第3章 -误差分析

1、第三章测量误差分析与处理 误差的来源与分类误差的来源与分类 系统误差系统误差 随机误差随机误差 可疑测量数据的剔除可疑测量数据的剔除 随机误差的计算随机误差的计算热能与动力工程测试技术第三章 测量误差分析与处理第三章 测量误差分析与处理1 1、误差的来源与分类、误差的来源与分类一、误差的定义一、误差的定义 测量值与真值之间的差值测量值与真值之间的差值 三角形内角和恒为三角形内角和恒为180180度度 时间秒时间秒是钯原子基态的两个超精细是钯原子基态的两个超精细能见之间辐射周期的能见之间辐射周期的91926317709192631770倍持倍持续时间。续时间。 高一级标准仪表的误差是第一级标高一

2、级标准仪表的误差是第一级标准仪器误差的准仪器误差的1/20-1/31/20-1/3，则可认为前，则可认为前者是后者的相对真值者是后者的相对真值。误差公理：误差公理：任何测量结果都存在误差！任何测量结果都存在误差！热能与动力工程测试技术理论真值理论真值规定真值规定真值相对真值相对真值热能与动力工程测试技术二、误差的来源二、误差的来源（1 1）仪器误差）仪器误差（2 2）环境误差）环境误差（3 3）理论误差和方法误差）理论误差和方法误差（4 4）人身误差）人身误差（5 5）测量对象变化误差）测量对象变化误差第三章 测量误差分析与处理热能与动力工程测试技术三、误差的表示方法三、误差的表示方法绝对误差

3、绝对误差 测量值与真测量值与真值之差值之差相对误差相对误差 绝对值与真绝对值与真值之比值之比引用误差引用误差 测量值的最测量值的最大绝对误差与大绝对误差与仪表的量程之仪表的量程之比比第三章 测量误差分析与处理热能与动力工程测试技术第三章 测量误差分析与处理2. 相对误差相对误差：反映了测量值偏离真值的程度。 （1）实际相对误差）实际相对误差 实际相对误差是指绝对误差与被被测真值测真值的百分比，用表示，即 （2）示值（标称）相对误差）示值（标称）相对误差 示值相对误差是指绝对误差与被测量值被测量值的百分比，用表示，即 计算测量误差用计算测量误差用 （3）引用（满度）相对误差）引用（满度）相对误差

4、 引用相对误差是指绝对误差与仪表满度值仪表满度值AFS的百分比 ， 用表示，即 计算仪表精度用计算仪表精度用%100SFmAx%1000AxA%100 xxAx热能与动力工程测试技术第三章 测量误差分析与处理 【例例1】某温度计的量程范围为某温度计的量程范围为0500，校验时该表的最大绝对误差为校验时该表的最大绝对误差为6，试确定，试确定该仪表的精度等级。该仪表的精度等级。 解：根据题意知解：根据题意知max= 6，AFS = 500，代入式，代入式中中 该温度计的引用相对误差介于该温度计的引用相对误差介于1.0%与与1.5%之间，之间，因此温度计的精度等级应定为因此温度计的精度等级应定为1.

5、5级。级。第三章 测量误差分析与处理 【例例2】现有现有0.5级的级的0300和和1.0级的级的0100的两个温的两个温度计，欲测量度计，欲测量80的温度，试问选用哪一个温度计好？为的温度，试问选用哪一个温度计好？为什么？什么？解：0.5级温度计测量时可能出现的最大绝对误差最大绝对误差、测量80可能出现的最大示值相对误差最大示值相对误差分别为1.0级温度计测量时可能出现的最大绝对误差、测量80时可能出现的最大示值相对误差分别为 显然用1.0级温度计比0.5级温度计测量时，示值相对误差反而小。因此在选用仪表时，不能单纯追求高精度，而是应兼顾精度等级和量程兼顾精度等级和量程。一般应使测量值在满刻度

