79知识讲解_高考总复习：二项式定理提高

1、高考总复习：二项式定理【考纲要求】1 .能用计数原理证实二项式定理；2 .掌握二项展开式系数的性质及计算的问题；3 .会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 【知识网络】【考点梳理】要点一、二项式定理n 0 n 1 n 12 n 2. 2knk.kn. n*、公式(a b)CnaCna b Cna b L Cna bCnb (n N)叫做二项式定kk n k. k理.其中Cn(k 0,1,2,L ,n)叫做二项式系数.Tk i Cna b叫做二项展开式的通项,它表示第k 1项.其中：公式右边的多项式叫做 (a b)n的二项展开式；展开式中各项的系数 C； (r 0,1,2, ,n)叫做二

2、项式系数；式中的第r+1项叫做二项展开式的通项,用 Tr 1表示；二项展开式的通项公式为_c r n r, rTr 1 Cna b .要点诠释：二项展开式的通项公式 Tr 1 C：anrbr(r 0,1,2,L ,n)集中表达了二项展开式中的指数、项数、系数的变化,它在求.展开式的某些特定项(如含指定哥的项、常数项、中间项、有理项、 系数最大的项等)及其系数以及数、式的整除等方面有着广泛的应用.使用时要注意：(1)通项公式表示的是第“ r+1 项,而不是第“ r项；(2)通项公式中a和b的位置不能颠倒；(3)展开式中第r+1项的二项式系数 C；与第r+1项的系数,在一般情况下是不相同的,在具体

3、求各项的系数时,一般先处理符号,对根式和指数的运算要细心以防出过失；4在通项公式中共含有 a,b,n,r,Tr1这5个元素,在有关二项式定理的问题中,常常会遇到:知道5个元素中的假设干个或它们之间的关系,求另外几个元素的问题. 这类问题一般是利用 通项公式,把问题归结为解方程组或不等式组,这里要注意n为正整数,r为非负数,且 r w n.要点二、二项展开式的特性项数：有n+1项；次数：每一项的次数都是 n次,即二项展开式为齐次式；各项组成：从左到右,字母 a降哥排列,从n到0;字母b升哥排列,从0到n；系数：依次为Cn0,Cn,Cn,L ,Cn.要点三、二项式系数的性质对称性：二项展开式中,与

4、首末两端“等距离的两项的二项式系数相等单调性：二项式系数在前半局部逐渐增大,在后半局部逐渐减小,在中间取得最大值.其中,n当n为偶数时,二项展开式中间一项的二项式系数C,最大；当n为奇数时,二项展开式中间两n 1 n 1项的二项式系数c了,Cn相等,且最大.二项式系数之和为 2n,即Cn cn Cn L C 2n其中,二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和,即 C0 C2 C4cnCn3C52n要点诠释:1.对于二项式定理的构成,展开式中含an rb,的项的系数可理解为从n个相同的a+b中先取出r个b,有C：种不同取法,再从剩下的n-r个括号中取出n-r个a,有Cn

5、:种方法,据分步计数原理,共有C： Cnn rr C：种不同方法数,该方法数就对应着展开式中含anrbr的项的系数.2 .二项展开式的各项均含有不同的组合数,假设赋予a, b不同的取值,那么二项式展开式演变成一个组合恒等式.因此,揭示二项式定理的恒等式为组合恒等式的“母函数,它是解决组合多项式问题的原始依据.3 .二项式定理中,项的系数与二项式系数的区别是：它们是完全不同的两个概念.二项式系数的指C：,C：,C2,L ,C：,它只与各项的项数有关,而与 a,b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数局部,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关.【典型例题】类型一、求特定项和特定项的

6、系数 开式中所有的有理项.【例1】二项式)n(nN 展开式中,末三项的系数依次成等差数列,求此展x的哥【思路点拨】此题要利用二项式展开式通项公式写出通项,要求有理项只需使整理后的 指数为整数即可.【解析】二项展开式的通项公式为n r1Cn(1)n rx 4 (r 0,1,2,n)0,1,2, ,8).8(n 1) n(n 1)由此得二项展开式中末三项的系数分别为1c；2, icn35所求二项展开式中的有理项分别为T1 丁,T5 兰,T9 256x28x3【总结升华】求解二项式展开式特定项步骤:写出展开式的通项公式一合并同类项整理一令x的指数为整数k一根据0WrWn,r 6 2,求女一根据k值求

