x) 在区间 (0,1)内有零点， 则函数 f(x) 在区间 (0,1) 内至少有三个单调区间1 e由(1)知当a二一或a：一时，函数g(x)即f (x)在区间0,1上单调，不可能满足“函数2 2在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求。f(x)1 e若一 a ，贝U gmin(x)二 2a -2aln(2a) - b = 3a -2aIn(2a) - e-12 2-H-*3令 h

8、(x) = xxI nxe1 ( 1 ： x ： e)2t1t1厂则 h(x)= In x。由 h (x) = In x 0= x ： e 2 2所以h(x)在区间(1, e)上单增，在区间(e,e)上单减hmax(x) =h(se) =3>/e QeIn、'e eT =+ e eT v0 即 gmin (x) £0恒成立2于是，函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间 二g(0) = 2 - e a 0 i a e - 2 g(1)01 e又一 a 所以 e 2 ： a : 12 2综上，a的取值范围为(e_2,1)3. (2014 陕西卷).(本小题满分 1

9、4 分)设函数 f (x) =1 n(1 x),g(x) =xf'(x),x_ 0,其中 f '(x)是 f (x)的导函数 g(x)二 g(x),gn 1(x)二 g(gn(x), n N .，求 gn(x)的表达式；(2)若f (x) _ag(x)恒成立，求实数 a的取值范围；(3)设n N .，比较 g(1) + g(2)+| + g(n)与 n -f(n) 的大小，并加以证明解由题设得.xCr)TT7Cr>t)-I +工才_1+IrJI + m下直用数学归纳法证明.当杆=1时»gt (j ) = rTt结论成立.假设n = k时结论成立即Rk (x)=厂

10、总頁?那么;易,电丙虫+ 1时，j .2：_】+ (A + 1) 丁 *+m?即结论成立*由可知结论对方e »亚宣21.(U )已知鼻叹%成宦丄卩皿4 工,n 卡应成丄设乎(工)=ln( 1 4-x) i * 匚r 鼻 0)»贝可/(JT)当1时讥小鼻o (仅当才=o皿三下卿炸氓成立),:.爭S 在0*+乂上®凋递培又牡=0,:*牡工)> 0在0, + 8上恒成立、:.6i < 1 BtJnd-r)恒成立(仅当工士 0时零号成立).I T .1当a > 1时*对工(0皿一I有#(工)<0/.卩(文)在(0*a 1J上单调递减*:、护(口 一

11、 I) V 护(0) = 0+a > I时r > 0,使学(小V0*故知】n(l亠.r) R 淳；不怕成立综上可知皿的取值范西堆一 x.l：.(III )由題设知H+ g-r十g(rt) = * 寻二+匚¥ jri fn) n InC/l 亠 1)比较结果为(1)耳(2)亠亠尺(fl) > h |n(w -*- 1).证明如下;证法一上述木务祈于密亠专+卡< InCrt 4-1)在(U)中取 Q = 1 "可得 ln( 1 + h) > . T T j > 0.1十z令 j：=丄 丫 n N, 则， t < In 黒土L7trt -

12、j-1h下面用数学归纳法证盼， n = I时* <怙氛蜻论成宣. 假设当片=花时结论成立*卸* + £ + "" +厂吕 < 曲£ + !)那么，当n = R七1时+十占+小+占 + 丰 VbiU*】)+ VEG中l) + ln：甘 =In備斗2人 即结论战立.ffih® 遵剛田，结论对k 2盛直.证法二 上述不尊式等输于吉+| + 昭 <ln(7i + 1),蛊(U)中取占=】，可得ln(H-x)rr >0.3t = 丄山 6聶八则万.n7tH 1故有 Ir2 i In L A * ,Ln3 ln2 A 寺 *上述各式

13、相加可得ln(n + D > | + £十“+詁结论鮒证证法三如图"士加是由荊罐Q H十1> - 右JC = nT柚所彌成的输边梯形 舸面眾死：斗吕十"'+； Il寸是图中所示各矩洛的面积和+A命A.I.命也TP 一占也if S+5结论阳证li卷选择题答秦LC 盘 C 3. B +C5. D 6.B7,0«. A 9, B W. A4.【2014年重庆卷(理20)】已知函数f (x)二ae2x - be'% - cx(a,b,c R)的导函数 f '(x)为偶函数，且曲线 y二f (x)在点(0, f(0)处的切线的斜

14、率为 4 - c.(1) 确定a,b的值；(2) 若c二3,判断f (x)的单调性；(3) 若f (x)有极值，求c的取值范围.解：(1) f'(x) = 2ae2x 2be'x 一 c，由 f'(_x) = f'(x)恒成立知：-c = 2ae" 2be2x c二(2a -2b)e4x (2b-2a) = 0，故 a = b b =22ae2x 2be2x另夕卜 f '(0) =2a 2b _c =4 _c二 a联立解出a二b = 1(2) 此时 f '(x) =2e(3) 等价于2方程2tt所以c 4，2x 2ex-3 f '

15、;(x) = 2e2x 2ex -xx 2-2（e -e ）10，故f（x）单调递增。c = 0有非最值解，二c在t - 0时有非最值解，由双钩函数知:2tt = e2x 0，则等价于2 4,：)t故C的取值范围为（4,5.（2014山东）.（本小题满分13分）设函数f x二二-k（一 ln x）（ k为常数，e = 2.71828ll是自 x x然对数的底数）（I）当k辽0时，求函数f x的单调区间；（|）若函数 f x 在 0,2 内存在两个极值点，求k的取值范围。-河 2显）x解：（1） f'（x）二x 2e x4x=（x2）（er）（x.0）3x当 k - 0时，kx - 0,

16、 ex -kx 0 令 f'(x) =0,则 x =2.当x (0,2)时，f(x)单调递减; 当x (2,=)时，f(x)单调递增。 令g x exkx则 g'(x) = ex -kex 二 k,x =1 n kg(0) =1-k ：0,g(0) =1 02e < 一2 gink 二elnk klnk ：0 lnk 1 k e2综上：e的取值范围为(e,e)。2g'(2) =e2 -k 0,g 2 二e2 -2k O kx4be6.（ 2014年课标I）（本小题满分12分）设函数f （xO二aex in x，曲线y = f （x）在点（1，xf （1）处的切线为 y = e（x -1）2 .（I）求 a,b ；（n）证明：f （x）1 .请考生从第（22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。【解析】（I）设F c,0 ，由条件知2=23，得c二3 又c 3，c 3a 2所以a=2, b(n)依题意当22 2 2=a2 c2 = 1，故E的方程 4l _ x轴不合题意，故设直线l：y? =1.6分y =也 2，设 P X<|, y!, Q x2 , y2”2代入42 2