概率法设计(2)

1、概率法机械设计概率法机械设计孙志礼东北大率法机械设计概率法机械设计1 应力-强度模型求可靠度的方法2 可靠度的近似计算法3 概率法机械设计所需的部分数据和资料4 静强度的概率法设计5 疲劳强度的概率法设计概率法机械设计概率法机械设计 概率法机械设计是机械可靠性设计的重要组成部分。它是将概率统计理论与传统机械设计理论相结合进行机械零件或构件设计的一种先进方法。它使设计结果更符合实际，并且能够定量地给出机械零件或构件不失效的概率可靠度。 概率法机械设计概率法机械设计 概率法机械设计的基础是可靠的统计数据，需要知道有关设计变量的概率分布。为此，必须投入大量的人力和物力。对

2、于尺寸要求小、重量要求轻的重要零部件，或者大量使用的零部件应该做专门的试验已获得所需数据的统计规律，并做必要的验证试验以保证所设计产品的可靠性。目前这方面的数据还很缺乏。对于一般的概率法机械设计可选用有关参考资料中的统计数据，采用本章推荐的近似处理方法。1 应力-强度模型求可靠度的方法应力-强度模型 应力是对产品功能有影响的各种外界因素，强度是产品承受应力的能力。对应力和强度应该做广义的理解。应力除通常的机械应力外，尚应包括载荷（力、力矩、转矩等）、变形、温度、磨损、油膜、电流、电压等。同样，强度除通常的机械强度外，尚应包括承受上述各种形式应力的能力。下面主要以机械应力和强度进行分析，其它形式

3、的应力和强度可用类似的方法进行处理。1 应力-强度模型求可靠度的方法应力-强度模型认为产品所受的应力大于其允许的强度就会发生失效 x f(x) O 应力和强度干涉情况 fl(xl) fs(xs) 图中影线部分为应力和强度发生干涉的区域，表示强度可能小于应力，因此就有发生失效的可能。发生失效的概率（即不可靠度）大小取决于干涉的情况。 1 应力-强度模型求可靠度的方法应力-强度模型认为强度xs大于应力xl就不会发生失效，可靠度即为零件不发生失效的概率，故可靠度R) 1()0()(lslslsxxPxxPxxPR式中 应力xl和强度xs均应理解为随机变量 1 应力-强度模型求可靠度的方法应力-强度模

4、型求可靠度的一般公式 O dxl f(x) fl(xl) fs(xs) xl0 应力-强度模型求可靠度 x 设应力xl落在xl0附近dxl小区间内的概率为 lllll0lll0d)()2d2d(xxfxxxxxP1 应力-强度模型求可靠度的方法在应力xl落在小区间 )2d,2d(ll0ll0 xxxx内的条件下强度xs大于应力xl0的概率为l0sssll0lll0l0sd)()2d2d(xxxfxxxxxxxP根据概率乘法定理，两事件 )2d2d(ll0lll0 xxxxx)(l0sxx 同时发生的概率为 1 应力-强度模型求可靠度的方法),2d2d(l0sll0lll0 xxxxxxxP)2

5、d2d()2d2d(ll0lll0l0sll0lll0 xxxxxxxPxxxxxPl0sssll0ld)(d)(xxxfxxf1 应力-强度模型求可靠度的方法根据可靠度的定义，对于应力xl所有的可能值强度xs均大于应力xl的概率，即事件（xsxl）的边缘概率就是零件或构件的可靠度（对上式的求和）lssslllsdd)()()(lxxxfxfxxPRx可靠度的另一种表达式 llllssdd)()(sxxxfxfRx1 应力-强度模型求可靠度的方法另外，利用应力-强度模型建立可靠度计算公式也可以使用二维概率分布的方法。由于应力xl和强度xs是相互独立的两个随机变量，故其联合概率密度为)()(),

6、(ssllslxfxfxxf根据可靠度的定义，强度xs大于应力xl的概率（即可靠度）为lsslsllsdd),()(xxxxxxfxxPR1 应力-强度模型求可靠度的方法积分区域见图。将上式化成累次积分得lssslllssldd)()(dd),(llxxxfxfxxxxfRxxslllssslsldd)()(dd),(ssxxxfxfxxxxfxx由上述可以看出，从二维概率分布的角度来推导可靠度的表达式概念更清楚、过程更简单 1 应力-强度模型求可靠度的方法xl O xs xl=xs 求可靠度的积分区域 1 应力-强度模型求可靠度的方法几种利用应力-强度模型计算可靠度的公式 几种典型应力、强度

7、分布求可靠度的公式),(2llsxN),(2sssxN序号应 力强 度可 靠 度 公 式1zR称为联结系数2 对数正态对数正态),(2llln),(2ssln2122ls212l2slsR)(lnln)(lsxxVVxxz)()(1RpzzR212l2slsR)(ssxxz)()(1RpzzR正 态正 态1 应力-强度模型求可靠度的方法例例1 1 某钢制拉杆，承受的工作应力)40,400(21NxN/mm2,屈服强度)36,510(22Nx失效的可靠度。解解 按表中序号1知 N/mm2。求不发生屈服044. 2)4036(400510)(2122212l2slsRssxxz查表1，得R=(zR

