期末考试复习题

1、例例4 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f (x,y),求求Z=X+Y的密度的密度 解解: Z=X+Y的分布函数是的分布函数是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)Ddxdyyxf),(这里积分区域这里积分区域D=(x, y): x+y z是直线是直线x+y =z 左下方的半平面左下方的半平面.（一）、连续型分布的情形一、随机变量和一、随机变量和的分布：的分布：Z = X + YZ = X + Y 化成累次积分化成累次积分,得得zyxZdxdyyxfzF),()( yzZdydxyxfzF),()( yzdxdyyxf),(dyyyzfzFzfZZ),()()(由由X和和Y的对称性

2、的对称性, fZ (z)又可写成又可写成 dxxzxfzFzfZZ),()()(以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式. 特别，当特别，当X和和Y独立，设独立，设(X,Y)关于关于X,Y的边缘密的边缘密度分别为度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为则上述两式化为: dyyfyzfzfYXZ)()()(这两个公式称为这两个公式称为卷积公式卷积公式 .dxxzfxfzfYXZ)()()(（二）、离散型分布的情形例例1 若若X、Y独立，独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, , 求求Z

3、=X+Y的概率函数的概率函数.解解: )()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0br+a1br-1+arb0 riirYiXP0),(由独立性由独立性此即离散此即离散卷积公式卷积公式r=0,1,2, 离散卷积计算举例 定义：设序列x(n),h(n),它们的卷积和y(n)定义为 运算：翻褶、移位、相乘、相加 mmnhmxnhnxny)()()()()(mmnhmxnhnxnynnnhnnnnx)()()()()(, 020, 1)(, 031,21)(则其他其他01231/213/2nx(n)012n1h(n)01231/213/2mx(m)在亚变量坐标m上作出x(m),h(m)0

4、12m1h(m)h(-m)1.翻褶翻褶：h(-m)2.移位移位：h(0-m)3.相乘相乘：1乘乘04.相加相加：y(0)=0+0+ +0 =02.移位移位：h(1-m)3.相乘相乘：1乘乘0；1乘乘1/24.相加相加：y(1)=0+1/2 =1/2h(1-m)h(2-m)2.移位移位：h(2-m)3.相乘相乘：1乘乘0；1乘乘1/2; 1乘乘14.相加相加：y(1)=0+1/2+1 =3/20m-2-1123mmnhmxnhnxny)()()()()(01231/213/2mx(m)23123)5(251012311021)4(312311121) 3(2311121)2(21121) 1 (

5、0)0(yyyyyy-1 0 1234 5y(n)n1/23/235/23/2Matlab离散信号的卷积 我们试举一例来看conv的功能，已知序列f1(k)和f2(k)如下所示： f1(k)=1,(0k2) f2(k)=k,(0k3) 则调用conv( )函数求上述两序列的卷积和的MATLAB命令为： f1=ones(1,3); f2=0:3; f=conv(f1,f2) 运行结果为：f0 13 6 5 3 考题类型： 南方某海域的网箱养殖业者凭多年经验发现，甲品种一年龄鲍鱼体重满足下列的分布律：养成3头及以下的概率为0，4头概率为a4， 5头概率为a5， 6头概率为a6， 7头概率为a7，

6、8头概率为a8， 9头概率为a9， 10头概率为a10， 11头概率为a11， 12头概率为a12， 13头概率为a13， 14头概率为a14， 15头及以上的概率为0。乙品种一年龄鲍鱼体重满足下列的分布律：养成4头及以下的概率为0，5头概率为b5， 6头概率为b6， 7头概率为b7， 8头概率为b8， 9头概率为b9， 10头概率为b10， 11头概率为b11， 12头概率为b12， 13头概率为b13， 14头及以上的概率为0。试问：（1）甲、乙品种各一只鲍鱼体重之和的分布律； （2）随机称取甲、乙品种各一斤鲍鱼，总计恰好有20只的概率。二、周期信号的频谱计算二、周期信号的频谱计算 因为周

7、期信号不满足序列傅里叶变换绝对可和的条件，即不满足：|( )|f t dt 因此，周期信号不能直接不能直接进行傅里叶变换。 问题：是不是周期信号就不存在傅里叶变换呢？ 回答：存在，但不能直接进行傅里叶变换。（一）、正、余弦函数的傅里叶变换 在学习周期信号的傅里叶变换之前，先看个几个重要函数的傅里叶变换。0cos()?Ft0sin()?Ft000000000000000012( )( )( ()2()2()cos() ()()2sin() ()()2jtjtjtjtjtjtjtFF ef tf jF eF eeeFtFeeFtFjj 解:单位直流信号的傅立叶变换根据频移性质有：根据欧拉公式()F

8、 j()X j0000余弦信号的频谱图正弦信号的频谱图一般步骤：1、 将周期信号展开成傅里叶级数的叠加；2、对展开的傅里叶级数进行傅里叶变换；3、根据傅里叶变换的线性性质，周期信号 的傅里叶变换就是其傅里叶级数的傅里 叶变换的叠加。（二）、常见周期信号的傅里叶变换0T1T2T2( )cos()2( )1( )012nnnjn tnnTjn tTnAftAn tftF eFft edtnT 周期信号的傅里叶级数展开 三角形式： 指数形式： ， ， ，. 请问：我们到底该展开成哪种形式？1、周期信号的傅里叶级数展开2()jntjntjntnnnnnnnnFF eF FeFF eFn 2、傅里叶级数