7、出展开式的有理项.例2. 2021春 陕西校级期末 近-与n nCN*的展开式中第五项的系数与第三项 的系数的比是10: 1.1求展开式中各项系数的和；2求展开式中含 J的项；3求展开式中二项式系数最大的项.【思路点拨】利用展开式的通项公式求解.【解析】由题意,第五项系数和第三项系数分别为C& 一2 口.C2 -22,并且, cn42依题意得C -c12 c； 1 n 4 n n注意到这里n 1 ,故得n=818_TTr 1 c；(；)8 r x 4 (r设第r+1项为有理项,那么有 x的哥指数 8_为整数,4r=0 ,4, 8,T1, T5, T9为有理项,又由通项公式得：T1 c8

8、l8x2x2,22564 1 43353T5 cj/x 3 x 3,8.1x044T9 .82x x .化简得n2- 5n - 24=0,解得n=8或n= - 3 (舍去).(1)令x=1得各项系数和为(1- 2) 8=1；包(2)通项公式为 Tr+1 = C正)一(-多J (-2)飞仙万 工令4-旦二,贝U r=1 ,2 -21 jl2所以展开式中含x万的项为T2=-16x 2；(3)由n=8知第五项的二项式系数最大,此时T5= (-2) 4C x 6=1120x 6.【总结升华】解决二项式问题要注意区分两种系数：一种是某一项的系数,按通常的多项式系 数去理解、认定；一种是某项的二项式系数,

9、仅指这一项中所含的那个组合数.二者在特殊情 况下方为同一数值.举一反三：【变式1】(2x 4)4的展开式中x3的系数是()A.6B.12C.24D.48【答案】C;【解析】(2x 6s 7x(2 Vx 1)4 x2(1 2Vx)4,在(1 2折4中,x的系数为C4 - 22=24. (2x JI)4的展开式中x3的系数为24.【变式2】(2021湖北高考)(1+x) n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,那么 奇数项的二项式系数和为()【答案】DA. 212 B. 211 C. 210 D. 29【解析】(1 + x) n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,可得=C,可得 n=3+

10、7=10.(1 + x) 10的展开式中奇数项的二项式系数和为：9乂21口=29应选口.类型二、二项式系数的性质【例3】在(汉 -1=)n的展开式中,第6项为常数项.23 x(1)求 n;(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式所有的有理项.【思路点拨】写出展开式的通项公式一根据第6项为常数项求n一由n值令x的指数为2,求r 一求出x2的项的系数一令 x的指数为整数k一根据0w r w n,r C Z,求k. 一根据k值求出展 开式的有理项.nrrn 2r【解析】(1)通项公式为Tr 1 Cnr x- ( -)rxcn( 3rxM22由于第6项为常数项,所以r=5时,有二1=0,即n=10.3

11、(2)令f=2,得 r 1(n 6) 1 (10 6) 2, 322所求的系数为C0( 1)2 竺.2410 2r -Z(3)根据通项公式,由题意 0 r 10.r Z人 10 2r.一_3 .令-=k (kCZ)那么 10-2r=3k,即 r 5 - k.3. r Z, k应为偶数.k可取2, 0,-2,即r可取2, 5, 8.所以第3项,第6项与第9项为有理项,它们分口 iM 八 2 / 1 2 2 -5 / 1、5 -8 / 1、8 2力I为 Cio x , Ci0 - , Ci0 - x .222【总结升华】1求二项式系数最大项：如果n是偶数,那么中间一项第n 1 项的二项式系数最大；

12、2n 1 一.n 1 一 . 一 一如果n是奇数,那么中间两项第 n-1项与第n-1 +1项的二项式系数相等并最大.AA0, A,A2,L ,且第r+1项系数最大,应用Ar2求展开式系数最大项：如求 a bxna,b R的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为A 1尾解Ar 1出r来,即得系数最大项.举一反三：【变式1】x2 110. x1求展开式中二项式系数最大的项;2求展开式中系数最大的项.【解析】(1 ) 展开式的通项：Tr 1G0(x2)10r( j)C；o220 rXr5r2r20 .2Cir02rx 2 ,(r 0,1,2,.,10)故展开式中二项式系数最

13、大的项为:T625二 二 20 Ci02 x 2(2)设第r 1项的系数最大,C； 2rC0 2rC；.1C；12r2r21, r 11 r1210 r r 1-1 19解得：r322r 7,故所求展开式中系数最大的项为:T8 C;(x2)3515360x±22,二项式系数最大项为【变式2】(xlgx 1)n展开式中,末三项的二项式系数和等于20000,求x的值.【解析】由题意C： 2 C： 1 C： 22 ,210即 Cn Cn Cn 22 ,n=6.第4项的二项式系数最大.C；(xlgx)3 20000,即 x31gx 1000.1»=10或乂 一.10类型三、多项式转