8、)=(2.044)=0.979521 应力-强度模型求可靠度的方法数值积分法计算可靠度 有些应力和强度的分布用式难以积分。这时可用数值积分法进行计算，例如用辛普生或高斯公式等。这些数值积分都有现成的计算程序，使用时可查阅。 由于常用分布的变量取值为0或-，故在进行数值积分时应取使被积函数的值接近于0的积分限，以使积分的模型误差尽量小。 2 可靠度的近似计算法不考虑随机变量的实际分布而假定服从正态分布或对数正态分布 可靠安全系数计算法 定义可靠安全系数nR lsRxxn2 可靠度的近似计算法当应力和强度都服从正态分布时 21222RR2122lsR)(1)(lslsxxxxVVnnssxxz22

9、R21222R22RRsslsl1)(1xxxxxVzVVzVVzn2 可靠度的近似计算法当应力和强度都服从对数正态分布时 2122R212l2slsR)(ln)(lsxxVVnznR212l2sRee)(RVzVVzxxn2 可靠度的近似计算法当安全系数 lsxxn服从正态分布时 nRRR1VnnznRR11VznlllxsVxxsssxsVxx2122n)(lsxxVVV2 可靠度的近似计算法例例2 已知应力的变异系数08. 0lxV强度的变异系数05. 0sxV要求可靠度R=0.99，分别按应力和强度都服从正态分布、都服从对数正态分布以及安全系数服从正态分布三种情况分别求所需的可靠安全系

10、数nR 2 可靠度的近似计算法解解 先由表查得当R=0.99时，zR=2.33。应力和强度都服从正态分布时，222222222R21222R22RR05. 033. 2105. 008. 033. 205. 008. 0(33. 211)(1sslslxxxxxVzVVzVVzn=1.236 2 可靠度的近似计算法应力和强度都服从对数正态分布时，先算出 2122n)(lsxxVVV= 094. 0)05. 008. 0(2122245. 1eee094. 033. 2)(RnR212l2sRVzVVzxxn安全系数服从正态分布时 28. 1094. 033. 21111nRRVzn安全系数服从

11、正态分布时所需的可靠安全系数nR最大 2 可靠度的近似计算法随机变量函数的均值和标准差的近似计算 除根据实际零件或构件直接试验获得数据估计应力和强度的分布外，一般都是利用随机变量的函数关系得到函数的分布。通过已知随机变量的分布求其函数的分布往往很难，故通常只求其均值和标准差的近似值。已知随机变量的均值和标准差，求其函数的均值和标准差的近似方法如下。2 可靠度的近似计算法泰勒展开法 设n维随机变量x1，x2，xn的函数),(21nxxxfy 函数的均值 nininijxxijxinjiisssxyxxxfy111120222121),(),(21nxxxf 2 可靠度的近似计算法函数的标准差21

12、1011102202 nixxijjninijixiyjiissxyxysxys式中 角标“0”表示求偏导后自变量取均值；ijxi与xj的相关系数。2122)()()(jjiijjiiijxxExxExxxxE概念上判定为相关 2 可靠度的近似计算法变异系数法 对于单项式（即没有加减运算的式子）的函数，具体表达式为nimiixay1式中 a、mi任意常数 2 可靠度的近似计算法函数的均值nimiixay1函数的变异系数211111222 nininijxxijjixiyjiiVVmmVmV函数的标准差yyVys 2 可靠度的近似计算法基本函数法 这种方法是将常用的函数作为基本函数，用泰勒展开法

13、求出其均值和标准差的结论式列于表中供应用时查用。对于较复杂的函数一般可化为这些基本函数的形式。但是，在把复杂函数化成基本函数时应避开基本函数中变量的相关，亦即保证基本函数中变量是相互独立的。2 可靠度的近似计算法例例3 某钢制拉杆，截面直径d的均值 10dmm，ds=0.08 mm； 标准差杆长L的均值 L=1000 mm， 标准差Ls=5 mm， 受拉力F的均值 F=10000 N， 标准差 Fs=800 N；弹性模数E的均值 E=20600 N/mm2，标准差 Es=618 N/mm2。 求拉杆伸长量的均值和标准差。 2 可靠度的近似计算法解解 由材料力学知，拉杆的伸长量为12244EFL

14、dEdFL上式为一单项式的函数，故用变异系数法求解最为方便 首先求各随机变量的变异系数：008. 01008. 0dsVdd005. 010005LsVLL2 可靠度的近似计算法08. 010000800FsVFF03. 020600618EsVEE的均值 18. 62060010100010000441212EdLF的变异系数（各变量相互独立） 2122222122222)03. 0008. 04005. 008. 0()2(EdLFVVVVV=0.087的标准差 538. 0087. 018. 6Vs2 可靠度的近似计算法例例4 一批轴与孔的配合，已知孔径D=1001.2 mm，轴径d=1

