2019-2020学年广东省珠海市高二(上)期末数学试卷

1、2019-2020 学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5 分）命题“x2，+），x24”的否定式是（）Ax2，+），x24Cx02，+），x024Bx（，2），x24Dx02，+），x0242（5 分）已知an为等比数列，a33，a1527，则 a9 的值为（）A9B9 或9C8D93（5 分）若 a、b、c 是任意实数，

2、则（）A若 ab，则 acbcB若，则 abC若 a3b3 且 ab0，则D若 a2b2 且 ab0，则4（5 分）关于 x 的不等式 x2x53x 的解集是（）Ax|x5 或 x1Bx|x5 或 x1  Cx|1x5Dx|1x55（5 分）已知 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最小值为（）A4B2C1D6（5 分）设 

3、xR，则“|x2|1”是“x2+x60”的（）A充分而不必要条件C充要条件7（5 分）若椭圆B必要而不充分条件D既不充分也不必要条件上一点到两焦点的距离之和为 m3，则 m 的值为（   ）A1B7              C9             D7

4、 或 98（5 分）我国古代数学典籍九章算术第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙 5 尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天第1页（共22页）加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两鼠在第几天相遇？（）A第 2 天B第 3 天C第 4 天D第 5 天9（5 分）已知 P 为抛物线 y24x 上的任意一点，F 为抛物线的焦点，点 B 坐标为

5、（3，2），则|PB|+|PF|的最小值为（）A4B3CD10（5 分）经过点 P（1，1）作直线 l 交椭圆点，则直线的斜率为（）ABC于 M，N 两点，且 P 为 MN 的中D11（5 分）如图，在ABC 中，B45°，AC8，D 是 BC 边上一点，DC5，DA7，则 AB 的长为（）12 5 分）如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，ABAD3，AA14，P&

6、#160;是侧面 BCC1B1A4B4C8D4（内的动点，且 APBD1，记 AP 与平面 BCC1B1 所成的角为 ，则 tan 的最大值为（）ABC2D二、填空题（每题 5 分，满分 40 分，将答案填在答题纸上）13（5 分）在ABC 中，如果（a+c）（ac）b（bc），则角 A 等于14（5 分）已知 x0，则的最大值是15（5 分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中给出了圆的另

7、一种定义：平面内到两个定点 A，B 距离之比是常数 （0，1）的点 P 的轨迹是圆若两定点A，B 的距离为 3，动点 P 满足|PA|2|PB|，则点 P 的轨迹围成的区域的面积为第2页（共22页）16（5 分）如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，AB1，AD2，AA13，BAD90°，BAA1DAA160°，则 AC118 5 分）已知数列an满足：a11，an+1an+2若17（5

8、0;分）抛物线 x22py（p0）的焦点为 F，其准线与双曲线两点，若ABF 为等边三角形，则 p（1 相交于 A，B，则 n 的最大值为19（5 分）如图，A，B，C，D 为平面四边形 ABCD 的四个内角，若 A+C180°，AB6，BC4，CD5，AD5，则四边形 ABCD 面积是20（5 分）已知 F1，F2 分别为双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，过 F2 与双曲线的一条渐近

9、线平行的直线交双曲线于点 P，若|PF1|3|PF2|，则双曲线的离心率为三、解答题：共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21（10 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知（2ca）cosBbcosA0（1）求角 B 的值；第3页（共22页）22 10 分）在各项均不相等的等差数列an中，a11，且成 a1，a2，a5 等比数列，数列bn（2）若 a4，求ABC 的面积（的前 n&#

10、160;项和 Sn2n+12（1）求数列an、bn的通项公式；（2）设，求数列cn的前 n 项和 Tn23（10 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，底面 ABCD 是正方形 PDAB2，E 为 PC 中点（1）求证：DE平面 PCB；（2）求二面角 EBDP 的余弦值24（10 分）已知 f（x）ax2+（1a）x1，g（x）a（1x）2，aR （1）解关于 x

