全等三角形的相关模型总结汇总

1、WORD格式-可编辑全等的相关模型总结一、角平分线模型应用1.角平分性质模型：A辅助线：过点G作GEJ射线AC专业知识-整理分享(1).例题应用:如图1,在AABC中，/C=9。0，AD平分/CAB,BC=6cm，BD=4cm,那么点口到直线ab的距离是 cm.如图2,已知，/1=/2, /3=/4.求证：AP平分/BAC.图1图22 (提示：作DE,AB交AB于点E)</1=/2 ，PM =PN 丁/3=/4 : PN =PQ , PM = PQ,，PA平分/BAC.模型巩固:练习一：如图3,在四边形ABC时，BC>AB AD=CD BD分，BAC .求证：/A+/C=180*练

2、习二：已知如图4,四边形ABCDK/B+/D =1800,BC =CD.求证：AC平分/BAD.图4练习三：如图5, RHABC中，/ACB=90°, 8,照垂足为 AF平分/CAB,交cd于点E, 交CB于点F.求证：CE=CF.'''-.(2)将图5中的 ADE沿AB向右平移到 MD E的位置，使点E落在BC边上，其他条件不变，如图 6' . 所示，是猜想：BE于CF又怎样的数量关系？请证明你的结论.图5图6求证：CP平分/ DCB练习五：如图8, AB>AC, /A的平分线与 BC的垂直平 分别为E, F.求证：BE=CF练习六：如图9所示

3、，在 ABC中，BC边的垂直平分线DEI AB 于 E,并且 AB>AC 求证：BE- AC=AE练习七： 如图10, D E、F分别是 ABC的三边上的点, 求证：AD平分/ BAGB C图7 分线相交于 D,自D作DE! AB, DF± AC,垂足AD图8DF交ABAC的外角平分线 AD于点D, F为垂足，CF 图9CE=BF且4 DCE的面积与/ DBF的面积相等，A1练习四：如图 7, /A=900, AD / BC , P是AB的中点，PD平分/ ADC证明：延长BE交AC于点F。2.角平分线+垂线，等腰三角形比呈现O辅助线：延长 ED交射线OB于F辅助线：过点E作E

4、F/射线OB(1) .例题应用： .如图1所示，在 ABC中，/ ABC=3Z C, AD是/ BAC的平分线，BEX AD于F。一1-求证：be=5(ac-ab) .已知：如图2,在MBC中，/BAC的角平分线AD交BC于D,且AB = AD,1.作CM _L AD交AD的延长线于 M.求证：AM =-(AB +AC)图2分析：此题很多同学可能想到延长线段CM但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此题突破口就在于AB=AD由此我们可以猜想过 C点作平行线来构造等腰三角形 .证明：过点 C作CE/ AB交AM的延长线于点 E.例题变形:如图，N-2, B为AC的中点，CM，FB于M,AN，FB于

5、N.求证：EF=2BM；1FB (FM FN).2.模型巩固:练习一、 如图3, A ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 , BD平分/ ABCfc AC于点D,CE垂直于BD交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE练习一变形：如图4,在 OD仲，/D=900, EC是/DCO的角平分线，且OE1CE过点e作EF _LOC交OC于点F.猜想：线段EF与OD之间的关系，并证明图4练习二、如图 5,已知 ABC中，CE平分/ ACB且A已CE / AEDb / CA打180度，求证：DE/ BC练习三、如图 6, AD1 DC BC± DC E是DC上一点，AE平分/ DAB BE

6、平分/ ABC 求证：点 E是DC 中点。练习四、如图7 (a),BD、CE分别是 SBC的外角平分线，过点A 作 AD -L BD、一一八，一、 ,DE = (AB BC AC)AE ICE,垂足分别是 D、E,连接DE.求证:DE / BC,2图7 (a图7图7 (c、如图7 (b),BD、CE倒是AABCWW例共除、如图7 (c), BD为ABC的由也线CE为ABC的唐朝线其他条件不变.则彳7 (b)、图6 (c)两种情况下，DE与BC还平行吗？它与 ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你 的猜测，并证明你的结论.(提示：利用三角形中位线的知识证明线平行)练习五、如图8,在直角三角形 A

