经典截长补短法巧解

1、截长补短法截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。截长补短法有多种方法。截长法：（ 1）过某一点作长边的垂线（ 2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。补短法（ 1）延长短边。（ 2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。例：CFDEHPGBA在 正 方 形 ABCD 中 ， DE=DF，DG CE，交 CA于 G，GH AF，交AD于 P，交 CE延长线于 H，请问三条粗线 DG，GH，CH的数量关系方法一（好想不好证）CFDEHPGBA方法二（好证不好想）CFDEHPGBMA例题不详解。（第 2 页题目答案见第3、 4 页）ABFD

2、CE（ 1）正方形 ABCD中，点 E 在 CD上，点 F 在 BC上， EAF=45o 。求证： EF=DE+BF请问现在 EF、DE、BF 又有什么数量关系？（1）变形 cAFEBj CD（ 1）变形 a正三角形 ABC中， E 在 AB上， F 在 ACAB上o。DB=DC，oEDF=45BDC=120。请问现在 EF、BE、CF又有什么数量关系？E DC（1）变形 dFAB正方形 ABCD中，点 E 在 CD延长线上，FEAF=45o 。点 F 在 BC延长线上，DC请问现在 EF、DE、BF又有什么数量关系？E正方形 ABCD中，点 E 在 CD上，点 F在BC 上，o，o。（ 1）

3、变形 bEAD=15FAB=30FAD= 3AB求AEF的面积DCE（1）解：（简单思路）正方形 ABCD中，点 E 在 DC延长线上，点 F 在 CB延长线上，EAF=45o 。AB由四边形 ABCD是正方形得oADE= ABG=90FGDCEAD=AB又 DE=BG所以ADEABG（ SAS）EAD= GAB延长 CD到点 G，使得 DG=BF，连接 AG。AE=AG由四边形 ABCD是正方形得由四边形 ABCD是正方形得ooDAG+ GABADG= ABF=90DAB=90 =AD=AB= DAG+ EAD= GAE又 DG=BF所以 GAF= GAE- EAF所以 ADG ABF（ S

4、AS）=90o -45 o =45oGAD= FABAG=AFGAF= EAF=45o由四边形 ABCD是正方形得又 AG=AEoDAB=90 = DAF+ FABAF=AF= DAF+ GAD= GAF所以 EAFGAF（ SAS）所以 GAE= GAF- EAFEF=GF=BF-BG=BF-DE=90o -45 o =45oGAE= FAE=45o变形 b 解：（简单思路）又 AG=AFFAE=AEAB所以 EAG EAF（ SAS）EF=GE=GD+DE=BF+DE变形 a 解：（简单思路）DCEGABEF=DE-BFG在 DC上截取 DG，使得 DG=BF，连接 AG。由四边形 ABC

5、D是正方形得E DCADG= ABF=90oAD=AB又 DG=BFF所以 ADGABF（ SAS）GAD= FABEF= BF-DEAG=AF在 BC上截取 BG，使得 BG=DF，连接 AG。由四边形 ABCD是正方形得o= DAG+ GABDAB=90= BAF+ GAB= GAF 所以 GAE= GAF- EAF=90o -45 o =45oGAE= FAE=45o又 AG=AF AE=AE所以 EAG EAF（ SAS） EF=EG=ED-GD=DE-BF变形 c 解：（简单思路）AFEBCGDEDB= GDCDE=DGo又DBC=120 =EDB+ EDC= GDC+ EDC= E

6、DG 所以 GDF= EDG- EDF=120o -60 o =60 ooGDF= EDF=60又 DG=DE DF=DF所以GDFEDF（ SAS）EF=GF=CG+FC=BE+FC变形 d 解：（简单思路）EF=BE+FC延长 AC到点 G，使得 CG=BE，连接 DG。由 ABC是正三角形得oABC= ACB=60o又 DB=DC，BDC=120o所以DBC= DCB=30oooDBE= ABC+ DBC=60 +30 =90oooACD= ACB+ DCB=60 +30 =90所以ooGCD=180 -ACD=90oDBE= DCG=90又 DB=DC， BE=CG所以DBEDCG（

7、SAS）延长 CD到点 G，使得 DG=BF，连接 AG。过 E 作 EHAG.前面如（ 1）所证，ADG ABF， EAG EAF GAD= FAB=30o ， S EAG=S EAFo在 RtADG中，GAD=30， AD=3oAGD=60， AG=2设 EH=x在 RtEGH中和 RtEHA中ooAGD=60，HAE=45HG= 3x，AH=x33AG=2=HG+AH=x+x,EH=x=3- 33SEAF=S EAG=EHAG 2=3- 3.（第 5 页题目答案见第6 页）ABOEDC（ 2）正方形 ABCD中，对角线 AC与 BD交于O，点 E 在 BD上， AE平分 DAC。求证：

8、AC/2=AD-EO（2）加强版NABFEDCM正方形 ABCD中， M在 CD上， N 在 DA 延长线上， CM=AN，点 E 在 BD上， NE 平分 DNM。请问 MN、 AD、EF有什么数量关系？（ 2）解：（简单思路）ABG OEDC过E作EG AD于G因为四边形 ABCD是正方形oADC=90 ，BD平分ADC， AC BD所以ADB= ADC/2=45o因为 AE平分 DAC，EO AC，EG AD 所以 EAO= EAG，oDGE= AOE= AGE=90 又 AE=AE，所以AEOAEG（ AAS）所以 AG=AO，EO=EG又ooADB=45， DGE=90所以DGE为等

9、腰直角三角形DG=EG=EOAD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2（ 2）加强版解：（简单思路）NQABPGFEDMC过 E 作 EG AD于 G，作 EQ AB于 Q，过B做BP MN于P按照（ 2）的解法，可求证，GNEFNE（AAS）DGE为等腰直角三角形AG=AD-DG=AD-，EF因为四边形 ABCD为正方形，oABC= GAQ= BCM=90BD平分ABC，BC=BAo，又oABD= ABC/2=45EQB=90EQB为等腰 Rt 三角形，oBEQ=45o因为GAQ= EGA= EQA=90所以四边形 AGEQ为矩形，EQ=AG=AD-EF，EQ/AGQEN= ENG又ENG= ENF，所以QEN= ENFo由 BC=BA，BCM= BAN=90 ，CM=AN，所以BCMBAN（ SAS）BM=BN，CBM= ABNo= ABM+ CBMABC=90= ABM+ ABN= MBN，又 BM=BN所以 MBN为等腰 Rt 三角形，又 BP 斜边 MN于 P，所以 NPB为等腰 Rt 三角形。BP=MN/2，PNB=45o 。B