11、60;的不等式 f（x）0；（2）若 f（x）g（x）对任意的 x1，1恒成立，求实数 a 的范围25（10 分）给定椭圆是椭圆 C 的“伴随圆”，若椭圆 C 的右焦点为，称圆心在原点 O，半径为       的圆，其短轴上一个端点到 F 的距离为（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点作椭圆 C 的“伴随圆”C'的动弦 MN，过点 

12、M（x1，y1），N（x2，y2）分别作“伴随圆”C'的切线，设两切线交于点 Q，证明：点 Q 的轨迹是直线，并求该直线的方程第4页（共22页）2019-2020 学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5 分）命题“x2，+），x24”的否定式是（）Ax2，+），x24Cx02，+），x024Bx（，2），x24Dx02，+），x024【分

13、析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论【解答】解：命题为全称命题，则命题“x2，+），x24”的否定是：x02，+），x024，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础2（5 分）已知an为等比数列，a33，a1527，则 a9 的值为（）A9B9 或9C8D9【分析】本题根据等比数列的特点可得 q129，则 q63再根据通项公式有 a9a3q6 即可得到 a9 的值，本题应避免使用等比中项去计算，否则会得到两个值【解答】解：由题意，可知q129，则 q63a9a3

14、q6339故选：D【点评】本题主要考查等比数列通项公式的应用，本题属基础题3（5 分）若 a、b、c 是任意实数，则（）A若 ab，则 acbcB若，则 abC若 a3b3 且 ab0，则第5页（共22页）D若 a2b2 且 ab0，则【分析】根据不等式的基本性质，结合特殊值，可判断选项正误【解答】解：对 A，取 c0，这不等式 acbc 不成立，故 A 错；对 B，若 a0，b0，c0，则

15、60;ab，故 B 错；对 C，a3b3 且 ba0，ab，对 D，a2b2 且 ab0，取 a2，b1，则，      ，故 C 正确；，故 D 错误故选：C【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题4（5 分）关于 x 的不等式 x2x53x 的解集是（）Ax|x5 或 x1Bx|x5 或 x1 

16、60;Cx|1x5Dx|1x5【分析】将不等式转化为一元二次不等式，利用因式分解法，可求得结论【解答】解：不等式可化为：x24x50（x5）（x+1）0x5 或 x1不等式 x2x53x 的解集是x|x5 或 x1故选：B【点评】一元二次不等式的求解关键在于，求出对应方程的根，能用因式分解法的就用因式分解法，属于基础题5（5 分）已知 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最小值为（）A4B2C1D【分析】作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数 z2x+y 的几

17、何意义，利用数形结合即可的得到结论【解答】解：先根据 x，y 满足线性约束条件画出可行域，平移直线 02x+y，当直线 z2x+y 过点 B（0，1）时，z 取最小值为 1第6页（共22页）故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键6（5 分）设 xR ，则“|x2|1”是“x2+x60”的（）A充分而不必要条件C充要条件B必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【分析】先化简“|x2|1”和“x2+x60”，再利用

18、充分必要条件的定义分析判断得解【解答】解：由|x2|1 得 1x3，由 x2+x60 得3x2，所以“|x2|1”不能推出“x2+x60”，所以“|x2|1”是“x2+x60”的非充分条件；因为“x2+x60”不能推出“|x2|1”，所以“|x2|1”是“x2+x60”的非必要条件所以“|x2|1”是“x2+x60”的既不充分也不必要条件故选：D【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平7（5 分）若椭圆A1上一点到两焦点的距离之和为 m3，则

19、0;m 的值为（   ）B7              C9             D7 或 9【分析】根据题意，按椭圆的焦点位置分 2 种情况讨论，结合椭圆的定义分析可得 m 的第7页（共22页）值【解答】解：根据题意，对于椭