6、的一般应使测量值在满刻度的2/3以上为宜。以上为宜。%25. 1%100801%100|22xxmx1)0100%(0 .1|222mmmx%875. 1%100805 . 1%100|11xxmx5.10300%5.0|111mmmx热能与动力工程测试技术（1 1）系统误差）系统误差( (简称系差简称系差) ) 在相同条件下，对同一物理量多次测量，在相同条件下，对同一物理量多次测量，其系统误差的大小和符号其系统误差的大小和符号保持恒定保持恒定；或在条件；或在条件改变时，其遵循改变时，其遵循一定规律一定规律变化。变化。 系统误差是可以消除的，在正确的测量结系统误差是可以消除的，在正确的测量结果

7、中不应含系统误差。果中不应含系统误差。四、误差的分类四、误差的分类第三章 测量误差分析与处理热能与动力工程测试技术（2 2）随机误差）随机误差 在相同条件下，对同一物理量对次测量，其在相同条件下，对同一物理量对次测量，其随机误差的随机误差的大小和符号均已不可预测大小和符号均已不可预测的方式变化。的方式变化。 随机误差是由许多偶然的因素引起的综合结果。随机误差是由许多偶然的因素引起的综合结果。因而无法在测量过程中加以控制和排除。随机误因而无法在测量过程中加以控制和排除。随机误差就个体而言，无规律可循。但在等精度条件下差就个体而言，无规律可循。但在等精度条件下的多次测量，其大多数服从的多次测量，其

8、大多数服从正态分布正态分布。第三章 测量误差分析与处理热能与动力工程测试技术（3 3）过失误差）过失误差 由于测量者在测量过程中的过失而产生的明由于测量者在测量过程中的过失而产生的明显偏离真值的误差称为过失误差。过失误差虽然显偏离真值的误差称为过失误差。过失误差虽然无规律可循，但只要测量者思想集中、细心操作，无规律可循，但只要测量者思想集中、细心操作，是完全可以避免的。是完全可以避免的。第三章 测量误差分析与处理热能与动力工程测试技术（1）精密度：）精密度：表明测量结果的分散程度表明测量结果的分散程度（2）准确度：）准确度：表明测量结果偏离真值的程度表明测量结果偏离真值的程度（3）精确度：）精

9、确度：反应测量中系统误差与随机误差综反应测量中系统误差与随机误差综合影响程度合影响程度。 三类误差的划分不是绝对的，而是具有一定的相三类误差的划分不是绝对的，而是具有一定的相对性。在实际测量中，它们并非一成不变，在一对性。在实际测量中，它们并非一成不变，在一定条件下可以相互转化。较大的系统误差或随机定条件下可以相互转化。较大的系统误差或随机误差可当作过失误差来处理。误差可当作过失误差来处理。五、三类误差的联系五、三类误差的联系六、衡量测量值与真值的接近程度的标准六、衡量测量值与真值的接近程度的标准第三章 测量误差分析与处理热能与动力工程测试技术随机误差较小，系统误差大，随机误差较小，系统误差大

10、，精密度精密度比较高。比较高。第三章 测量误差分析与处理（1）精密度：）精密度：表明测量结果的分散程度表明测量结果的分散程度热能与动力工程测试技术系统误差较小，随机误差较大系统误差较小，随机误差较大，准确度准确度较高。较高。第三章 测量误差分析与处理（2）准确度：）准确度：表明测量结果偏离真值的程度表明测量结果偏离真值的程度热能与动力工程测试技术系统误差与随机误差都比较小，系统误差与随机误差都比较小，精确度精确度比较高！比较高！第三章 测量误差分析与处理（3）精确度：）精确度：反应测量中系统误差与随机误差反应测量中系统误差与随机误差综合影响程度综合影响程度。热能与动力工程测试技术在在2004年

11、雅典奥运会射击比赛中，由于美国选手埃蒙斯年雅典奥运会射击比赛中，由于美国选手埃蒙斯射中了其他选手的靶子（脱靶射中了其他选手的靶子（脱靶0环），环），中国选手贾占波夺得中国选手贾占波夺得男子男子50米步枪比赛冠军。米步枪比赛冠军。2008年北京奥运会同样的悲剧再年北京奥运会同样的悲剧再次上演，次上演，他在夺冠几无悬念的情况下最后一枪打出他在夺冠几无悬念的情况下最后一枪打出4.4环，环，金牌又被拱手给了中国的邱健。金牌又被拱手给了中国的邱健。过失误差过失误差第三章 测量误差分析与处理测量误差的数据处理测量误差的数据处理热能与动力工程测试技术 测量数据处理即对测量所获得的数据进行深入的分测量数据处理