7、BC中，NC=90*, NA的平分线交 BC于D .自C作CG _L AB交AD 于E ,交八8于6 自D作DF _LAB于F ,求证： CF _LDE 图8练习六、如图9所示，在 MBC中，AC >AB, M为BC的中点，AD是NBAC的平分线，若CF _L AD 且交AD的延长线于F ,求证MF =1(ACAB).A图9练习六变形一：如图10所示,点，求证DE II AB且AD是 MBC中2BAC的外角平分线,1DE =(AB +AC).2。口，八口于口，E是BC的中练习六变形二：如图11所示，在 AABC中，AD平分/BAC, AD = AB, CM_LAD于M,求证AB +AC

8、=2AM .图11练习七、如图12,在AABC中，/B=2/C , NBAC的平分线 AD交BC与D .则有AB +BD = AC .那 么如图 13,已知在 4ABC 中，/ABC=HC, /1=/2, BE1AE .求证：ACAB=2BE.图13练习八、在 4ABC中，AB=3AC, /BAC的平分线交 BC于D ,过B作BE_LAD, E为垂足，求证: AD =DE .练习九、AD是 MBC的角平分线，BE _LAD交AD的延长线于E, 求证：AF=FB.EF / AC 交 AB 于 F .3.角分线，分两边，对称全等要记全两个图形的辅助线都是在射线 OA上取点B,使OB=OA从而使AO

9、AC AOBC.(1).例题应用：WORD格式-可编辑、在 ABC中，/ BAC=60 , /C=4（J ,AP平分 / BAC交 BC于 P, BQ平分 / ABC AC于Q,求证：AB+BP=BQ+AQ思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+A皈势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过O作BC的平行线。得4AD堂4AQO得到OD=OQAD=AQ只要再证出BD=O僦可以了。解答过程：图证明：如图（1），过O作OD/ BC交AB于D, ./ADO=ABC=180 -60&#

10、176; Y0°=80° ,又. / AQO=C+/ QBC=80 , ./ADO=AQO又. / DAOg QAO OA=AO.ADOAAQO .OD=O QAD=AQ又 : OD/ BP, ./ PBO= DOB又PBO= DBO ./ DBO= DOB .BD=O D又. / BPAWC+/PAC=70 ,/ BOP= OBA+BAO=70 , ./BOP= BPO .BP=OB .AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ解题后的思考：(1)本题也可以在AB上截取AD=AQ连OD构造全等三角形，即“截长法”(2)本题利用“平行法”的解法也较多，举例如

11、下：如图(2),过O作OD/ BC交AC于D,则 AD矍ABOA而得以解决。专业知识-整理分享WORD格式-可编辑图(2)如图 ，过。作DE*BC交AB于D,交AC于E,OJiJAADO£SAAQO, AB。色AEO从而得以解决,B pC图(3)如图，过P作PDT7BQ交AB的延长线于D,则AAPD经APC从而 得以解决.如图(5),过P作PD/ BQ交AC于D,则 AB国ADPA而得以解决。图小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转 移线段中的作用。从变换的观点可以看到，

12、不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对 三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。、如图所示，在 MBC中，AD是/BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较 PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由.专业知识-整理分享【解析】PB +PC A AB +AC ,理由如下.如图所示，在 AB的延长线上截取 因为AD是ZBAC的外角平分线， 故/CAP =/EAP .在 4ACP和 MEP 中，AC = AE , 因此 MCP© MEP ,从而PC =PE .在 ABPE 中，PB+PEaBE, 而 BE =BA+AE =AB + AC , 故 PB+PC&

13、gt;AB+AC .AE =AC ,连接PE ./CAP=/EAP, AP 公用,变形：在 MBC中，AB > AC , AD是ZBAC的平分线.P是AD上任意一点.求证：AB -AC >PB-PC .【解析】 在AB上截取AE=AC,连结EP,根据SAS证彳导MEP MCP ,，PE = PC , AE = AC 又如EP 中，BE>PB-PE, BE=AB-AC, . AB-AC >PB-PC(2)、模型巩固：练习一、.如图，在 ABC中，ADL BC于D,CD= AB+ BD,/ B的平分线交AC于点E,求证：点 E恰好在BC的垂直平分线上。练习二、如图，已知求证