20、圆，分 2 种情况讨论：，椭圆的焦点在 x 轴上，有 4m，则 a2，若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 m3，则有 2am34，解可得 m7，又由 4m，m7 不合题意，舍去；，椭圆的焦点在 y 轴上，有 4m，则 a，若椭圆则有 2am32上一点到两个焦点的距离之和为 m3，解可得：m9 或 m1（舍）故 m9，故选：C【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆的离心率计算公式，关键是求出

21、60;m 的值，是中档题8（5 分）我国古代数学典籍九章算术第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙 5 尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两鼠在第几天相遇？（）A第 2 天B第 3 天C第 4 天D第 5 天【分析】利用已知条件，逐步求出结果即可【解答】解：第一天：大老鼠与小老鼠的打洞尺数：1+12；第二天：大老鼠与小老鼠的打洞尺数：2+0.52.5，两天总和：2+2.54.5，第三天：

22、大老鼠与小老鼠的打洞尺数：4+0.254.25，厚墙 5 尺，第 3 天不足打洞尺数，所以两鼠在第 3 天相遇故选：B【点评】本题考查数列的应用，数列的函数的特征，是基本知识的考查9（5 分）已知 P 为抛物线 y24x 上的任意一点，F 为抛物线的焦点，点 B 坐标为（3，2），第8页（共22页）则|PB|+|PF|的最小值为（）A4B3CD【分析】所求距离等于|PB|加上 P 到准线 x1 的距离，当 

23、P、B、F 三点共线时，距离之和最小，由点到直线的距离公式可得【解答】解：由抛物线的定义可知|PF|等于 P 到准线 x1 的距离，故|PB|+|PF|等于|PB|加上 P 到准线 x1 的距离，可知当 P、B、F 三点共线时，距离之和最小，最小距离为 3（1）4故选：A【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题10（5 分）经过点 P（1，1）作直线 l 交椭圆于 M，N 两点，且

24、60;P 为 MN 的中点，则直线的斜率为（）ABCD【分析】设出 M、N 的坐标，利用平方差法以及线段的中点坐标，转化求解直线的斜率即可【解答】解：设 M（x1，y1），N（x2，y2），则，由可得，经过点 P（1，1）作直线 l 交椭圆yp2，则于 M，N 两点，且 P 为 MN 的中点，xp2，第9页（共22页）故选：A【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，平方差法的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题11（5 分）

25、如图，在ABC 中，B45°，AC8，D 是 BC 边上一点，DC5，DA7，则 AB 的长为（）A4B4C8D4【分析】先根据余弦定理求出C 度数，最后根据正弦定理可得答案【解答】解：在ADC 中，AD7，AC8，DC5，由余弦定理得 cosC           ，因为是三角形内角，C60°，在ABC 中，AC8，B45°，C60°，由正弦定理

26、     得：AB        4  12 5 分）如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，ABAD3，AA14，P 是侧面 BCC1B1故选：D【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理属基础题（内的动点，且 APBD1，记 AP 与平面 BCC1B1 所成的角为 ，

27、则 tan 的最大值为（）ABC2D【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出 tan 的最大值第10页（共22页）【解答】解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 P（a，3，c），（0a3，0c4），

28、则 A（3，0，0），B（3，3，0），D1（0，0，4），（a3，3，c），（3，3，4），平面 BCC1B1 的法向量 （0，1，0），APBD1，（a3，3，3（a3）9+4c0，解得 c），AP 与平面 BCC1B1 所成的角为 ，sin，当 a时，sin 取最大值为此时 cos，tan 的最大值为：故选：B【点评】本题考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题二、填空题（每题 5

29、0;分，满分 40 分，将答案填在答题纸上）13（5 分）在ABC 中，如果（a+c）（ac）b（bc），则角 A 等于【分析】直接展开表达式，利用余弦定理直接求出 A 的余弦值，即可求出 A 的值【解答】解：因为在ABC 中，若（a+c）（ac）b（bc），所以 a2c2b2bc，即 a2c2+b2bc，符合余弦定理，cosA ，第11页（共22页）A 是三角形的内角，所以 A故答案为：【点评】本题考查余弦定理的应用，考查计算能力14