12、即对测量所获得的数据进行深入的分析，找出变量之间相互制约、相互联系的依存关系，有析，找出变量之间相互制约、相互联系的依存关系，有时需要利用数学解析的方法，推导出各种变量之间的函时需要利用数学解析的方法，推导出各种变量之间的函数关系。数关系。 只有经过科学的处理，才能去粗取精、去伪存真，只有经过科学的处理，才能去粗取精、去伪存真，从而获得反映被测对象的物理状态和特性的有用信息，从而获得反映被测对象的物理状态和特性的有用信息，这就是测量数据处理的最终目的。这就是测量数据处理的最终目的。第三章 测量误差分析与处理2、系统误差系统误差一、分类一、分类 仪器误差、安装误差、环境误差、仪器误差、安装误差、

13、环境误差、方法误差、操作误差、动态误差方法误差、操作误差、动态误差二、特点二、特点规律性、方向性、可减小或消除规律性、方向性、可减小或消除三、消除方法三、消除方法 交换抵消、替代消除、预检法交换抵消、替代消除、预检法四、综合方法四、综合方法 代数综合法、算术综合法、代数综合法、算术综合法、 几何综合法几何综合法热能与动力工程测试技术第三章 测量误差分析与处理热能与动力工程测试技术定义定义: :在同一条件下，同一观测者对同一量进行多在同一条件下，同一观测者对同一量进行多次测量（等精度测量）时，如果没有系统误差，测次测量（等精度测量）时，如果没有系统误差，测量结果仍会出现一些无规律的起伏，这种偶然

14、的，量结果仍会出现一些无规律的起伏，这种偶然的，不确定的偏离称作不确定的偏离称作随机误差随机误差。特点：特点：随机性（忽大忽小，忽正忽负，没有规律），随机性（忽大忽小，忽正忽负，没有规律），但当测量次数比较多时服从统计规律。最常见的就但当测量次数比较多时服从统计规律。最常见的就是是正态分布正态分布（高斯分布）（高斯分布）。消除方法：消除方法：多次测量取平均值多次测量取平均值3、随机误差、随机误差第三章 测量误差分析与处理热能与动力工程测试技术一、随机误差的正态分布一、随机误差的正态分布随机误差分布公理：随机误差分布公理：单峰性单峰性对称性对称性有限性有限性抵偿性抵偿性随机误差正态分布曲线随机误

15、差正态分布曲线第三章 测量误差分析与处理热能与动力工程测试技术单峰性单峰性 绝对值小的绝对值小的误差比绝对误差比绝对值大的误差值大的误差出现的次数出现的次数多，峰值只多，峰值只出现在零误出现在零误差附近差附近对称性对称性 绝对值相绝对值相等的正负等的正负误差出现误差出现的次数相的次数相等等有限性有限性 在一定的在一定的测量条件测量条件下，随机下，随机误差的绝误差的绝对值不会对值不会超过一定超过一定的界限。的界限。抵偿性抵偿性 随测量次随测量次数的增加，数的增加，随机误差随机误差的算术平的算术平均值趋向均值趋向于零。于零。第三章 测量误差分析与处理平均值周围分布离散程度平均值周围分布离散程度的特

16、征数。标准误差越小，的特征数。标准误差越小，则曲线形状越尖锐，说明则曲线形状越尖锐，说明数据越集中；标准误差越数据越集中；标准误差越大，则曲线形状越平坦，大，则曲线形状越平坦，说明数据越分散。说明数据越分散。热能与动力工程测试技术标准误差标准误差 是代表测量值在是代表测量值在二、标准误差和概率积分二、标准误差和概率积分第三章 测量误差分析与处理热能与动力工程测试技术第三章 测量误差分析与处理推导依据：推导依据：最小二乘法最小二乘法即即测量结果的最可信赖值应使测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残残余误差平方和（或加权残余误差平方和）最小。余误差平方和）最小。三、测量结果的最佳值三、测

