导数高考汇编

1、2009 年 导 数 高 考 题一、选择题1.(2009年广东卷文)函数f (x) = (x -3)ex的单调递增区间是A.(-二,2)B.(0,3)C.(1,4) D. (2,二)【答案】D【解析】f (x) =(x-3)ex+(x-3)(ex H(x- 2)ex，令 f'(x) > 0，解得 x>2，故选 D2. (2009全国卷I理)已知直线y=x+1与曲线y = ln(x + a)相切，则a的值为(B )(A)1(B)2(C) -1(D)-21解:设切点 P(x0,y°),则y°=x0+1,y0= ln(x0+ a),又| y|x*,= 1x&#

2、176; a二 x0 + a =1 二 Vo = 0,x 0= -1, a = 2.故答案选 B3. (2009安徽卷理)设a<b,函数y=(x-a)2(x-b)的图像可能是/./2ab解析:y =(x-a)(3x -2a-b),由 y =0#x = a,x =, .当x = a时，y 取极大3值0,当x = 2a至时y取极小值且极小值为负。故选 Co3或当x<b时y<0,当xb时，y >0选C4. (2009安徽卷理)已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,贝U曲线y = f (x)在点(1, f (1)处的切线方程是(A) y=2x-1(

3、B) y = x (C) y=3x-2(D) y = -2x + 322解析:由 f (x) =2f(2 x) x +8x8得 f (2x) = 2f(x)(2x) +8(2x)8,即 2f(x) f(2x)=x2 + 4x4, .f(x)=x2.f/(x) = 2x, 切线方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0 选 A5 .(2009安徽卷文)设a<b,函数了二仁一口)(工一防的图像可能是【解析】可得x=a, x=b为y = (x a)2(x b) =0的两个零解.当 x<a 时，则 x<b；. f (x) <0 当 a < x < b 时，则

4、 f (x) <0,当 x > b 时，则 f (x) > 0.选 C。【答案】C156 . (2009江西卷交)若存在过点(1,0)的直线与曲线y = x%D y = ax7. (2009江西卷理)设函数f(x)=g(x) + x ,曲线y = g(x)在点(1,g(1)处的切线万程+-5x-9都相切,4则a等于A.一1或-2564,21B. -1 或一4c -7或-64D.-1或74答案：A【解析】设过(1, 0的直线与y = x3相切于点(x。,&为y=2x+1,则曲线y = f (x)在点(1,f(1)处切线的斜率为A. 4 B. -C. 2D.- 2答案：A

5、【解析】由已知 g'(1)=2,而 f'(x) = g'(x)+2x ,所以 f'(1) = g'(1) + 2M1 = 4 故选 A8. (2009天津卷文)设函数f(x)在R上的导函数为f'(x)，且2f(x)+xf'(x)>x2 ,x下面的不等式在R内包成立的是A f (x) 0 B f (x) ； 0 C f(x) x Df(x)：x【答案】A【解析】由已知，首先令x=0 ,排除B, Do然后结合已知条件排除C得到A),所以切线方程为32,、y-x0 =3x0(x-x0)233即y=3x0x-2x° ,又(1,0)

6、在切线上，则*0=0或=-鼻，15 25当x0 = 0时，由y =0与y =ax + x9相切可得a = -一 , 464所以选A.当 =-3时，由 丫=27乂-27与丫 = 2乂2 +£x-9相切可得 a = -1 , 2444【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特 点，考查了分析问题和解决问题的能力。9. (2009湖北卷理)设球的半径为时间t的函数R(t)。若球的体积以均匀速度 c增长，则球的表面积的增长速度与球半径A.成正比，比例系数为CB.成正比，比例系数为2cC.成反比，比例系数为CD.成反比，比例系数为2C【答案】D【解析】由题意可知球的

7、体积为 V(t)=-nR3(t),则c=V'(t)=4nR2(t)R'(t),由此可得3c2一J=4nR(t),而球的表面积为 S(t)=4nR(t), R(t)R(t)所以 LS'(t) =4nR2(t) =8nR(t)R'(t),2c2c即 v表=8冗 R(t) R (t)= 2 M4nR(t) R (t)='R (t) =,故选 DR(t)R(t)R(t)x10. (2009全国卷II理)曲线y=在点(1,1)处的切线万程为2x -1A. x - y -2=0 B. x y-2=0C.x 4y-5=0 D. x-4y-5 = 0解:-1,2x-&q