15、000.9 mm。求配合间隙解解 一般孔径、轴径和间隙尺寸均可视为服从正态分布。按“3s”原则，取 32 . 1Ds=0.4 mm； 39 . 0ds=0.3 mm。 用基本函数法，D和d分别加工，显然相互独立，12=0，故间隙的均值和标准差为1001000Dd5 . 0)3 . 04 . 0()(21222122dDsss2 可靠度的近似计算法5 . 15 . 03故 0 1.5若要求间隙 0 1.5已知孔径 2 . 1100D求轴颈应有的尺寸和公差 若用基本函数法，取 Dd并假定D和相互独立，其标准差同前，则d的均值和标准差为1000100dD11222222()(0.40.5 )0.64

16、dDsss因为假定D与相互独立不符合实际情况 仍取dD 3 概率法机械设计所需的概率法机械设计所需的部分数据和资料部分数据和资料几何尺寸 由于加工不能保证几何尺寸绝对准确，而只能将其限制在允许的范围内，故几何尺寸也是一个随机变量。 一般认为尺寸服从正态分布 按“3s”原则选取 一般，对有较严公差限制的尺寸误差，它对应力数值的影响甚微，常可假定为确定量而使计算大为简便 3 概率法机械设计所需的概率法机械设计所需的部分数据和资料部分数据和资料加工方法误 差（）加工方法误 差（）一 般可 达一 般可 达火焰切割1.50.5锯0.500.125冲 压0.250.025车0.1250.025拉 拔0.2

17、50.05铇0.250.025冷 轧0.250.025铣0.1250.025挤 压0.50.05滚切0.1250.025金属模铸0.750.25拉0.1250.0125压 铸0.250.05磨0.0250.005蜡 模 铸0.05研磨0.0050.0012烧结金属1.250.05钻孔0.250.053 概率法机械设计所需的概率法机械设计所需的部分数据和资料部分数据和资料材料的强度特性 试验表明，一些金属材料的强度特性基本可用正态分布来描述。下表给出了金属材料强度特性的变异系数 材料强度变异系数V材料特性变异系数V金属材料的抗拉强度0.05金属材料的断裂韧性0.07金属材料的屈服强度0.07钢的

18、弹性模量0.03钢材的疲劳强度0.08铸铁的弹性模量0.04零件的疲劳强度0.100.15铝合金的弹性模量0.03焊接构件的强度0.100.15钛合金的弹性模量0.093 概率法机械设计所需的概率法机械设计所需的部分数据和资料部分数据和资料目前我国钢材的抗拉强度和屈服强度数据多数是只保证90不小于的下限值。若按上表取变异系数，则抗拉强度均值荐用 bb07. 1屈服强度均值荐用ss1 . 1式中，b和s是从手册或产品目录中查得的下限值 3 概率法机械设计所需的概率法机械设计所需的部分数据和资料部分数据和资料疲劳强度试验比静强度试验麻烦得多，具体试验和统计方法可参考有关文献。初步设计或近时设计计算

19、时荐用bb11应该注意，不同工厂的生产条件和技术水平不同，不同国家的情况则更不一样，因此不应盲目搬用。设计重要的、对强度要求很严的产品宜直接做具体的试验，统计得所需的均值、标准差等数据。 3 概率法机械设计所需的概率法机械设计所需的部分数据和资料部分数据和资料b1材 质锻钢（正火或调值）0.45铸钢或淬火钢0.40灰铸铁0.40铁素体球墨铸铁0.48珠光体球墨铸铁0.334 静强度的概率法设计不随时间变化或变化缓慢的应力称为静应力。当应力循环次数小于103时也近似作为静应力处理。静强度不够而引起的失效形式主要是整体破断或过大的残余变形，前者是应力超过强度极限，后者是应力超过屈服极限所致 4 静

20、强度的概率法设计计算系数 进行零件或构件的概率法设计计算时，有些随机因素尚未查明或尚难查明。例如，试验模拟的近似性、计算简化假定的近似性、数据引用的近似性、生产使用情况的估计、人的素质等引起的随机差异等都难以明确定量。针对这些难以定量或数据暂缺的情况，建议在计算载荷或应力时乘一个计算系数K ，其数值可参考各类机械设备的专业数据 4 静强度的概率法设计取计算系数均值 5 . 10 . 1K变异系数 5 . 10KV随着各随机因素统计定量的不断完善，系数 K逐渐趋于1，而 KV逐渐趋于0 4 静强度的概率法设计正态分布的设计法 若应力和强度均服从正态分布或对数正态分布以及安全系数服从正态分布的情况