17、量结果的最佳值第三章 测量误差分析与处理最佳值：最佳值：算术平均值的特点：算术平均值的特点：热能与动力工程测试技术四、有限次测量误差的计算及表示方法四、有限次测量误差的计算及表示方法3.算术平均值的极限误差算术平均值的极限误差4.算术平均值的相对极限误差算术平均值的相对极限误差第三章 测量误差分析与处理2.算术平均值的标准误差算术平均值的标准误差热能与动力工程测试技术各误差间的关系各误差间的关系第三章 测量误差分析与处理热能与动力工程测试技术4 4、可疑数据的剔除、可疑数据的剔除二、格拉布斯准则二、格拉布斯准则四、狄克逊准则四、狄克逊准则三、三、t t检验准则检验准则一、莱依特准则（一、莱依特

18、准则（3 3准则）准则）第三章 测量误差分析与处理vili L2 2）计算格拉布斯准则数）计算格拉布斯准则数 Tli 格拉布斯准则判别步骤格拉布斯准则判别步骤1）计算测量值的算术平均值）计算测量值的算术平均值L和标准误差和标准误差 3 3）选择合适的显著度（危险率）选择合适的显著度（危险率）4 4）判别）判别 Tli 是否大于是否大于 T( n, a ) ，若大于则，若大于则认为含有粗大误差，应予以剔除。认为含有粗大误差，应予以剔除。热能与动力工程测试技术第三章 测量误差分析与处理热能与动力工程测试技术四、判别法的选择四、判别法的选择合适；若合适；若次数较少次数较少，则采用格拉布斯准则、，则采

19、用格拉布斯准则、t t检验准则或狄克逊准则。若要检验准则或狄克逊准则。若要迅速判别迅速判别粗粗大误差时，可采用大误差时，可采用狄克逊准则狄克逊准则。（2 2）最多只有一个异常值时，采用格拉布）最多只有一个异常值时，采用格拉布斯准则效果最佳。斯准则效果最佳。（3 3）可能存在多个异常值时，应采用两种）可能存在多个异常值时，应采用两种以上的准侧交叉判别，否则效果不佳以上的准侧交叉判别，否则效果不佳。（1 1）当）当 n ，采用，采用莱依特准则莱依特准则更为更为第三章 测量误差分析与处理热能与动力工程测试技术第三章 测量误差分析与处理 为了获得比较准确的测量结果，通常要对一个为了获得比较准确的测量结

20、果，通常要对一个量的多次测量数据进行分析处理。其处理步骤量的多次测量数据进行分析处理。其处理步骤如下：如下： 列出测量数据列出测量数据x1，x2，x3，xn。 求算术平均值（测量值）。求算术平均值（测量值）。 求剩余误差（残差）求剩余误差（残差） 用贝塞尔公式计算标准偏差估计值用贝塞尔公式计算标准偏差估计值。 利用利用莱依特莱依特准则（准则（3准则）判别是否存在粗准则）判别是否存在粗差。若测量值差。若测量值xi 为坏值，剔除为坏值，剔除xi 后再按上述步骤后再按上述步骤重新计算，直到不存在坏值并且剔除坏值后的重新计算，直到不存在坏值并且剔除坏值后的测量次数不少于测量次数不少于10次为止，如果不

21、满次为止，如果不满10次应重次应重新测量。新测量。xxpii热能与动力工程测试技术第三章 测量误差分析与处理【例例3】用温度传感器对某温度进行用温度传感器对某温度进行12次等精度测量，次等精度测量，测量数据（测量数据（）如下）如下20.46， 20.52， 20.50， 20.52， 20.48， 20.47，20.50， 20.49， 20.47， 20.49， 20.51， 20.51要求对该组数据进行分析整理，并写出最后结果。要求对该组数据进行分析整理，并写出最后结果。 解解: 数据处理步骤如下数据处理步骤如下（1）记录填表将测量数据）记录填表将测量数据xi (i =1、2、3、12)