9、的傅里叶变换 根据傅里叶变换的线性性质，周期信号傅里叶级数（指数形式）的傅里叶变换：3、周期信号的傅里叶变换 根据傅里叶变换的线性性质，周期信号的傅 里叶变换就是其傅里叶级数的傅里叶变换的 叠加。T( )2()jn tnnnnF ftFF eFn 所以：最后的结论 周期信号的傅里叶变换由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各次谐波 处，其强度为对应幅度 的 倍。 nF2n 22n22224.6-1111F( )2|sin()sin()2220, 1,2,2TTjn tjn tTTjn tf t edtedtTTeTjnnnnnTnTT例周期性矩形脉冲信号p (t),其周期为T，脉冲宽度

10、为 ，幅度为 ，试求其频谱函数。2()sin()22()22T2sin()2()nnnnFFnnnnTnFnn TTp (t)又p (t) 二、 周期矩形脉冲的频谱对称的周期性矩形脉冲12 2 0TT T2 tPTt小结2 ,2sin()2nnn 周期矩形脉冲信号的傅立叶变换由位于 =0,等处的冲激函数组成，其在处的强度为。 由上面的结论，可以得到周期信号的频谱密度是离散的。比较周期信号傅立叶系数和傅立叶变换 对周期信号进行傅立叶级数展开得到的傅立叶系数。 对周期信号进行傅立叶变换得到是频谱密度函数 频谱图上看两者相似，但表达的含义不同*4、傅里叶系数与傅里叶变换的一般联系 周期信号有傅里叶级

11、数展开和傅里叶变换两种形式。 我们看看这两种方式到底有什么关系? 卷积存在下面的一个公式：T0T0T( )( )*( )( )( )ftf ttf tft其中为截取周期信号的第一个周期后得到的信号。T0T0T0T0( )( )*( )( )( )()()( )()()nnF ftf ttF f tFtFjnF ftFjnn 时域卷积定理冲激函数的取样根据 根据 性质00TT000( )2()( )()12()()()2T()|T:1(nnnnnnnF ftFnF ftFjnnFFjnFFjnFjnFFj 比较上面的两个式子，得到：或者01()|TnnFFj 周期信号的傅里叶系数等于其在第一个周

12、期的信号的傅里叶变换 在频率为 处的值乘以 。n1T0()Fj结 论考题类型： 不对称的周期性矩形脉冲信号 其周期为T，脉冲的宽度为 ，幅度值为E。 试求：（1）将其以傅立叶级数的复数形式表示；（2）计算其中三个复数系数C0，C-1，C+1；（3）求其频谱函数； tTP第33页 课本图示的 串联电路, 若外加电动势为正弦交流电压 ,求开关闭合后, 回路中电流 及电容器两端电压 。 e esinmtUt i t CutRC e eRCuut 根据irchhoff定律，有 ,.CRuuRi ti tCt d dd d其中第34页 sinCCmuRCutUtt d de ed d 00Cutt CC

13、RCsUsUse t L得对方程的两边取Laplace变换,得设 ,CCutUs L 且 sincoscossinme tUtt LL第35页 22cossinmUss 22cossinmCCURCsUsUsss 得2222cossinmmUU sss cossin.1mCUsUsRC sssRC jjjj1231,.sssRC j jj j CUs的一阶极点即第36页 1cossin11tmRCCURCutRCRCRC e ejjjj.,.得 cossincossin1122ttRCRC j jj jj jj je ee ej jj jj jj j化简得 2222221cossin11tmR

14、CCURCutCRRCC e e第37页, 2222ttmURCRCRC jjjjeeeejjjj22222222211cossin111tmRCURCCRRRCCC e e 22222222211cossin111mURCttCRRRCCC 第38页1,zRC j j2221,zRC ,mmUIz ., coscossinsintmRCCIutC e e coscossinsinmIttC coscostmmRCIItCC e e令则第39页 Cuti tCt d dd d 1costmRCIi tCCRC e e sinmItC cossintmRCmIItR C e e因为过渡电流，所以

15、考题类型： 课本图示的RC串联电路，电阻大小为R（），电容大小为C（F），外加电动势为余弦交流电压 （V）。 试求：（1）开关t=0闭合，回路中电流 ； （2）开关t=0闭合，电容器两端电压 ；（3）t=3秒时，回路中电流值，电容器电压； 0.25100cos2202tte ti tu第41页 22222000000lim,0 xuuaxttxuutt tutu x tx ，=0=0利用Laplace变换求解定解问题:二、偏微分的Laplace变换解法第42页对方程的两边关于t取Laplace变换,设 ,.u x tU x st s LL得 2222,0,0uus U x ssu xs U x

16、 stt t L d de ed de ed d2222222200,ststuutu x ttU x sxxxdx L第43页 0,0,utUs s L lim,0 xU x s 问题转化为求解常微分方程的边值问题: 2222,00, lim,0 xsU x sU x sxaUs sU x s d dd d第44页 12,ssxxaaU x scc e ee e 12,0csc 得方程的通解为:代入边界条件得得 ,sxaUx s s e e第45页 -1,u x tU x s L e e-1sxa s L0,xtaxxttaa 对上式取Laplace逆变换, 得求如图所示的单个半正弦波 的Laplace变换. f tEOt2T f t 1ft 2ftEOtOtE2T2TTT 由前图可知由前图可知, , 所以所以 12f tftft12