14、化为二项式的问题【例4】试求以下二项展开式中指定项的系数.,八 245 一>4 一 ,一(1) (x 4)的展开式中x项的系数； x(2) (1 x)5(1 2x)6的展开式中x3项的系数；(3) (1 x) (1 x)2 (1 x)3(1 x)20的展开式中x4项的系数;(4) (x2 3x 2)5的展开式中x项的系数；(5) (1 2x 3x2)6的展开式中x5项的系数；21(1)借助“配方转化：原式(x 2)10,(x2 2)10x x.原展开式中x4项的系数,即(x2 2)10展开式中x14项的系数又(x2 2)10展开式的通项公式为 Tr 1C：o(x)2(10 r)( 2)r

15、令 2(10 r) 14 得 r=3(x2 2)10 展开式中 T4C13)23 x14960x14所求原展开式中x4项的系数为-960;(2)注意到x3的哥指数3较小,借助“局部展开：( c 0 c12 2 心330 1 12 2 qc 3 3原式 (C5 C§xC5 xC5 x )(.62c6x4c6x8c6x),展开式中x3 的系数为 c?( 8c3)(c5)4c2C5 (2c6)(c/)c0_3_ 2_ 2_ 38C； 20C 212C2 C5=-590(3)法一：求和转化原式(1 Xi (1 x)x所求原展开式中x4项的系数即为(1x)21展开式中x5项的系数,所求展开式中

16、x4项的系数为c2i.法二：集零为整考察左式各部,展开式中 x项的系数为(4)C4c；c2054(C； C54)c64c20(C5C50法一：(x2上式中只有c64)C240C74C51一 一 5_3x 2) x(xc20一 一 _53) 255_ 445x5(x 3)5 . c5x(x 3) 24 2544c5x(x 3) 24中含有x的项,44,所求原展开式中x的系数是C5 3 2240 .法二：(x2+3x+2) 5=(x+1) 5(x+2) 5,此展开式中含 x的项由(x+1) 5中常数项乘以(x+2) 5中的一次项与(x+1) 5中的一次项乘以 (x+2) 5中的常数项合并而来_5

17、0_4_4_4_5_5_5_44_4_5_5、一一C§xC5 x2C§xC5 2(C 5C52C5 c5 2 )x240x .(x2+3x+2)5展开式中x的系数是240.法三：利用求解组合应用题的思路注意到(x2 3x 2)5(x2 3x 2)(x2 3x 2)5个因式欲求(x2 3x 2)5展开式中x的一次项,只要从上式右边5个因式中有1个因式取3x,其余四个因式都取常数 2即可. 原展开式中x的一次项为c5 (3x) C： 24 240x 所求原展开式中x的系数为240;(5)法一：两次利用二项展开式的通项公式注意到(1 2x3x2)61 (2x3x2)6其展开式的通

18、项Tr 1Ce(2x3x2)r (r 0,1,2,6)又(2x 3x2)r开式的一 一k通项Tk 1 Cr2r k ( 3)krkx (k 0,1,2,L ,r)2)依题意 r k5,k由此解得r由、得所求展开式中x5项的系数为C65C50 25 ( 3)0C64C41 23 ( 3)1C63 C3221 ( 3)2c625 96C(2 54C3168.法二:利用因式分解转化(1 2x 3x2)6(1 x)6(1 3x)6所求即为(1 x)6 (13x)6展开式中x5的系数,于是利用“局部展开可得其展开式中x5的系数为C 0C 535C1C434C2C 3C6C63C6C63C6C633C3

19、C2 32C64 c6 3C65242C6 78C6C： 18C久3=-168【总结升华】多项展开式中某一项系数的主要求法(1)等价转化：配方转化；求和转化；分解转化；化整为零.(2)局部展开；(3)两次利用二项式定理或两次利用二项展开式的通项公式;(4)借助求解组合应用题的思想举一反三：13【变式1(|x | 2)3展开式中常数项为 |x |【解析】(|x | 2)3(LxJ-2|x| 1)3(|x| ?|x|x|x|3,只要求(|x|-1) 6展开式中的三项次即可而(|x|-1) 6展开式的通项为Tr1 C6|x|6r( 1)r令r=3 T4 C；|x|3 ( 1)320|x|3从而原展开

20、式的常数项为-20.【变式2】在(x 1)(x 1)8的展开式中x5的系数是()A. - 14 B. 14 C.- 28 D. 28【解析】(x 1)(x 1)8 x (x 1)8 (x 1)8 x(1 x)8 (1 x)8,又(1 x)8的展开式中x4的系数为C4 , x5的系数为C5,原展开式中x5的系数为 C84 c； C84 C83 14,应选Bo类型四、赋值法的应用【例 5】设(4x 1)200 a0 a1x a2x2a200x200 ,求展开式中各二项式系数的和；展开式中各项系数的和；a1 a3%9的值a2 a4a200的值2200的值【思路解析】此题级出二项式及其二项展开式求各系