8、uot;2x-2 |xz12 |(2x-1)(2x-1)故切线方程为y-1 = -(x-1)，即x + y-2 = 0 故选B.11. (2009湖南卷文)若函数y = f (x)的导函数在区间a,b上是增函数,则函数y = f (x)在区间a,b上的图象可能是A oyab xB.C.D.解：因为函数y=f（x）的导函数y =（x）在区间a,b上是增函数，即在区间a,b上各点处的斜率k是递增的，由图易知选 A. 注意C中y，= k为常数噢.n -1*12. （2009陕西卷交）设曲线y=x*（nWN ）在点（1, 1）处的切线与x轴的父点的横坐标为xn,则x x M Xn的值为(A) 1(B)

9、 y(C)nnn 1n 1(D) 1答案：B解析：对y =xn*（n w N*）求导得y =（n+1）xn,令x = 1得在点（1, 1）处的切线的斜率k = n +1，在点(1, 1)处的切线方程为 y-1=k(xn -1) = (n+1)(xn -1),不妨设 y =0, x n =1 2x x2 HI xn = 2 33 n -1X XX.4 n故选B.1 -13. (2009 天津卷理)设函数 f (x) =-x ln x(x >0),贝U y = f(x) 311A在区间(-,1),(1,e)内均有零点。B在区间(,1),(1,e)内均无零点ee1C在区间（一,1）内有零点,在

10、区间（1,e）内无零点。 e，一一 1 .、D在区间（-,1）内无零点，在区间（1,e）内有零点。 e【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。11 x 3解析：由题得 f'（x） = -=,令 f'（x） A0 得 x>3 ； 令 f'（x） C0 得3 x 3x0<x<3; r（乂）=0得乂 = 3,故知函数f（x）在区间（0,3）上为减函 数，在区间（3,+的）为增函数，在点x=3处有极小值1-ln3<0; 又1e11f(1) = ,f(e)= -1<0, f()=+1>0,故选择 D 33e3e14. （2009重庆卷文）把函数

11、f （x） =x3 -3x的图像Ci向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图像C2 .若对任意的u>0,曲线Ci与C2至多只有一个交点,则v的最小值为(A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B3解析根据题意曲线 C的解析式为y = (x-u) -3(x-u)-v,则万程332312(x -u) -3(x u) v = x -3x ,即 3ux (u -3u +v) < 0 ,即 v 之 一一 u 七 u对任思411 Q一u>0包成立，于是v之一一 u+3u的取大值，g( u)= u +3u( u> 0则443 o3g(u)=- u ， ，一 r的切线，故此

12、时斜率为0,问题转化为x>0氾围内导函数f (x)=2ax +-存在零点。 x1 ,解法1 (图像法)再将之转化为9他)=-22乂与卜(乂)=-存在父点。当a = 0不符合题意，当a>0时，如图1,数形结合可得显然没有交点，当 a<0如图2,此时正好有一个交点，故有2<0应填(3,0)或是a|a <001解法2 (分离变革法)上述也可等价于万程2ax+-=0在(0,收)内有解，显然可得x+3 = - (u-2)(u+2)由此知函数g(u)在 0, 2 上为增函数，在 44(2,y)上为减函数，所以当u = 2时，函数g(u)取最大值，即为4,于是v±4。

13、二、填空题 .x2 a ,15 . (2009辽宁卷文)若函数f(x)=在x=1处取极值，则a=x 12解析f' (x)= 2x(x 1) (xa)(x 1)2f (1) = 0 ? a =34【答案】316 .若曲线f (x )=ax2+Inx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是.1解析 解析：由题息该函数的止义域 x >0 ,由f (x) = 2ax + -。因为存在垂直于y轴x1ca = y 一二,0 Xj17. (2009江苏卷)函数f(x)=x3 -15x2-33x+6的单调减区间为【解析】考查利用导数判断函数的单调性。f，(x) =3x2 -30x-33= 3(

