（广西专用）版高中数学13.1数学归纳法及其应用课时

1、【全程复习方略】广西专用版高中数学 13.1数学归纳法及其应用课时提能训练 理 新人教a版(45分钟 100分)一、选择题(每题6分，共36分)1.(·玉林模拟)在用数学归纳法证明1<n(nn，n>1)，第一步即证哪个不等式成立()(a)1<2(b)1<2(c)1<2 (d)1<22.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除的第二步是()(a)假使n2k1时正确，再推n2k3正确(kn*)(b)假使n2k1时正确，再推n2k1正确(kn*)(c)假使nk时正确，再推nk1正确(kn*)(d)假使nk(k1)时正确，再推nk2时正确(k

2、n*)3.(·梧州模拟* 4.用数学归纳法证明等式135(2n1)n2(nn*)的过程中，第二步假设nk时等式成立，那么当nk1时应得到()(a)135(2k1)k2(b)135(2k1)(k1)2(c)135(2k1)(k2)2(d)135(2k1)(k3)25.(·桂林模拟)12×33×324×33n×3n13n(nab)c对一切nn*都成立，那么a、b、c的值分别为()(a)a，bc(b)abc(c)a0，bc (d)不存在这样的a、b、c6.以下代数式(其中kn*)能被9整除的是()(a)66·7k (b)27k1(

3、c)2(27k1) (d)3(27k)二、填空题(每题6分，共18分)7.观察下式：112；23432；3456752；4567891072，那么第n个等式为：.8.如图，第n个图形是由正n2边形“扩展而来(n1,2,3，)，那么第n(nn*)个图形中共有个顶点.9.(·贺州模拟)给出下面三个式子f(n)1kk2kn(nn*)，当n1时，f(n)1；f(n)1(nn*)，当n1时，f(n)1；f(n)(nn*)，那么f(k1)f(k).其中正确的选项是(填上序号)三、解答题(每题15分，共30分)10.(易错题)用数学归纳法证明：当n1，且nn*时，.11.数列an满足an0，sn(

4、an)，(1)求s1，s2，(2)猜想sn，并用数学归纳法证明.【探究创新】(16分)等比数列an的前n项和为sn，对任意的nn*，点(n，sn)均在函数ybxr(b>0且b1，b，r均为常数)的图象上.(1)求r的值.(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nn*)，证明：对任意的nn*，不等式···>成立.答案解析1.【解题指南】数学归纳法中第一步是验证最初的n值，根据题目确定最初的n值为n02.【解析】选c.在不等式1<n(nn，n>1)中，最初的n值为n02.第一步要证不等式即1<2.2.【解析】选b.因为n为正奇数，根据

5、数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第n个正奇数也成立，此题即假设n2k1正确，再推第n1个正奇数，即n2k1正确.3.【解析】题也一定不成立.4.【解析】选b.nk1时，等式左边135(2k1)(2k1)k2(2k1)(k1)2.5.【解题指南】将n1,2,3代入到12×33×324×33n×3n13n(nab)c中列出关于a、b、c的三元一次方程组求解.【解析】选a.等式对一切nn*均成立，n1,2,3时等式成立，即，整理得解得a，bc.6.【解题指南】解决此题可以将k1，k2， 代入进行筛选，也可以根据数学归纳法进行证明得出结论.【解析】选d.当k

6、1时，显然只有3(27k)能被9整除，n)能被9整除，那么3(27n1)21(27n7.【解析】各等式的左边是第n个自然数到第3n2个连续自然数的和，右边是奇数的平方，故得出结论：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.答案：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)28.【解析】当n1时，顶点共有123×4(个)，n2时，顶点共有204×5(个)，n3时，顶点共有305×6(个)，n4时，顶点共有426×7(个)，故第n个图形共有顶点(n2)(n3)个.答案：(n2)(n3)9.【解析】中n1时，f(n)f(1)1k不一定等于1，故不正确；中n1时，f(

7、1)1，故正确；中f(k1)f(k)，故不正确.答案：10.【证明】当n2时，左边，不等式成立.假设nk(k2，kn*)时，不等式成立，即.当nk1时，()()().即nk1时，不等式成立.由、可知，原不等式对任意n1且nn*都成立.【变式备选】用数学归纳法证明：1(nn*).【证明】当n1时，左边1，右边1，左边右边，所以等式成立.假设当nk(kn*)时等式成立.即1，当nk1时，1(k)·即当nk1时，等式成立，根据和可知，等式对任何nn*都成立.11.【解析】(1)an0，sn0，由s1(a1)，变形整理得s121，取正根得s11.由s2(a2)及a2s2s1s21得s2(s2

8、1)，变形整理得s222，取正根得s2.(2)同理可求得s3.由此猜想sn.用数学归纳法证明如下：当n1时，上面已求出s11，结论成立.假设当nk(kn*)时，结论成立，即sk.那么，当nk1时，sk1(ak1)(sk1sk)(sk1)整理得sk12k1，取正根得sk1.故当nk1时，结论成立.由、可知，对一切nn*，sn成立.【变式备选】设数列an的前n项和为sn，且方程x2anxan0有一根为sn1，n1,2,3，.(1)求a1，a2；(2)求an的通项公式.【解析】(1)当n1时，x2a1xa10有一根为s11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1.当n2时，有一根为s2

9、1a2，于是(a2)2a2(a2)a20，解得a2.(2)由题设(sn1)2an(sn1)an0，即sn22sn1ansn0.当n2时，ansnsn1，代入上式得sn1sn2sn10.由(1)知s1a1，s2a1a2，由可得s3.由此猜想sn，n1,2,3，.下面用数学归纳法证明这个结论.()n1时结论成立.()假设nk(kn*)时结论成立，即sk，当nk1时，由得sk1，即sk1，故nk1时结论也成立.综上，由()、()可知sn对所有正整数n都成立.于是当n2时，ansnsn1，又n1时，a1，所以an的通项公式为an，n1,2,3，.【探究创新】【解题指南】利用sn与an之间的关系求出an

10、，然后利用数学归纳法进行证明.【解析】(1)因为对任意的nn*，点(n，sn)均在函数ybxr(b>0且bnbnr，当n1时，a1s1br，当n2时，ansnsn1bnr(bn1r)bnbn1(b1)bn1又因为an为等比数列，公比为b，an(b1)bn1，所以r1.(2)当b2时，an(b1)bn12n1，bn2(log2an1)2(log22n11)2n，那么，所以 ·······下面用数学归纳法证明不等式·······>成立.当n1时，左边，右边，因为>，所以不等式成立.假设当nk(kn*)时不