103 二阶常系数线性差分方程精编版

1、 10.3 二阶常系数线性差分方程 一、齐次方程的通解 二、非齐次方程的特解和通解 三、n 阶常系数线性差分方程 一、齐次方程的通解 二阶常系数线性差分方程的一般形式为二阶常系数线性差分方程的一般形式为 yn? ?2? ? ayn? ?1? ? byn? ? f(n),n? ?0,1,2,?(10? ?23 )其中其中a,b为已知常数为已知常数,且且b? ?0,f(n)为已知函数为已知函数.(10? ?23 )的对应齐次方程为的对应齐次方程为 方程方程 yn? ?2? ?ayn? ?1? ?byn? ?0,(10? ?24 )设设yn? ? ?为方程为方程(10? ?24 )的特解的特解,其中

2、其中? ?为非零待定系数为非零待定系数 , 代入方程后代入方程后, 有有 n2n? ?(? ? ?a? ? ?b)? ?0因因? ?n? ?0,故函数故函数yn? ? ?是方程是方程(10? ?24 )的特解的的特解的充分必要条件是充分必要条件是? ?满足方程满足方程n? ? ?a? ? ?b? ?02(10? ?25 )(10? ?25 )称为方程称为方程 (10? ?23 )或或(10? ?24 )的特征的特征方程方程 方程方程, 特征方程的解称为特征根或特征值特征方程的解称为特征根或特征值. 根据二次代数方程根据二次代数方程 (10? ?25 )解的三种情况，可解的三种情况，可以仿照二阶

3、常系数齐次线性微分方程，分别给出方以仿照二阶常系数齐次线性微分方程，分别给出方(10? ?23 )的通解的通解. 程程 1. 特征方程有两个相异实根特征方程有两个相异实根 即当判别式即当判别式 ? ? ? ?a? ?4 b? ?0时时,(10? ?25 )有两个相异实根有两个相异实根 方程方程 11? ?1? ?(? ?a? ? ?),? ?2? ?(? ?a? ? ?)22(10? ?26 )2(10? ?24 )有两个特解有两个特解 于是方程于是方程 y1(n)? ? ?,nn1y2(n)? ? ?n2y1(n)? ? ?1? ?且由且由 ? ? ? ? ? ? ? 常数常数y2(n)?

4、? ?2? ?知知y1(n)与与y2(n)线性无关线性无关,(10? ?24 )的通解的通解 从而得到方程从而得到方程 yn? ?C? ? ?C? ?n1 1n2 2其中其中? ?1,? ?2由由(10? ?26 )给出给出,C1,C2为任意常数为任意常数 .例例1 1 求差分方程求差分方程 yn? ?2? ?4yn? ?1? ?5yn? ?0的通解的通解.解解 特征方程为特征方程为 ? ? ?4? ? ?5? ?0解得两个相异实根解得两个相异实根 ? ?1? ?1,? ?2? ? ? ?5,于是于是, 2所给方程的通解为所给方程的通解为 y(n)?C1?C2(?5 )其中其中C1,C2为任意

5、常数为任意常数 .n2. 特征方程有二重根特征方程有二重根 (10? ?25 )有二重根有二重根 即当判别式即当判别式 ? ? ? ?a? ?4 b? ?0时时,方程方程 1? ?1? ? ?2? ? ? ?a,于是方程于是方程 (10? ?24 )有一个特解有一个特解 22? ?1? ?y1(n)? ? ? ?a? ? ?2? ?n(10? ?24 )有另一特解有另一特解 可验证方程可验证方程 ? ?1? ?y2(n)? ?n? ? ?a? ? ?2? ?ny1(n)1? ? ? 常数常数, 知知y1(n)与与y2(n)线性无关线性无关 ,且由且由 y2(n)n(10? ?24 )的通解的通

6、解 从而得到方程从而得到方程 ? ?1? ?yn? ?(C1? ?C2n)? ? ?a? ? ?2? ?其中其中C1,C2为任意常数为任意常数 .n例例2 2 求方程求方程 yn? ?2? ?10 yn? ?1? ?25 yn? ?0的通解的通解.解解 特征方程为特征方程为 ? ? ?10? ? ?25? ?0解得特征根为解得特征根为 ? ? ?5(二重二重),于是于是, 所给方程的通解为所给方程的通解为 2yn? ?(C1? ?C2n)5其中其中C1,C2为任意常数为任意常数 .n3. 特征方程有两个共轭复根特征方程有两个共轭复根 即当判别式即当判别式 ? ? ? ?a? ?4 b? ?0时