14、x-11)(x + 1),由（x-11）（X + 1）<0得单调减区间为（-1,11）。亦可填写闭区间或半开半闭区间。18. （2009江苏卷）在平面直角坐标系 xoy中，点P在曲线C : y = x3-10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为.【解析】考查导数的几何意义和计算能力。y' = 3x2 -10=2= x = ±2 ,又点P在第二象限内，,x=-2点P的坐标为（-2, 15）19. （2009福建卷理）若曲线f （x） =ax3+ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是.【答案】:（-二,0）21解析：由题息可

15、知f（x）=2ax +-,又因为存在垂直于y轴的切线，x一.2 11所以 2ax 十一 =0= a = 一一3（x>0）=> a三（-°0,0）。x2x20 .（2009陕西卷理）设曲线y =xn'（nw N*）在点（1, 1）处的切线与x轴的交点的横坐标为 xn,令 an =lgxn,贝U a + a2H + a99 的值为.答案：-2x21 . （ 2009宁夏海南卷交）曲线y=xe +2x + 1在点（0,1 ）处的切线万程为 0【答案】y =3x 1【解析】y' = ex +xex +2 ,斜率 k= e0 +0 +2 =3,所以，y 1 = 3x

16、,即 y = 3x+1解答题29.(2009山东卷理)(本小题满分12分)两县城A和B相距20km,现计划在两县城外以 AB为直径的半圆弧AF上选择一点C建 造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城 A和城B的 总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km,建在C处的垃圾 处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城 A的影响度与所 选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为 4;对城B的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为 k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的 总影响度为0.065.(1)将y表示成x的函数

17、；(11)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A的距离;若不存在，说明理由224 k解法一 ：(1)如图，由题意知 AC JBC,BC =400 x ,y=+2 (0 < x < 20)x 400-x其中当 x =10,.2 时,y=0.065，所以 k=9一.一 ，、 一 一一， 49所以y表小成x的函数为y = W+J(0<x<20)492y二丁一9- , y'=x2 400 - x2_4_2 289 (-2x)18x -8(400 -x )3_ _2 2x3 (400 -

18、x2)23_ _2 2x3(400 - x2 )2,令y' = 0得x 400-x42 242 218x =8(400 x ),所以 x2 =160，即 x=4410，当 0<x<4j10 时，18x <8(400x)，即y'<0所以函数为单调减函数，当476<x<20时，18x4>8(400 -x2)2，即y>0所以函数为单调增函数.所以当x=450时，即当C点到城A的距离为4j?0时，函数49(0<x< 20)有最小值y =-X x2 400 一 x2解法二：(1)同上.(2)设 m = x2, n = 400 -

19、 x2,-4 9,4n 9mm n贝tj m + n =400, y = +-,所以 m n49/ 49、m n 14n9m 11 My =-+- = (-+-)-=-13 + (+)至兀(13 + 12) = 77 当且仅当mn mn 400400mn40016即！n=240时取一m =160 49卜面证明函数y=+在(0,160)上为减函数，在(160,400)上为增函数.m 400 m49. 49.设 0<m1<m2<160，贝U y1 - y2 = ( )m1 400 - m1m2 400 - m2,4 4二 (mi2 -n)mm2(400 -mi1)(400 - m

20、2)= (m)2 - S)4(400 - m1 )(400 - m2) -9m1m2m1m2(400 - m1 )(400 - m2)因为 0<m1<m2<160所以 4(400 -mO(400 - m2) >4X240>2404(400 m1)(400 m2) - 9mlm2-9 m1m2<9X160M60 所以->0,m1m2(400 -m1)(400 - m2)所以(m2 -m1)4(400 -m1)(400 -m2)-9mm249-> 0 即 y > y2 函数 y = +1Tlim2 (400 - m1)(400 - m2)m 4

21、00- m在(0,160)上为减函数.49同理，函数y =一十在(160,400)上为增函数，设 160<m1<m2<400,则m 400 一 m49,49、，、4(400 -m1)(400 -m2) -9mlm2"(一) = (m2 m1)m1 400 -m1m2 400 -m2m1m2 (400 - m1 )(400 - m2)因为 1600<m1vm2<400所以 4(400 -mi1)(400 - m2)<4>240>240, 9 m1m2>9X160X160所以4(400 m1)(400 m2)9m1m2m1m2 (40