14、：AD+ BD= BCABC中，AB= AC, / A= 100° , /B 的平分线交 AC于 D,练习三、如图，已知求证：AC+ CD- ABABC中，BC= AC, Z C= 90° , /A 的平分线交 BC于 D,练习四、已知：在4ABC中，/B的平分线和外角 /ACM的平分线相交于 D,DF BC,交AC于E,交AB于F,求证：EF =BF -CE练习五、在 ABC中，AB=2AC,AD平分/BAC, E是AD中点，连结 CE ,求证：BD = 2CE已知：如图,(1) BF=DF;DC于变式：已知：在 ABC 中，/B =2/C, BD 平分/ABC, AD_

15、LBQ 于 D,1 -求证:BD = AC2练习六、 点E.求证:练习七、已知如图，在四边形于点P.求证：/ APB玄CPDABCD中，AB+BC=CD+DA / ABC的外角平分线与/ CDA的外角平分线交练习八、如图，在平行四边形 ABCD（两组对边分别平行的四边形）中，E, F分别是ADD AB边上的点,且BE、DF交于G点，BE=DF求证：GO/ BGD勺平分线。练习九、如图，在 ABC中，/ ACB为直角，CMLAB于M AT平分/ BAC交CM于D,交BC于T,过D作 DE/ AB交 BC于 E,求证：CT=BE.B练习十、如图所示，已知AABC中，AD平分/BAC , E、F分别

16、在BD、AD上.DE=CD , EF = AC .求 证：EF / AB【补充】如图，在 MBC中，AD交BC于点D ,点E是BC中点，EF II AD交CA的延长线于点 F , 交AB于点G ,若BG =CF，求证：AD为ZBAC的角平分线.、如图2,在4ABC中，/ACB是直角,/ B=600, AD CE是/ BAC /BCA勺角平分线, 相交于点F,请你判断并写出EF与DF之间的数量的关系。、如图3,在 ABC中，/ACB是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，（1）中的结论是否任然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由WORD格式-可编辑(2).如图，在平面直角坐标系中，B (-

17、1 , 0), C (1, 0) D为y轴上的一点，点A为第二象限内一动点，且/ BAC=Z BDO过点D作DW AC于M、求证：/ ABDW ACD、若点E在BA的延长线上，求证：AD平分/ CAE、当点A运动时，(AC-AB /AM的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由专业知识-整理分享WORD格式-可编辑专业知识-整理分享二、等腰直角三角形模型1 .在斜边上任取一点的旋转全等:操作过程：(1) .将ABD®时针旋转901使AC阵zabd从而才|出 ADMfe等腰直角三角 形.(但是写辅助线时不能这样写)(2) .过点 C作 mc,bc, 连AM导出上述结论.2 .

18、定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：BA操作过程：连AD.(1) .使 BF=AE(AF=CE,导出 ABDFAADE.(2) .使/EDF廿 BAC=80' 导出 ABD图 zADE.(1)、例题应用:在等腰直角中，44090%点必一、在斜边BC上滑动，且4LV=45。 是探究AM MV、CA之间的数量关系.yrc±BC过点疗作.V驾"G使辞磐连4V1解析：方法一：过点C作，方法二：使连 41r.2,两个全等的含30。,60涌的三角板.5崎口三角板4BC,如图所示放置, E. A. CH点在一条直线上，连接5D,取5D的中点连接ME, MC是判断EMC

19、的形状，并证明你的结论.证明：方法一：连接 AM证明 MD日 MAC特别注意证明 ZMDE = MAC.方法二：过点M作M业EC交EC于点N,得出M财直角梯形的中位线，从而导出MEC；等腰直角三角形.(2)、练习巩固： 已知：如图所示，RtAABC中，AB=AC /BAC=9", o为BC中点，若M N分别在线段AC AB上移动，且在移动中保持 AN=CM.、是判断 OMN勺形状，并证明你的结论.、当M N分别在线段 AC AB上移动时，四边形 AMOINJ面积如何变化？思路：两种方法: 在正方形ABC师，BE=3 , EF=5 , DF=4 ,求/ BAEg DCF%多少度.提示如

20、右图:3 .构造等腰直角三角形(1)、利用以上的1和2都可以构造等腰直角三角(略)(2)、利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角如下图:WORD格式-可编辑图3-1图3-2操作过程：在 图3-2中，先将ABCH BD所在的直线为对称轴作对称三角形，再将此三角形沿 水平方向向右平移一个正方形边长的长度单位，使A与M D与E重合.例题应用：已知：平面直角坐标系中的三个点，A1储 形，一1> C0，3),求/OCA+OCB勺度数.专业知识-整理分享4 .将等腰直角三角形补全为正方形，如下图:pLTWORD格式-可编辑图4-1图4-2例题应用:如图，在等腰直角4BC, AC=BC9年J声纳部