7、时,(10? ?25 )有两个共轭复根有两个共轭复根 方程方程 1? ?1? ?(? ?a? ?i? ? ? ?),21? ?2? ?(? ?a? ?i? ? ? ?),22(10? ?24 )有两个特解有两个特解 通过直接验证可知通过直接验证可知, 方程方程 y1(n)? ?r cos? ?n,2ny2(n)? ?r sin? ?n2n其中其中 ? ?a? ? ? ? ? ? ? ?r? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?b? ?2? ? ?2? ?12tan? ? ? ? ?4 b? ?a ,? ? ?(0 ,);aa ? ?0时时,? ? ?2(10? ?27 )r又称为复特征根的模

8、又称为复特征根的模,? ?为复特征根的辐角为复特征根的辐角.y1(n)又因又因? ? cot? ?n? ? 常数常数 ,y2(n)知知y1(n)与与y2(n)线性无关线性无关,(10? ?24 )的通解可表示为的通解可表示为 所给方程所给方程 y(n)? ?r (C1cos? ?n? ?C2sin? ?n)其中其中C1,C2为任意常数为任意常数 .n例例3 3 求方程求方程 yn? ?2? ?2yn? ?1? ?5yn? ?0的通解的通解.解解 特征方程为特征方程为 ? ? ?2? ? ?5? ?0解得特征根解得特征根 ? ?1? ?1? ?2i,? ?2? ?1? ?2 i,所给方程的通解为

9、所给方程的通解为 因此因此 2y(n)? ?r (C1cos? ?n? ?C2sin? ?n)n其中其中r? ?5,? ? ?arctan 2,C1,C2为任意常数为任意常数 .二、非齐次方程的特解和通解 (10? ?23 )的特解试解的设定方法参照下表的特解试解的设定方法参照下表 10? ?2方程方程 f(n)的形式的形式试解试解y*(n)的形式的形式y*(n)? ?Qm(n)? ?a0n? ?a1na0,a1,? ,am为待定系数为待定系数mm? ?1取试解的条件取试解的条件? ? ?ama? ?b? ?1? ?0f(n)? ?Pm(n)Pm(n)为为m次次多项式多项式y*(n)? ?nQ

10、(n)? ?a0nm? ?1? ?a1nm? ? ?amna0,a1,? ,am为待定系数为待定系数y*(n)? ?n2Q(n)? ?a0nm? ?2? ?a1nm? ?1? ? ?amn2a0,a1,? ,am为待定系数为待定系数a? ?b? ?1? ?0且且 a? ? ? ?2a? ? ? ?2,b? ?1f(n)的形式的形式n试解试解y*(n)的形式的形式y*(n)? ?Ad , A为待定系数为待定系数n取试解的条件取试解的条件d不是特征根不是特征根d是单特征根是单特征根d是二重特征根是二重特征根f(n)? ?edy*(n)? ?And ,A为待定系数为待定系数y*(n)? ?And ,

11、 A为待定系数为待定系数y*(n)? ?Acos? ?n? ?Bsin? ?nA, B为待定系数为待定系数y*(n)? ?n(Acos? ?n? ?Bsin? ?n)A, B为待定系数为待定系数2nnr? ?cos? ? ?isin? ?不是特征根不是特征根r? ?cos? ? ?isin? ?是单特征根是单特征根r? ?cos? ? ?isin? ?是二重特征根是二重特征根f(n)? ?b1cos? ?n? ?b2sin? ?n或或? ?b1cos? ?n或或? ?b2sin? ?ny*(n)? ?n2(Acos? ?n? ?Bsin? ?n)A,B为待定系数为待定系数例例4 4 求方程求方

12、程 yn? ?2? ?4yn? ?1? ?5yn? ?2 n? ?3的通解的通解.解解 由例由例1, 对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为 y? ?C1? ?C2(? ?5 )? ?2n设设 y (n)? ?n(a0n? ?a1)? ?a0n? ?a1n,代入方程代入方程, 有有 (12 a0? ?4a1)n? ?(8 a0? ?2 a1)? ?2 n? ?3113比较系数，解得比较系数，解得 a0? ? ? ?,a1? ? ? ?,714所以所以, 所给方程的特解为所给方程的特解为 1213y (n)? ? ? ?n? ?n714? ?从而得到所给方程的通解为从而得到所给方程的通解为 1