21、，就可用上述的方法，按指定的可靠度先求得可靠安全系数，再按强度条件 Rslnxx 就可进行设计计算 4 静强度的概率法设计拉杆的静强度概率法设计 例例5 圆截面拉杆，受轴向力F N（250000，150002）N，所用材料的抗拉强度极限bN（630，31.52）N/mm2，要求不拉断失效的可靠度R=0.999，求所需的截面直径d 4 静强度的概率法设计解解 工作应力函数24dKF计算准确，取计算系数 1K0KV一般制造水平，取直径的变异系数 0025. 0dV载荷的变异系数 06. 025000015000FsVFF求应力的变异系数 0602. 0)0025. 0406. 00()2(2122

22、212222dFKVVVV4 静强度的概率法设计强度极限的变异系数 05. 06305 .31bbbsV当R=0.999，由表查得zR=3.09 设应力服从正态分布时，则应力和强度均服从正态分布。按前式得所需可靠安全系数22R21222R22RRbbb1)(1VzVVzVVzn274. 105. 009. 31)05. 00602. 009. 305. 00602. 0(09. 312221222224 静强度的概率法设计强度条件 Rb24ndFK解得37.25630274. 12500001442121bRnFKd0634. 037.250025. 0dVsdd将设计结果适当圆整，并取d=3

23、sd=30.0634=0.19 mm，则d=25.50.19 mm 5 疲劳强度的概率法设计零件或构件的疲劳强度与很多因素有关，计算比较麻烦，因此疲劳强度设计常以验算为主。通常可先按静强度设计定出具体尺寸、结构和加工情况后，再验算可靠度或预计可靠寿命 变应力和变载荷的类型变应力和变载荷的类型 应力和载荷的变化规律基本上是类似的，故载荷就不再叙述。应力随时间变化的记录称为应力时间历程，按其变化规律可分为三种类型：a)为稳定变应力；b)为规律性不稳定变应力；c)为随机不稳定变应力，其变化无明显的规律性。 5 疲劳强度的概率法设计5 疲劳强度的概率法设计应力的随机性按其在设计中的影响可分为两种。一种

24、是产品本身所受应力历程的随机性，称之为应力的纵向分布。它是反映产品本身所受应力随时间的随机变化；另一种是同样产品间所受应力的差异，称之为应力的横向分布。它是反映同样产品在同样工作条件下，由于受一些随机因素的影响而实际引起的应力并不一致。应力历程各不相同，但经统计处理后可发现各个应力历程的分布规律是一致的，而分布参数并不一致。分布参数间的变异也可统计整理得出其分布规律。 5 疲劳强度的概率法设计零件的疲劳强度 一般是利用相应的系数对材料的疲劳强度进行适当的修正作为零件的疲劳强度。下面仅介绍受对称循环变应力的情况供设计时参考零件的-1CN与材料的-1N之差值则随着应力循环次数N的减小而减小。当S-

25、N曲线开始接近水平时，其循环次数记为N，并规定应力循环次数N=103时记为N0 5 疲劳强度的概率法设计当N N时，零件的疲劳强度记为-1C Cq1C1K11CKK当N N时，零件的疲劳强度的均值Cq1C1K11CKK各修正系数的均值，若缺乏专门的数据可暂取常规设计的数据作为均值 5 疲劳强度的概率法设计当N N时，零件的疲劳强度的标准差CCVSC111212222222)(111CqCCqCKKKVVVVVVVV1V由同炉材质疲劳强度差异的变异系数（如表中的数据）和不同炉材质疲劳强度差异的变异系数组成。若没有不同炉材质疲劳强度差异的变异系数，则可近似用强度极限的变异系数代替 5 疲劳强度的概

26、率法设计对常用钢制零件的体积强度，若未做专门的试验可参考表选取 生产水平单件生产批量生产大量生产高0.100.090.08中0.110.100.09低0.120.110.101V5 疲劳强度的概率法设计qV当用喷丸、辊压等强化措施效果稳定，取 05. 0qV效果不稳定，取 12. 0qV若未强化，则取 0qV综合修正系数的变异系数可近似取VVCKV是理论应力集中系数 的变异系数 仅决定于几何形状和受载类型。典型的形状及受载情况多能用公式给出其函数关系，这时可用前述的方法求其均值和标准差 5 疲劳强度的概率法设计当N=N0时，零件的疲劳强度00011NNCNKN=N0时的有效应力集中系数 N=N

27、0时零件疲劳强度的均值 00011NNCNK1) 1(00NNqKK5 疲劳强度的概率法设计N=N0时零件疲劳强度的标准差和变异系数010011CNCNVSCN2122)(0N0N10CN1KVVV也可近似取 bNVV01CNKKVV05 疲劳强度的概率法设计近似p-S-N曲线和3s-S-N曲线的绘制和可靠度的验算 最好通过试验绘成。一般，曲线的左分支在四、五个应力水平用成组试验法进行寿命试验，然后统计处理求出每一应力水平下的寿命分布。曲线的右分支在指定的N（一般略大于N）处用升降法进行疲劳强度试验，然后求出其均值和标准差。将同一失效概率的点用光滑曲线连接起来即为p-S-N曲线。若将各均值点和