22、0 -m1)(400 - m2)<0,4(400 -m1)(400 -m 2-9m m12492所 以(mz-mji-2 <23 即 y1<y2 函 数 y=+ 在m1m2(400 - m1)(400 -m2)m 400- m(160,400)上为增函数.所以当m=160即x =4/0时取"=",函数y有最小值,所以弧力£上存在一点，当x= 4炳时使建在此处的垃圾处理厂对城 A和城B的总影响 度最小.【命题立意】：本题主要考查了函数在实际问题中的应用，运用待定系数法求解函数解析 式的能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.30.(20

23、09山东卷文)(本小题满分12分)1 Q O已知函数 f (x) = ax +bx +x + 3，其中 a #03(1)当a,b满足什么条件时，f(x)取得极值？(2)已知a >0,且f(x)在区间(0,1上单调递增，试用a表示出b的取值范围.解：(1)由已知得 f'(x) =ax2 +2bx +1，令 f'(x) = 0，得 ax2 +2bx+1 = 0 ,f (x)要取得极值，方程ax2 +2bx +1=0必须有解，所以z=4b2-4a A0 ,即b2 >a ,此时方程ax2 + 2bx+1 = 0的根为-2b - . 4b -4a -b-.b - a -2b+

24、、.： 4b -4a - b ：- b - ax1 =二二, x2 =二二,2aa2aa所以 f '(x)=a(x -xj(x -x?)当a >0时，x(-济)x 1(x1 ,x2)x2仅2,+3f'(x)十0一0十f (x)增函数极大值减函数极小值增函数所以f(x)在x 1, x2处分别取得极大值和极小值当a <0时，x(-W)x 2(x2,x。x1(x1,+3f'(x)一0十0一f (x)减函数极小值增函数极大值减函数所以f(x)在X 1, X2处分别取得极大值和极小值综上，当a,b满足b2 >a时，f(x)取得极值.(2)要使f(x)在区间(0,

25、1上单调递增，需使f'(X)=ax2+2bx + 1之0在(0,1上恒成立.ax1ax1即b "彳-丁，x W (0川包成立,所以b>(-)maxxxjxxj设 g(x)=ax万1，/、 a 1,g '(x)2x2 2x221 a(x a_2x令 g'(x) =0得* =1、a(舍去),当 a >1 时,0<<1,当 x w (0, 3)时 g '(x) >0 , g(x) = - ax-1单调增函数； a、a2 2x1.ax 1 、当 xW H=,1时 g '(x) <0, g(x)= 一单调减函数, a2

26、 2x所以当x = J=时,g(x)取得最大，最大值为g(；) = va. a、，a1ax1 .、当0<aM1时，之1，此时g'(x)之0区向(0,1恒成立，所以g(x) = -在区间.a22xa 一1 一a - 1(0,1上单调递增，当x =1时g(x)最大，最大值为g(1)=-十，所以b 1十a 1综上，当 a>1 时，b 至一 Ja; 当 0<aW1 时，b【命题立意】：本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式包成立，再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想，化归思想和分

27、类讨论的思想解答问题.31.(全国n ,文21)(本小题满分12分)1 Q设函数 f(x)=x (1a)x +4ax+24a,其中吊数 a>13(I )讨论f(x)的单调性;(H )若当x>(H, f(x)>0恒成立，求a的取值范围。解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一 问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最 值，由包成立条件得出不等式条件从而求出的范围。解： (I ) f，(x) =x2 -2(1 +a)x+4a=(x 2)(x2a)由a >1知，当x<2时，f H(x)>0,故f(x

28、)在区间(,2)是增函数；当2 cx <2a时，f '(x) <0 ,故f(x)在区间(2,2a)是减函数；当x > 2a时，L(x)a0,故f (x)在区间(2a,y)是增函数。综上，当a>1时，f(x)在区间(3,2)和(2a,z)是增函数，在区间(2,2a)是减函数。(II )由(I)知，当x之0时，f(x)在x = 2a或x = 0处取得最小值。由假设知a 1* f(2a) >0,f(0)>0,a > 1,_4一. 一即 a(a+3)(a 6) >0, 解得 1<a<6324a 0.故a的取值范围是(1,6)32. (