13、213yn? ?C1? ?C2(? ?5)? ?n? ?n714n其中其中C1,C2为任意常数为任意常数 .例例5 5 求方程求方程 yn? ?2? ?10 yn? ?1? ?25 yn? ?3 满足条件满足条件 y0? ?1,ny1? ?0的特解的特解.解解 由例由例2, 对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为 y? ?(C1? ?C2n)5? ?nn设所给非齐次方程的特解设所给非齐次方程的特解 y (n)? ?A3 ,代入方程后代入方程后, 得得 4A? ?11A? ?,解得解得 41n? ?所以所以y (n)? ?3 ,4从而得到所给方程的通解从而得到所给方程的通解 1nyn? ?(C

14、1? ?C2n)5? ?34n其中其中C1,C2为任意常数为任意常数 .又由又由y0? ?1, y1? ?0, 有有 31C1? ? ?1,5 (C1? ?C2)? ? ?04439解得解得 C1? ?,C2? ? ? ?,410因此，方程满足条件的特解为因此，方程满足条件的特解为 ? ?39? ?n1ny? ? ? ?n? ?5? ?3 .4? ?4 10? ?例例6 6 求方程求方程yn? ?2? ?yn? ?2cos n? ?sin n的通解的通解.22解解 对应齐次方程的特征方程为对应齐次方程的特征方程为 ? ? ?1? ?0解得解得 x ? ? ? ?i,知知r? ?1,? ? ?,

15、22所以对应齐次方程的通解为所以对应齐次方程的通解为 y? ?C1cos n? ?C2sin n22设所给方程的特解为设所给方程的特解为 ? ? ? ?y (n)? ?n? ?Acos n? ?Bsin n? ?,22? ? ?代入方程得代入方程得 ? ?2Acos n? ?2Bsin n? ?2cos n? ?sin n22221比较同类项系数比较同类项系数, 得得 A? ? ? ?1,B? ?,所以所以 21? ? ? ?y (n)? ?n? ? ?cos n? ?sin n? ?,222? ? ?从而得所给方程的通解为从而得所给方程的通解为 1? ? ?yn? ?(C1? ?n)cos

16、n? ? ?C2? ?n? ?sin n22? ?2? ?其中其中C1,C2为任意常数为任意常数 .三、n 阶常系数线性差分方程 解决形如解决形如yn? ?k? ?a1yn? ?k? ?1? ? ?ak? ?1yn? ?1? ?akyn? ?f(n)(10? ?28 )的的k阶常系数线性差分方程阶常系数线性差分方程 的求解问题的求解问题 ,其中其中a1,a2,? ,ak为已知常数为已知常数 ,且且 ak? ?0.方程方程(10? ?28 )对应的齐次方程为对应的齐次方程为yn? ?k? ?a1yn? ?k? ?1? ? ? ? ?ak? ?1yn? ?1? ?akyn? ?0(10? ?29

17、)求解非齐次方程求解非齐次方程(10? ?28 )通解分两步进行：通解分两步进行：1.求对应齐次方程求对应齐次方程(10? ?29 )的特征方程的特征方程? ? ?a1? ?kk? ?1? ? ? ? ?ak? ?1? ? ?ak? ?0(10? ?30 )的的k个特征根个特征根,进而求得进而求得(10? ?29 )的通解的通解.2.用待定系数法求非齐次用待定系数法求非齐次 方程方程(10? ?28 )的通解的通解.关键是要根据关键是要根据f(n)的形式特点设定试解函的形式特点设定试解函数数y*(n).例例7 7 求方程求方程 yn? ?3? ?4yn? ?2? ?9yn? ?1? ?10 yn? ?1? ?2的通解的通解.解解 对应齐次方程的特征方程为对应齐次方程的特征方程为 n? ? ?4? ? ?9? ? ?10? ?(? ? ?2 )(? ? ?2? ? ?5 )? ?0解得解得 ? ?1? ?2,? ?2? ?1? ?2 i,? ?3? ?1? ?2 i, 于是于是 对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为 232y? ?C12? ?( 5) (C2cos? ?n? ?C3sin? ?n)其中其中 ? ? ?arctan 2, C1,C2,C3为任意常数为任意常数