22、按从小到大顺序依次列在表格中。按从小到大顺序依次列在表格中。热能与动力工程测试技术第三章 测量误差分析与处理第三章 测量误差分析与处理（2）计算）计算 求出测量数据列的算术平均值。求出测量数据列的算术平均值。 计算各测量值的残余误差计算各测量值的残余误差 。 当计算无误时，理论上有当计算无误时，理论上有 ，但实际上，由，但实际上，由于计算过程中于计算过程中四舍五入四舍五入所引入的误差，此关系式所引入的误差，此关系式往往不能满足。本例中往往不能满足。本例中 计算标准误差。计算标准误差。 由于由于 ，于是，于是xxpii01niip0004. 0121iip421068.44ip02.011106

23、8.44141212npii热能与动力工程测试技术5、随机误差的计算、随机误差的计算一、直接测量误差的计算一、直接测量误差的计算1）计算平均值）计算平均值2）计算偏差（）计算偏差（残差）残差）3）计算均方根误差和极限误差）计算均方根误差和极限误差4）计算算术平均值的相对极限误差）计算算术平均值的相对极限误差5）检查偏差中是否有大于极限误差，有则剔出，）检查偏差中是否有大于极限误差，有则剔出，重新计算重新计算6）得出最终被测量的结果）得出最终被测量的结果第三章 测量误差分析与处理热能与动力工程测试技术第三章 测量误差分析与处理（3）判别坏值）判别坏值 本例采用本例采用莱依特莱依特准则检查坏值，因

24、为，而所有准则检查坏值，因为，而所有测量值的剩余误差均满足，显然数据中无坏值。测量值的剩余误差均满足，显然数据中无坏值。（4）写出测量结果）写出测量结果 所以，测量结果可表示为所以，测量结果可表示为006. 0n018. 049.203xx热能与动力工程测试技术二、二、“权权”的概念的概念“权权”表示在非等精度测量中评价测量结果质量的标表示在非等精度测量中评价测量结果质量的标志，当若干次测量结果进行比较时，志，当若干次测量结果进行比较时，“权权”的数值越的数值越大，则该测量结果的可信赖度越高。大，则该测量结果的可信赖度越高。非等精度测量非等精度测量中被测量的中被测量的最佳值最佳值：加权算术平均

25、加权算术平均值的标准误差：值的标准误差：第三章 测量误差分析与处理三、间接测量误差的计算三、间接测量误差的计算1.1.只进行一次测量时的误差计算只进行一次测量时的误差计算2.2.多参数间接测量时的误差计算多参数间接测量时的误差计算A0A max S热能与动力工程测试技术第三章 测量误差分析与处理2 2）计算规则）计算规则 (1) (1)进行加减时，和与差的有效数字位数的保留以小数点后位数最少的那个数进行加减时，和与差的有效数字位数的保留以小数点后位数最少的那个数相同；相同； (2) (2)进行乘除时，乘与除的有效数字位数的保留以各数据中相对误差最大或有效进行乘除时，乘与除的有效数字位数的保留以

26、各数据中相对误差最大或有效数字位数最少的那个数相同；数字位数最少的那个数相同； (3) (3)在对数运算中，所取对数的尾数应与其真数的有效数字位数相同。在对数运算中，所取对数的尾数应与其真数的有效数字位数相同。 (4) (4)进行乘方与开方运算时，有效数字与其底数的有效数字位数相同。进行乘方与开方运算时，有效数字与其底数的有效数字位数相同。 (5) (5)在多步计算，中间各步可暂时多保留一位数字，以免多次四舍五入造成误差在多步计算，中间各步可暂时多保留一位数字，以免多次四舍五入造成误差的积累，最终结果只能保留应有的位数的积累，最终结果只能保留应有的位数6. 6. 有效数字与计算方法有效数字与计算方法一一. . 概念概念有效数字有效数字是指在测量中所得到的有实际意义的数字。测量值正确的表是指在测量中所得到的有实际意义的数字。测量值正确的表示为：除末位数字是可疑或不确定外，其余各数字应该是准确的。除特示为：除末位数字是可疑或不确定外，其余各数字应该是准确的。除特殊规定外，通常认为有效数字可疑不超过正负一个单位的偏差。殊规定外，通常认为有效数字可疑不超过正负一个单