29、 2009广东卷理)(本小题满分14分)已知二次函数y =g(x)的导函数的图像与直线y = 2x平行，且y = g(x)ft x = -1 ft取得极小值m-1(m ¥0).设£(*)=.x(1)若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为V2,求m的值；(2) k(kWR)如何取值时，函数y = f(x)-kx存在零点，并求出零点.解：(1)依题可设 g(x) =a(x+1)2+m-1 (a#0),贝 U g'(x) = 2a(x +1) = 2ax + 2a ;又g'(x)的图像与直线y=2x平行 ，2a = 2 a=122g xm，g(

30、x)=(x+1) +m1=x +2x+m, f(x)=x+2,xx2222m 2设 P(%y。)，则 |PQ | =X0 +(y° 2) =xo +(xo +) Xo2当且仅当2x2 =:时，|PQ|2取得最小值，即| PQ|取得最小值22 Xo当 m>0 时，v(2/2 +2)m =>)2解得 m=J21当 m<0 时，J(2拒+2)m=V2解得 m = -V2 -1(2)由 y = f x ;kx = 1 -k x m 2 = 0(x = 0),得 1 -k x . 一,，一，1时，函数y = f (x )-kx有一零点x = -m mk T 2x m = 0

31、x当k=1时，方程（*）有一解x = -mm ,函数 y = f (x )-kx有一零点 x = -m ；当k#1时，方程（*）有二解之A=44m(1k)A0 ,1右 m a0 , k >1 一一 m函数 y =x有k两个零点2(1 - k)1 二、1 -m(1 -k) x 二k -11k ：1 m-x有k两个零点-2 , , 44m(1-k) x 二2(1 - k)1 二 J -m(1 -k) x 二k -1当k#1时，方程（*）有一解u，:-4-4m 1 -k i-0,k =1 m1函数 y = f (x )-kx有一苓点 x = -mk -1综上，当k =1时，函数y = f （x

32、 ）-kx有一零点x 二 一段1. 1.当 k>1(m>0),或 k<1 (m<0)时, mm函数y = f （x ）-kx有两个零点1 二、.1 - m(1 - k)x 二当k =1k -133. (2009安徽卷理)(本小题满分12分)2已知函数f (x) =x-+a(2-ln x),(a >0),讨论f(x)的单调性.x本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。22 a x ax -2解：f(x)的定义域是(0,+/)，(x) = 1 +一2 - a = a. x x x设 g(x)

33、 =x2 -ax +2,二次方程 g(x) =0 的判别式 =a2 -8.当 A=a2 -8<0 ,即 0<a <2点时，对一切 x>0 都有 f'(x)>0,此时 f(x)在(0,+) 上是增函数。当 =a2 -8 = 0，即a =272时，仅对x = 72有f '(x) = 0，对其余的x>0都有f (x)> Q此时f(x)在(0, g)上也是增函数。 当 = 22-8>0,即a>2亚时，方程g(x) =0有两个不同的实根X = " a -8 $2 = a + a 8 ,0 < xi <x2.22+

34、0 10+单调递增匚极大单调递减极小单调递增2 - 22 -R2 - a2 - R a - a2 -R此时f(x)在(0, a "a 8)上单调递增,在(a"2 8)是上单调递减,在aa2-8 (a "a 8,f)上单调递增.234. (2009安徽卷文)(本小题满分14分)2/(X)- xl-lalnx已知函数工,a>0,(I)讨诧打幻的单调性；(II)设a=3,求/保)在区间1, 以上值域。期中e=2.71828是自然对数的底数。f (x)在1,e2上的值域。【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。第二问就根据第一问

35、中所涉及到的单调性来求函数2 a【解析】(1)由于f(x) =1 F x x.1 ,1o令t =_得丫 =2t2 at + 1(t #0) x当 A = a2 -8<0,gP0<a E2&时，f(x) 20包成立.,“*)在("0)及(0, + 3上都是增函数.当 = a2 8 >0,即a >2无时2a - a - 8 a、a - 8由 2t at +1 >0 得t <或 t >,0<x(仁叵三或乂<0或*>a - a - 8 a - 三 , a - 8:x :222a - a - 8 a、a-8又由 2t at +