28、失效概率p=0.00135的试验点（即均值减去3倍的标准差）分别连接起来即为3s-S-N曲线。这些曲线在双对数坐标系中为直线，可用直线方程来描述。 5 疲劳强度的概率法设计可按下属步骤绘制近似的p-S-N曲线和3s-S-N曲线 a.绘制标准光滑试件的均值S-N曲线。根据不同的重要程度和经济条件，可用标准光滑试件按成组试验法和升降法绘制较精确的p-S-N曲线。也可用较少的试件绘制常规的S-N曲线，把它作为均值S-N曲线；对不很重要的情况或近似计算，也可参考有关文献中同样材料的数据绘制近似的均值S-N曲线（如图所示） 5 疲劳强度的概率法设计对于常用的钢铁可近似取N=（110）106； 1可近似由

29、 b估算 N0=103时的疲劳强度均值 bN)0 . 16 . 0(01建议一般钢取： bN85. 001淬火钢取： bN65. 001灰铸铁、铁素体球墨铸铁取： bN01珠光体球墨铸铁取： bN7 . 0015 疲劳强度的概率法设计4 5 6 7 lgN 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3 近似的 p-S-N 曲线 a a b c c b lg-1CN N/mm2 按双对数估得的疲劳强度是偏于保守的或认为是偏于安全的 5 疲劳强度的概率法设计b.绘制零件的均值S-N曲线 将标准光滑试件的均值S-N曲线针对具体的应力集中、绝对尺寸和表面情况进行适当的修正，即可绘得零件的均值S-N曲线

30、c.绘制零件的p-S-N曲线 N和N0分别求出疲劳强度的标准差 Cs101CNs则N和N0时不同失效概率p的疲劳强度 5 疲劳强度的概率法设计CszpCpC111)(01011)(CNszpCpCN3s-S-N曲线的绘制方法与p-S-N曲线类似，均直线同前，-3s线（即均值减去三倍标准差）相当于失效概率p=0.00135。图所示为近似的3s-S-N曲线 5 疲劳强度的概率法设计为使用方便，将3s-S-N曲线用经验公式来表示。按双对数坐标上的3s-S-N近似直线，寿命为N的零件疲劳强度均值NCCNK11mNNNK1CCNNNm110lglglglg05 疲劳强度的概率法设计寿命为N时的零件疲劳强

31、度的标准差3)(3111sCNCNCNssNCsCNKVC3131)()31 ()(1smsNNNK313)(CCNsCCNVVNNm1103)31lg()31lg(lglg10015 疲劳强度的概率法设计 3s-m-a曲线绘制和可靠度验算曲线绘制和可靠度验算 图中实线为m-a曲线的均值，虚线与均值曲线间隔为三倍的标准差，即-3s线 5 疲劳强度的概率法设计工作中应力循环特性r为常量，可按工作应力 mlal在图中描得一点A，过原点O和该点引一直线 OA应力和强度均按 OA线方向的向量和计算 类似，若工作中平均应力ml为常量 工作中最小应力min为常量，可按min在图上引45斜线 5 疲劳强度的

32、概率法设计对最常用的r为常量的情况，工作应力的均值 212al2ml)(l工作应力的标准差 2122)(lllamsss疲劳强度可直接从图上量取 AO3aAs5 疲劳强度的概率法设计疲劳强度也可按近似的经验公式来求。这时常假设疲劳极限线图为谢林森折线，如图所示。疲劳强度的均值和标准差sinasin3)(3aassmlalarctancot1CN1aCN0CN0CN125 疲劳强度的概率法设计cot)(1)31 ()(3CN13aCN1ssVCN0CN0CN13)31 ()31 ()31 (2)(CN0CN0CN1VVVs5 疲劳强度的概率法设计按等效应力验算可靠度按等效应力验算可靠度 当应力循

33、环特性r为常数时，非对称循环的变应力可近似转化为疲劳等效的对称循环变应力。这时，强度的均值为 CN1变异系数为 CN1V应力的均值为等效应力的均值 mlale等效应力的变异系数raleVVV5 疲劳强度的概率法设计受复合应力时验算可靠度受复合应力时验算可靠度 受复合应力时，可根据相应的强度理论求计算应力。受非对称循环变应力时仍可用等效应力的概念。例如，轴的危险截面上同时受有非对称循环的正应力 r和剪应力 rral21rrml21rmlaleral21rrml21rmlale5 疲劳强度的概率法设计若按第四强度理论，则计算应力 212e2el)3(例例6 某回转心轴用40Cr制造，调质后抗拉强度