30、（5 分）已知 x0，则的最大值是3【分析】由 x0，知x0，然后由（x）+      利用基本不等式求出最大值【解答】解：x0，x0，（x）+23，当且仅当x，即 x 时取等号，的最大值为3故答案为：3【点评】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属基础题15（5 分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中给出了圆的另一种定义：平面内到两个定点 A，B 距离之比是常数 （0，1）的点 P 的轨迹是圆若

31、两定点A，B 的距离为 3，动点 P 满足|PA|2|PB|，则点 P 的轨迹围成的区域的面积为4【分析】本题考查函数转换思想，利用距离公式可以化简得到 P 点的轨迹方程，进而得到所求结果【解答】解：根据本题圆的定义知平面内到两个定点 A，B 距离之比是常数 （0，1）的点 P 的轨迹是圆又动点 P 满足|PA|2|PB|，A，B 的距离为 3，所以，P 点的轨迹为圆设 A（），B（），P（x，y）|PA|

32、，化简得，r2，Sr24第12页（共22页）故答案为 4【点评】本题考查新概念题，属于基础题16（5 分）如图，在平行六面体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中，AB 1，AD 2，AA 13，BAD90°，BAA 1DAA 160°，则 AC 1【分析】 推导出，从而      +2+2，由此能求出 AC 1【解答】解：在

33、平行六面体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中，AB 1，AD 2，AA 13，BAD 90°，BAA 1DAA 160°，+2+21+4+9+2 ×1×3× +2×23，AC 1第13页（共22页）【点评】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题17（5 分）抛物线 x22py（p0）的

34、焦点为 F，其准线与双曲线1 相交于 A，B两点，若ABF 为等边三角形，则 p6【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出 p 即可【解答】解：抛物线的焦点坐标为（0， ），准线方程为：y ，准线方程与双曲线联立可得：，解得 x±，因为ABF 为等边三角形，所以，即 p23x2，即，解得 p6故答案为：6【点评】本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能

35、力18 5 分）已知数列an满足：a11，an+1an+2若（，则 n 的最大值为1009【分析】首先利用数列的关系式求出通项，进一步利用裂项相消法求出数列的和，进一步求出 n 的最大值【解答】解：数列an满足：a11，an+1an+2则：an+1an2（常数），故：数列an是以 1 为首项，2 为公差的等差数列则：an2n1，所以：则：，第14页（共22页），当 n1009 时，不等式成立故答案为：1009【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中

36、的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型19（5 分）如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形 ABCD 的四个内角，若 A +C 180°，AB 6，BC 4，CD 5，AD 5，则四边形 ABCD 面积是【分析】连结 BD ，根据余弦定理列出方程解出 cosA （或 cosC ），进而给出 sinA ，sinC ，代入面

37、积公式即可【解答】解：连结 BD ，在ABD 中，BD 2AB 2+AD 22AB AD cosA 6160cosA ，在BCD 中，BD 2BC 2+CD 22BC CD cosC 4140cosC 6160cosA 4140cosC ，A +C 180°，cosA cosC cosA  sinA sinC 

38、;四边形 ABCD 的面积 SSABD  BCD  AB ×AD ×sinA +BC ×CD ×sinC6×5×故答案为：10+ ×4×5×    10第15页（共22页）【点评】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题20（5 分）已知 F1，F2 分别为双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，过

39、60;F2 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点 P，若|PF1|3|PF2|，则双曲线的离心率为【分析】设过 F2 与双曲线的一条渐近线 y x 平行的直线交双曲线于点 P，运用双曲线的定义和条件可得 |PF1|3a，|PF2|a，|F1F2|2c，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值【解答】解：设过 F2 与双曲线的一条渐近线 y x 平行的直线交双曲线于点 P，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a，由|P