36、 <0 得<t <综上当0<a<272时，“*)在(,0)及(0,y)上都是增函数.a - . a - 8 a v a - 8当a <2拒时，f (x)在(,)上是减函数，22在(*,0)(0, a_Ja a 及7a 一8,)上都是增函数.22(2)当a =3时，由(1)知f(x)在1,2】上是减函数.在2,62 上是增函数.一一。 2 一一又 f (1) = 0, f (2) =2 -3ln2 < 0 f (e2) =e2 - - -5 0e二函数f(x)在一1,62上的值域为.|2-3ln2,e2 -马-5 -_e35. (2009江西卷文)(本小

37、题满分12分)9 o设函数 f (x) =x x +6x -a . 2(1)对于任意实数x ,(x)之m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f (x) =0有且仅有一个实根，求a的取值范围. '2解：(1) f (x) -3x -9x 6-3(x-1)(x-2),'2因为 x w (_oo,+=c) , f (x)之 m ,即 3x 9x+ (6m)之 0 恒成乂，33所以 A=8112(6 m) M0,得mW,即m的最大值为44(2)因为 当 x<1 时，f (x) >0;当 1 <x<2时，f (x)<0;当 x>2时，f (x) >

38、0;5所以 当x =1时，f (x)取极大值f (1) = 2 -a;当x=2时，f(x)取极小值 f(2)=2-a;故当f (2) a 0或f (1)<0时，方程f (x)= 0仅有一个实 根.解得a <2或5 a .236. (2009江西卷理)(本小题满分12分)x设函数f (x)=邑 x(1)求函数f(x)的单调区间；(2) 若 k>0,求不等式 f (x)+k(1x)f(x) >0 的解集.，一,1 v 1 v x -1 V解： f (x) = e 十一e =-2-e ,由 f (x) =0，得 x = 1. x x x '''因为当

39、x <0时，f (x) <0 ；当 0 <x <1 时，f (x) <0 ；当 x>1 时，f (x) A 0 ；所以f (x)的单调增区间是：1,收)；单调减区间是：(-°°,0),(0,1.2,/、一、x -1 kx - kx x (x -1)(-kx 1) x 八(2) 由 f (x)+k(1x) f (x) =2e =A 2ee > 0 ,xx得：(x-1)(kx-1) <0. -1故：当 0<k<1时，解集是：x1<x<；当k=1时，解集是：0 ；1当k>1时,解集是：x|-<x&

40、lt;1.37. (2009天津卷文)(本小题满分12分)1322设函数 f(x) = x +x +(m 1)x,(xw R,)其中 m>03(I )玉=1时，曲线y = f (x)在点(1, f (1)处的切线斜率(n)求函数的单调区间与极值；(田)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0, x1,x2,且x1 < x2。若对任意的xwx,x2, f (x) > f (1)恒成立,求m的取值范围。【答案】(1) 1 (2) f (x)在(-00,1-m)和(1 + m,-)内减函数，在(1m,1 + m)内2 321增函数。函数f (x)在x =1+m处取得极大值f(1+m)

41、,且f(1 + m)=m +m -332 321函数f (x)在x =1 -m处取得极小值f(1-m),且f(1-m) = - m +m -一 331 QO一一，【解析】解：当 m=1 时，f(x) =-x +x , f (x) =x +2x,故f =1 3所以曲线y = f (x)在点(1, f (1)处的切线斜率为1.(2)解：f '(x) = -x 221 (3)解：由题设， f(x)=x(-x +x + m -1) = 一一x(x-x1)(x-x?) 31 o所以方程- x +x +m -1 =0由两个相异的头根x1，x2 ,故x + x2 = 3 ,且 3 +2x +m2 -

42、1 ,令 f '(x) = 0 ,得至ij x = 1m, x = 1 十 m因为m >0,所以1 + m > 1 -m一 、一.一 ' . >当x变化时，f (x), f (x)的变化情况如下表:+0-0+极小值极大值f (x)在(*,1m)和(1+m, )内减函数,在(1-m,1 + m)内增函数。2 321函数f (x)在x =1 + m处取得极大值f (1 +m),且f (1 + m) = m + m - 332 321函数f (x)在x =1 -m处取得极小值f (1 -m),且f(1 -m) =- m + m -一3341,11 =1 +(m -1