21、数和或局部系数和,可用赋值法,即令取特殊值来解决.【解析】令 f (x) (4x 1)200a0a1x a2x2a20Ox200注意到这里n=200,故展开式中各二项式系数的和c20.c200200 Q200C2002令 x 1 ,得 f (1) 3200 a0 ai a2a200.展开式中各项系数的和a°aia2200 a2003注意到f (1)a0a1a2a3a199a200f ( 1) a0aa2a3a199a200 f(1)f( 1)2(q a3 a199) a1 a3 a5 a.2 f (1)f( 1)2 (32005200 )仿得 a0a2a4La200：(3200520

22、0)又 a0f(0) 1, , a2 a4法一：a2001(320.5200) 122002田(4x 1) a0 ax a?x200 a200x/、200 2 ,1, 200(4x 1)|a°| |a1|x | a? | x L | a?.| x令 x 1 ,得 | a° | | a1 | | a21 L | a200 | 5又 a°f(0) 1l200., , a1 a2a20051法二：由二项式的展开式知,a200R , a1,a3, a199 Raa2a200(a) a2 ( a3) a4L(a199)a200又 f( 1) a0a1a2 a3a199a20

23、0 , a0f(0) 1a1a2 a3 a4 La199a200200f( 1) 1 5一 a1a2a2005200 1【总结升华】对于二项展开式中各奇数项系数的和或各偶数项系数的和或其它有关多项式中系数的和,一般可根据问题的具体情况,对未知数x赋予适当的数值, 运用特取法求出和式的值.【变式】假设(12x2)5a0 a1x2a2xa10x10,求值:(2)a.aia10 ；a1a3a5a7aga° a 1(3)令 x, , a0 a1-得:0, a215(1a10 (1a2a3a a 3 a52)5a0a151 2)5a10a7 a ga?a10a0a1a2a3a103216类型五

24、、二项式定理的综合应用【例6】(1)求4X6n+5n+1被20除后的余数；(2) 7n+G17n-1+G2 7n-2+Gn-1 X7 除以 9,得余数是多少(3)根据以下要求的精确度,求1.02 5的近似值.精确到 0.01 ;精确到0.001.【思路点拨】利用二项式定理展开式解决题型：(1)证实某些整除问题或求余数；(2)证实有关不等式；(3)进行近似计算；【解析】(1)首先考虑4 6n+5n+1被4整除的余数. -5n+1=(4+1) n+1=4n+1+G+114n+G+124n-1+C+J 4+1,其被4整除的余数为1, 被20整除的余数可以为1, 5, 9, 13, 17,然后考虑4

25、6n+1+5n+1被5整除的余数. -4 6n=4 - (5+1) n=4(5n+C1 5n"+G2 - 5n-2+ - +Gn" 5+1),被5整除的余数为4,其被20整除的余数可以为 4, 9, 14, 19.综上所述,被20整除后的余数为9.(2) 7 n+C? 7n"+G2 7n-2 +Gn" 7=(7+1)n- 1=8n- 1=(9-1) n- 1=9n-Cn1 - 9n-1+G2- 9n-2+ -+( 1)n-1Gn-1 9+(-1)nCnn-1(i)当n为奇数时原式=9n-Cn1 , 9n-1+G2 9n-2+ (- 1) n-1Cnn-1

26、 - 9-2除以9所得余数为7.(ii)当n为偶数时原式=9n-Cn1 , 9n-1+G2 9n-2+( 1)n-1Cn-1 9除以9所得余数为0,即被9整除.(3) (1.02) % ( 1+0.02 ) 5=1+c51 - 0.02+C52 - 0.02 2+C53 - 0.02 3+G40.02 4+C55 0.02 5 C52X 0.02 2=0.004,C 53X 0.02 3=8X 10-5,当精确到0.01时,只要展开式的前三项和,1+0.10+0.004=1.104 ,近似值为1.10.当精确到0.001时,只要取展开式的前四项和,1+0.10+0.004+0.r0008=1.10408 ,近似值为 1.104.【总结升华】解题方法归纳：(1 )二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大,|x|比拟小时,(1 x)n 1 nx.(2)利用二项式定理还可以证实整除问题或求余数问题,在证实整除问题或求余数问题时要进行合理的变形,使被除(数)展开后的每一项都有除式的因式,要注意变形的技巧；(3)由于(a b)n的展开式共有n+1项,故可能对某些项的取舍来放缩,从而到达证实不等式的目的.而对于整除问题,