21、一点，满足P6=PC, .4P三4 c求证； 461孕.思路：构造正方形ACBM可以构造出等边 APM从而造出上匕330*AP=4C可得，再由于，故而得到从而得 证.例题拓展：若 ABC不是等腰直角三角形，即ACB=2ABC?其他条件不变，求证：/2=2/1.练习巩固：在 平面直角坐标系中， A (0,3 )，点B的纵坐标为2,点C的纵坐标为0,当A、R C三点围成等腰直角三角形时，求点B、C的坐标.(1)、当点B为直角顶点：专业知识-整理分享(2)、当点A为直角顶点:(3)、当点C为直角顶点:图5图6三、三垂直模型（弦图模型）由4AB/XBCDt出由 4AB昭BCD#由4AB草BCD1出ED

22、=AE-CD出 EC=AB-CDBC=BE+ED=AB+CD1.例题应用:ABC中，AB=AC / BAC=90 ； D为 AC中点,AFL BD于 E,交例1.已知：如图所示，在4BC于F,连接DF.求证：/ADBh CDF.思路：方法一：过点C作MC_ AC交AF的延长线于点 M.先证ABDzXCAM再证 zXCDF ACMFIP可.方法二：过点A作AML BC分别交BD BC于HM先证4AB由zCAF 再证 CDF AADFBP 可.方法三：过点 A作AML BC分别交BD BC于H M先证RtAAMF RtABMH得出HF/ AC.由M D分别为线段AG BC的中点，可得MMzABC的

23、中位线从而推出MD/ AB,又由于/BAC=9",故而MD- AC MD- HF所以MM线段HF的中垂线.所以/ 1=/2.再由/AD3/ 1=/ CD+/2 ,则/ ADB/CDF.例1拓展（1）：已知：如图所示，在 ABC中,AB=AC AgCN AF，BM于E,交BC于F,连接NF.求证：/ADR/CDF. BM=AF+FN思路：同上题的方法一和方法二一样拓展（2）：其他条件不变，只是将 BMW FN分别延长交于点 P,求证：PM=P,N PB= PF+AF.思路：同上题的方法一和方法二一样 .例2.如图2-1 ,已知AD/ BC, AABEn CDF是等腰直角三角形，/ EA

24、B：/CDF=9。1AD=2 BC=5求四边形AEDF勺面积.图2-1解析：如图2-2,过点E、B分别作EN± DA BML DA交DA延长线于点N M.WORD格式-可编辑过点F、C分别作FPL AD CQL AD交AD及AD延长线于点P、Q八八八11 一 1S四边形 eafd = S aedS adf= 一 AD EN AD FP= AD ,EN FP-222AB臣口 CDF是等腰直角三角形，；ZEABZ CDF=9O : AE=AB DF=CD. EN，DA Bh/L DA FP± AD CQL AD , . / NMB/ENA= FPD之 DQC90 . ./ENA

25、=MBA , /FDPWQCD.EN库AABM AFPtDADQC.Ne=am PF=DQ . Ne+pf=dq+am=mq-ad. AD/ BC CQ/ BM /BMN90；.四边形 BMQ配父|形. . BC=MQc1 cS四边形 eafd = - 2 3=3. AD=Z BC=5 NE+PF=5-2=3/.2E图2-22.练习巩固：(1)、如图(1) -1 ,直角梯形ABC3, AD/ BC, /ADCM： 1是AD的垂直平分线,交AD点M以腰AB为边做正方形 ABFE EP1 1于点P.求证：2EP+AD=2CD.(2)、如图，在直角梯形 ABCDK /ABC：90； AD/ BC AB=AC E是AB的中点, CE± BD.求证：BE=AD ;求证：AC是线段ED的垂直平分线；ABC比等腰三角形吗？请说明理由四、手拉手模型1. ZXABE和4ACF均为等边三角形结论：(1) . AABFAAEC0(2) ./BOE=BAE60 (“八字模型证明”)D(3) . OAW/EOFA拓展：条件：ABCffi CDE匀为等边三角形结论：(1)、AD=BE (2)、/ACBW AOB (3)、 PCM等边三角形(4)、PQ/ AE (5)、AP=BQ (6)、CO¥bZAOE (7)、OA=OB+OC(8)、OE=OC+OD(