43、) >0 ,解得 m< _(舍)，m>-3223 .因为 x1 < X2,所以2x2 >X1 +X2 =3,故X2 >- >121 .若 X1 <1 <X2,则f (1) = (1x1)(1X2)之0,而 f(x1)= 0,不合题意 3若 1 <X1 <X2,则对任意的 X W X1,X2有 X - X1 > 0, X - X2 < 0,一一 1则 f (x) = x(x x1)(x X2)之 0 又 f (x1)=0 ,所以函数 f (x)在 XX1,X2的取 3小值为0,于是对任意的XWX，X2 , f (X)

44、A f包成立的充要条件是f(1) =m2 - <0,解得-3<m<3333综上，m的取值范围是(1,也) 2 3【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。38.(2009湖北卷理)(本小题满分14分)1在 R上止义运算®: p®q = -(p-cXq-b ) + 4bc ( b、c为头吊数)。记 36(7)=222c, f2(z )=z-2b, ?亡 R.令 f (? )= f(勺® f2(?).(I)如果函数f(7 =1处有极什f,试确定b、c的值；3(I

45、I)求曲线y = f ( 7 )上斜率为c的切线与该曲线的公共点；(III配g(x)= f'(x)|(-1MxM1)的最大值为M .若M之k对任意的b、c恒成立，试示k的最大值。当b <1时，函数y = f (x)得对称轴x=b位于区间-1,1之外此时 M =maxg(-1),g(1),g(b)由 f (1) f (1)=4b,有f '(b) f '(±1) = (bm1)2 之0 若 TMbM0,贝肝 (1) Mf'(-1) Mf'(b),g(-1) M maxg(1), g(b)一一111 o于是 M =maxf (一1)产3)2 2

46、(+|f'(b)上(一 f'(b) =2(b 1)2 若 0Ebwi,则 f(=1) wf'(1) <fb) , A g(1) <maxg(-1),g(b) 于是1综上，对任意的b、c都有M之21 _ 1 .一一1而当，b=0,c=时，g(x)= x +在区间1,1上的取大值 M =1故M K)Ct任息的b, c包成立的k的最大值为-239. (2009四川卷文)(本小题满分12分)已知函数f (x) =x3+2bx2+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y = 5x-10。(I )求函数f (x)的解析式；、一 一一1(II )设函数g(x) = f

47、(x)+-mx,右g(x)的极值存在，求头数m的取值沱围以及函数 3g(x)取得极值时对应的自变量x的值.【解析】(I)由已知，切点为(2,0),故有f(2) =0，即4b+c+3 = 0又 f (x) =3x2+4bx+c ,由已知 f'(2) =12+8b+c = 5 得 8b + c + 7=0 联立，解得b - -1,c=1.所以函数的解析式为f(x) = x3 -2x2 x-23-21(II )因为 g(x) =x -2x x-2mx3.o1令 g (x) = 3x -4x 1 m = 0 3当函数有极值时，则A之0,方程o13x -4x +1 +- m = 0 有头数解,3

48、由 4 =4(1 -m) 之0 ,得 m W1.当m =1时，g'(x)=0有实数2,2 ,x=，在x =-左右两侧均有g (x) > 0 ,故函数g(x)无 33极值11当 m <1时，g (x) =0 有两个头数根 Q =_ (2 - J1 -m),x2 =-(2 +W - m), g (x),g(x)情 33况如下表:+0-0+/极大值极小值/所以在mw(-°o,1)时，函数g(x)有极值；1 1,，一 ，一当x = _ (2 _ Ji m)时,g(x)有极大值；当x = _ (2 + Ji -m)时,g(x)有极小值;3312分40. (2009全国卷II

49、理)(本小题满分12分)设函数f (x)=x2+aIn(1+x两个极值点X、x2,且'ex?(I)求a的取值范围，并讨论f(x)的单调性；(ii)证明：f h T2In242a 2x 2x a /角单：(I) f(x)=2x+=(x > -1)1 x 1 x1令g(x)=2x+2x+a,其对称轴为x = - 0由题息知x1、x2是万程g(x) = 0的两个4-8a 0_1均大于-1的不相等的实根，其充要条件为 <，得0<a<-g(-1)=a 02当xW (-1,“)时，f <x)>0,. f (x)在(一1,x1)内为增函数；当 xW (x1, x2