34、极限 b=939.6 N/mm2， D=120 mm，d=100 mm，=102 mm，精车。受弯矩M=30000 Nm作用，试验算N=105时不疲劳失效的可靠度。 危险截面为变断面，圆角过渡， D=120 mm，5 疲劳强度的概率法设计解解 1）绘制零件的近似p-S-N曲线2bN12b1306N/mm66.79885. 0,N/mm82.42245. 0,10,100NN取 在图上描点连接成光滑试件的近似S-N曲线 取一般常规设计修正系数作为均值： 1,92. 0,92. 0,53. 1qK综合修正系数均值 75. 1192. 0192. 053. 111CKK5 疲劳强度的概率法设计N时零

35、件疲劳强度均值 6 .24175. 118 .422Cq1C1K由图查得52. 00Nq N0时的有效应力集中系数均值 276. 1152. 0) 153. 1 (1) 1(00NNqKK5 疲劳强度的概率法设计N0时零件疲劳强度均值 91.625276. 166.798000NN1CN1K在图上描点连接成零件的近似均值S-N曲线 取 025. 0, 0,10. 0Cq1KVVVN时零件疲劳强度的变异系数 21222)(CqC1C1C1KKKVVVVVVVVq115. 0)0025. 010. 0025. 0010. 0(21225 疲劳强度的概率法设计零件疲劳强度的标准差 79.27115.

36、 06 .241C1C1C1Vs指定p=0.10，0.01，0.001，由附表1查得相应的zp=-1.282，-2.326，-3.090 N时不同失效概率p时零件的疲劳强度 98.20579.27282. 16 .241)(C1pC110. 0C1sz97.17679.27326. 26 .241)(C1pC101. 0C1sz74.15579.27090. 36 .241)(C1pC1001. 0C1sz5 疲劳强度的概率法设计取 025. 0,05. 0C0Nb0N1KKVVVVN0时零件疲劳强度的变异系数 056. 0)025. 005. 0()(212221220N0N10CN1KVV

37、V零件疲劳强度的标准差 05.35056. 091.6250CN100CN1CN1Vs5 疲劳强度的概率法设计N0时不同失效概率p时零件的疲劳强度 98.58005.35282. 191.625)(0CN100pCN110. 0CN1sz38.54405.35326. 291.625)(0CN100pCN101. 0CN1sz61.51705.35090. 391.625)(0CN100pCN1001. 0CN1sz用这些值在图上描点，并将相同p的点用直线相连，得近似p-S-N曲线 5 疲劳强度的概率法设计2）验算零件不疲劳失效的可靠度求工作应力，按材料力学公式 58.305100103000

38、03232333dM由指定的N=105，即lgN=5，以及工作应力=305.58在图中描点。由图知，此点约在p=0.01的S-N线上，故不疲劳失效的可靠度99. 001. 011PR5 疲劳强度的概率法设计例例7 数据同例6。若危险截面的弯应力N(300，212)N/mm2，求N=105时疲劳强度的可靠度 解解 由例6得N=106时 6 .241C179.27C1s0115. 0C1VN0=103时 91.6250CN105.350CN1s056. 00CN1V5 疲劳强度的概率法设计现按双对数坐标的经验公式求 CN1CN1s均值线的试验指数 257. 76 .241lg91.625lg10l

39、g10lglglglglg361100CCNNNm均值线的寿命系数 373. 11010257. 71561mNNNK5 疲劳强度的概率法设计N=105时疲劳强度的均值 72.331373. 16 .24111NCCNK-3s线的试验指数 CCNsCCNVVNNm1103)31lg()31lg(lglg1001799. 56 .241)115. 031lg(91.625)056. 031lg(10lg10lg365 疲劳强度的概率法设计-3s线上的寿命系数 487. 11010)(799. 5156133smsNNNKN=105时-3s线上疲劳强度 31.235487. 16 .241)115

40、. 031 ()()31 ()(31311sNCsCNKVCN=105时的零件疲劳强度的标准差 14.32331.23572.3313)(3111sCNCNCNs5 疲劳强度的概率法设计设强度也服从正态分布，按表 8262. 0)2114.32(30072.331)(2122212211sszCNCNR由zR=0.8262查表得R=(zR)= (0.8262)=0.79555 疲劳强度的概率法设计可靠度计算的应力可靠度计算的应力-寿命模型寿命模型 疲劳曲线是在几个不同的应力水平下做成组寿命试验，通过对试验数据的统计处理后得到每个应力水平下的寿命分布。大量试验结果表明：在一定应力水平下机械零件（

41、或材料）的疲劳寿命较好地服从对数正态分布，其概率密度为 Nf (lg )(2)(lglglg2lg2)(2lgNsNNNeNse5 疲劳强度的概率法设计通过试验数据的统计处理表明：在双对数坐标系lg-lgN下，失效概率相同时的疲劳曲线可用一斜直线表示，用公式表示则为 lg)(lgBANp式中系数A、B可用最小二乘法得 lg)(lgBNApniinippiNNBi121)lg(lg)(lg)(lg)lg(lg5 疲劳强度的概率法设计式中 nippiNnN1)(lg1)(lgniin1lg1lg当p=0.5时，寿命分布的对数均值为lg)(lg)(lg115 . 0BANN当p=0.00135时lg