40、F1|3|PF2|，可得|PF1|3a，|PF2|a，|F1F2|2c，由 tanF1F2P 可得 cosF1F2P ，在三角形 PF1F2 中，由余弦定理可得：|PF1|2|PF2|2+|F1F2|22|PF2|F1F2|cosF1F2P，即有 9a2a2+4c22a2c ，化简可得，c23a2，则双曲线的离心率 e 故答案为：【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和定义法，以及余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题三、解答题：共 50 分.

41、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21（10 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知（2ca）cosBbcosA第16页（共22页）0（1）求角 B 的值；（2）若 a4，求ABC 的面积（【分析】 1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合sinC0，可求，结22 10 分）在各项均不相等的等差数列an中，a11，且成 a1，a2，a5 等比数列，数列bn合范围 B（0，），可求 B 的值（

42、2）由已知利用余弦定理可求 c24c120，解得 c 的值，根据三角形的面积公式即可求解【解答】解：（1）由正弦定理可得：（2sinCsinA）cosBsinBcosA0，2sinCcosB（sinAcosB+cosAsinB）0，2sinCcosBsinC0，sinC0，B（0，），（2）b2a2+c22accosB，2816+c24，即 c24c120，c0，c6，【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题（的前 n 项和 Sn2n+1

43、2（1）求数列an、bn的通项公式；（2）设，求数列cn的前 n 项和 Tn（【分析】 1）设数列an的公差为 d（d0），运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式 an；运用数列的递推式，计算可得所求 bn；第17页（共22页）1（2）求得 cn2an+log2bn22n+n，运用数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和【解答】解：（1）设数列an的公差为 d，则 a2a1+d，a5a1+4d，a1，a2，a5 成

44、等比例，即，整理得 d22a1d，解得 d0（舍去）或 d2a12，ana1+（n1）d2n1，当 n2 时，当 n1 时，b12 满足上式，所以数列bn的通项公式为（2）由（1）得，【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，以及方程思想和运算能力，属于中档题23（10 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，底面 ABCD 是正方形 PDAB2，E 为 PC&#

45、160;中点（1）求证：DE平面 PCB；（2）求二面角 EBDP 的余弦值（【分析】 1）只需证明 BCDE，DEPC 即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量公式得解【解答】解（1）证明：PD平面 ABCD，第18页（共22页）PDBC，又正方形 ABCD 中，CDBC，PDCDD，BC平面 PCD，又DE平面 PCD，BCDE，PDCD，E 是 PC 的中点，DEPC，PCBCC，DE平面 PCB（2）以点 

46、;D 为坐标原点，分别以直线 DA，DC，DP 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知：，设平面 BDE 的法向量为，则，令 z1，得到 y1，x1，又，且 AC平面 PDB，平面 PDB 的一个法向量为，设二面角 EBDP 的平面角为 ，则，二面角 EBDP 的余弦值为【点评】本题考查线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的余弦值，考查运算能力第19页（共22页）及逻

47、辑推理能力，属于中档题24（10 分）已知 f（x）ax2+（1a）x1，g（x）a（1x）2，aR （1）解关于 x 的不等式 f（x）0；（2）若 f（x）g（x）对任意的 x1，1恒成立，求实数 a 的范围（【分析】 1）结合已知不等式，对 a 要进行是否为 0 的讨论，分别结合一次与二次不等式的求解即可，（2）由 f（x）g（x）得（x+1）a（x1）+10 对任意的 x1，1恒成立，故只需 a（x1）+10 对任意的 x1，1恒成立，结合恒成立与最值求解的相互转化可求【解答】解（1）当 a0 时，原不等式可化为 x10，不等式的解集为x|x1（2）a0 时，方程 ax2+（1a）x10 的解为当 a