50、)时，f '(x )<0,二 f (x)在(x1，x2)内为减函数；当xW (x2,+°°)时，f x户0,，f (x)在(x2,+8)内为增函数;12(II)由(I) g(0) =a>0,A- -<x2 <0, a = -(2x22+2x2)o o1设 h(x )= x -(2x +2x)ln (1 + x )(x > -),则 h x =2x-2(2x 1)ln 1 x -2x =2(2x 1)ln 1 x一 1 一.,1当 xW(-2,0)时，h (x)>0,. h(x)在-2,0)单调递增；当x0,)时，h'(x)

51、<0, h(x)在(0,收)单调递减。1 -2In2故 f X2 if%)41. (2009湖南卷文)(本小题满分13分)已知函数f (x) =x3 +bx2 +cx的导函数的图象关于直线 x=2对称.(I )般的值；(H )若f (x)在x =t处取得最小值，记此极小值为g(t),求g(t)的定义域和值域。解：(I ) f (x) =3x2+2bx+c.因为函数f'(x)的图象关于直线x=2对称，所以-生=2,于是b=-6. 6(R)由()知，f(x)=x36x2+cx, f'(x) =3x2 _12x + c = 3(x 2)2 + c12 .(i )当c 2 12时

52、，f'(x) >0,此时f(x)无极值。(ii)当c<12时，f (x) =0有两个互异实根x1，x2.不妨设x1 < x2,则x1<2<x2.当x< x1时，f (x) >0 , f(x)在区间(-°°,为)内为增函数；当x1<x< x2时，f '(x) <0 , f (x)在区间(x,x2)内为减函数；当x Ax2时，f (x) >0 , f (x)在区间(x2, 口)内为增函数.所以f (x)在x =x1处取极大值，在x=x2处取极小值.因此，当且仅当c<12时，函数f (x)在x

53、 = x2处存在唯一极小值，所以t = x2>2.于是 g(t)的定义域为(2,也).由 f'(t) =3t2 12t+c = 0得 c = 3t2+12t .于是 g( t尸 f( t>31- 6t+ c主-2 t+6 t, q ( 2)当 t >2 时,gt) =-6t2 +12t =6t(2t) <0,所以函数 g(t)在区间(2,收)内是减函数，故g(t)的值域为(血,8).42. (2009福建卷理)(本小题满分14分)1 . O 一已知函数 f (x) = -x +ax +bx JL f '(-1) = 03(1)试用含a的代数式表示b,并求

54、f(x)的单调区问；(2)令a = -1 ,设函数f (x)在xi,x2(x ex2)处取得极值，记点M (人,“不),N(X2,f(X2), P(m, f(m), X <m <x?,请仔细观察曲线f (x)在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：(I)若对任意的m w(x1，X2),线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t 的最小值，并证明你的结论；(II)若存在点Q(n ,f(n), x <n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请 直接写出m的取值范围(不必给出求解过程) 解法一：()依题意，得 f'(x)

55、=x2 2ax b由 f '(-1) =1 -2a b =0得b =2a 1 .1 32从而 f (x) =- x +ax +(2a1)x,故f'(x) =(x+1)(x+2a1). 3令 f '(x) =0,彳导x =1或x=1 -2a.当 a>1 时，1 2a<1当x变化时，f '(x)与f (x)的变化情况如下表：x+一+单调递增单调递减单调递增由此得，函数f(x)的单调增区间为(-1 -2a)和(-1,丘叽 单调减区间为(1-2a,-1) o当a =1时，1-2a = -1此时有f'(x)>0恒成立，且仅在x = -1处f'(x) = 0 ,故函数 f(x)的单调增区间为R当a <1时，1 - 2a > -1同理可得，函数f(x)的单调增区间为(-00,-1)和(1-2a,+专,单调减区间为(1,1 2a)当a>1时，函数f (x)的单调增区间为(-°°,1 -2a)和(-1,收)，单调减区间为(1-2a