42、)(lg2200135. 0BAN5 疲劳强度的概率法设计寿命分布的对数标准差为lg)()(31)(lg)(lg31)(212100135. 05 . 0lgBBAANNsN上二式中A1、B1为p=0.5时的系数；A2、B2为p=0.00135时的系数 恒幅常应力的可靠度计算 恒幅常应力就是作用在零件上的应力幅（或等效应力幅）为常数 前已述及的可靠度计算模型是根据疲劳强度理论和应力-强度模型在指定寿命N*处获得的。但是，疲劳强度的概率分布是根据疲劳寿命分布转换得到的，这种转换会带来一定的误差 5 疲劳强度的概率法设计不论疲劳强度和疲劳寿命服从何种分布，疲劳强度和疲劳寿命的可靠度是等价的 因此，

43、零件的疲劳强度可靠度可用疲劳寿命可靠度来表示，公式为R(N*)=P(NN*)=*(lgNNf)dN 当在恒幅应力作用下疲劳寿命服从对数正态分布时 )()(lglg1lg*NsNNR(N*)= 5 疲劳强度的概率法设计 恒幅变应力的可靠度计算 对于在相同条件下工作的一批零件，虽然对每个个体而言应力幅为常数，但对母体而言工作时应力幅确是随机变量，将这种情况称为恒幅变应力情况。在这种情况下疲劳可靠度的计算公式推导如下 5 疲劳强度的概率法设计如图所示，当工作应力在 2d,2d*区间内取值时，由于d为微量，故此时疲劳寿命NN*的概率为 2d2d*NNP*d)(lgNNNf而应力落入小区间 2d,2d*

44、内的概率为 d)(2d2d*fP5 疲劳强度的概率法设计应力落入小区间 2d,2d*同时发生的概率，根据概率乘法定理得 与（NN*）这两个事件2d2d,*NNP2d2d2d2d*NNPP*d)(d)(lg*NNNff5 疲劳强度的概率法设计可靠度是对应力所有可能值寿命N均大于指定寿命N*的概率，故可靠度为 dd)()()(*lg*NNNffNR式就是寿命可靠度的加权平均值。当给定应力水平下疲劳寿命服从对数正态分布时，上式变为 d)()()(lglg1)(lg*fsNNNRN5 疲劳强度的概率法设计当工作应力服从不同的概率分布时，上式可以写出具体的表达式。例如，工作应力服从指数分布时可靠度为 0

45、lg*d)()(lglg1)(NsNNeNR工作应力服从正态分布时可靠度为d)()(lglg211)(lg*2)(*22NssNNesNR5 疲劳强度的概率法设计工作应力服从对数正态分布时可靠度为0lg*2lglglg*d)()(lglg2lg1)(2lg2NssNNeseNR工作应力服从威布尔分布时可靠度为0lg*1*d)()(lglg1)(NbksNNebbkNRk关于可靠度的计算可用数值积分法或蒙特卡洛模拟法进行求解 5 疲劳强度的概率法设计例例8 材料为45钢正火处理，在四级应力水平下做成组寿命试验（旋转弯曲），试验结果见表。若工作应力为300 N/mm2（恒幅常应力）和工作应力服从对

46、数正态分布（恒幅变应力），均值为300 N/mm2，标准差为30 N/mm2。试求N=105时的可靠度 表表3-11 45钢旋转弯曲疲劳试验结钢旋转弯曲疲劳试验结果果应力水平 N/mm2379.65348.60330.46316.34寿命的对数均值4.50684.85655.20715.34725 疲劳强度的概率法设计解 由式得系数 A1=32.8255，B1=10.9834A2=15.0954，B2=4.1141代入式中得lg9834.108255.32)(lgNlg2898. 29100. 5lgNs5 疲劳强度的概率法设计1）恒幅常应力（=300 N/mm2）由式，N*=105时可靠度3

47、00lg2898. 29100. 5300lg9834.108255.3210lg1)()(lglg15lg*NsNNR(N*)= 99533. 0)599. 2(12）恒幅变应力（服从对数正态分布）由题知，工作应力服从对数正态分布，其均值为300 N/mm2，标准差为30 N/mm2 5 疲劳强度的概率法设计通过计算得工作应力的对数均值 4750. 2lg对数标准差 0433. 0lgs0lg*2lglglg*d)()(lglg2lg1)(2lg2NssNNeseNR050433. 02)4750. 2(lg90102. 0d)lg2898. 29100. 5lg9834.108255.32

48、10lg(0433. 02lg122ee5 疲劳强度的概率法设计非恒幅应力的疲劳可靠度计算非恒幅应力的疲劳可靠度计算 非恒幅应力的疲劳可靠性计算，由于既存在应力的横向分布，又存在应力的纵向分布 虽然对非恒幅应力的疲劳可靠性计算方法已由一些研究，但都在一定程度上存在一些问题。这里从疲劳损伤理论出发，直接建立这种情况下的可靠度计算模型 5 疲劳强度的概率法设计工程中，有些变量之间的关系是确定性的 有些变量之间并没有明确的函数关系，有些变量之间的关系是通过试验数据的拟合来确定的。例如，疲劳曲线方程就是通过试验获得的 ，应力与寿命之间并不存在确定的函数关系 因此方程mN=C不能作为一个函数关系使用 应

49、力与寿命存在上述关系的条件是失效概率相等应力与寿命存在上述关系的条件是失效概率相等 CNpm5 疲劳强度的概率法设计目前都使用疲劳损伤累积理论 疲劳损伤累积理论在各自假设的基础上各变量之间满足这一函数关系式。因此，这些疲劳损伤累积理论都可以直接用于疲劳强度的可靠性计算中。由于Miner定理简单，故目前基本上都在使用该定理进行寿命计算。这里也以该定理论述疲劳可靠性的计算，至于其它的疲劳损伤累积理论，其分析方法类似 5 疲劳强度的概率法设计Miner定理的文字表述为：在疲劳试验中，试样在给定应力水平循环作用下，损伤可以认为与应力循环次数成线性累积的关系，当损伤累积到某一临界值时就发生破坏。用公式表

50、达即为当 11niiiNn时正好破坏。式中的ni和Ni是应力水平为i时的工作应力循环次数和达到破坏时的应力循环次数（寿命）；n是应力水平数，建议取全部应力水平数 5 疲劳强度的概率法设计规律性非恒幅应力的可靠度计算 规律性非恒幅常应力的情况 在规律性非恒幅常应力下，虽然每级应力i都是常数，即只有应力的纵向分布，但疲劳极限或应力水平下的疲劳寿命仍为随机变量。而且实际的工作应力循环次数ni也可能是随机变量。因此，在这种情况下应进行可靠性计算。最直接的方法就是利用疲劳损伤累积理论 5 疲劳强度的概率法设计根据不发生疲劳失效的可靠度定义得11niiiNnPR可采用中心点法、一次二阶矩法或蒙特卡洛模拟法

51、求解 规律性非恒幅变应力的情况规律性非恒幅变应力的情况 在这种情况中既有应力的纵向分布，又有应力的横向分布。因为每一级应力对于个体而言是常数，但对于母体（一批零件）而言，每级应力又都是随机变量，即存在有应力的横向分布 5 疲劳强度的概率法设计每级应力i（i=1,2,n）在任意小区间 2d,2diiii内取值的条件下 1)(1niiiNn的概率为 1)(1niiiiNnPR而每级应力同时在各自小区间 2d,2diiii内取值的概率为 （i=1,2,n） niiiif1d)(5 疲劳强度的概率法设计上述两个事件同时发生的概率，根据概率乘法定理得 niiiniiiifNnP11d)(1)(将每级应力

52、在所有可能的取值都累加起来，即为零件不发生疲劳失效的可靠度 niiiniiinifNnPR11d)(1)(.可采用数值积分法或蒙特卡洛模拟法进行求解 5 疲劳强度的概率法设计随机应力的可靠性计算随机应力的可靠性计算 与前述应力分类法一样，随机应力仍可分为随机常应力（只有应力的纵向分布）和随机变应力（同时存在有应力的纵向分布和横向分布） 随机常应力的情况 设应力的纵向分布的概率密度为p()（这里使用p()主要是为了区别用于应力-强度干涉模型中应力的概率密度）。p()可通过实测应力时间历程经计数统计后得到。随机常应力即认为母体中每一个个体的应力时间历程都相同，均为p() 5 疲劳强度的概率法设计应

53、力在至+d区间内的应力循环数与总应力循环数之比（概率）为p()d，令N为总工作循环数（常数），在应力（，+d）区间内的工作循环数为dn，则d)(dpNn用dn代替Miner定理中的ni，并将求和换成积分，则此时不疲劳失效的可靠度为1)()(dpNNPR5 疲劳强度的概率法设计随机变应力的情况 这里仅讨论一种解决这一问题的方法 在规定的相同条件下多次重复采集样本，每次采集的样本可以得到其应力的纵向分布p()。但各次采集到的样本统计处理后得到的应力纵向分布是不同的，由此产生的差异是产生应力横向分布的因素。文献53指出：在很多情况下，各次重复采集的样本，其应力纵向统计分布的类型几乎不变，而分布参数有所改变 5 疲劳强度的概率法设计一般认为应力的纵向分布服从正态分布，那么应力纵向分布的均值 和标准差 s不同 如果多次采集样本