11.4第一类曲面积分

1、一、概念的引入一、概念的引入二、对面积的曲面积分的定义二、对面积的曲面积分的定义三、计算法三、计算法四、小结四、小结一、对面积的曲面积分的概念和性质一、对面积的曲面积分的概念和性质 前面已经介绍了两类曲线积分，对第一类曲前面已经介绍了两类曲线积分，对第一类曲线积分线积分 niiiiLsdsyx10),(lim),( 其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和式式 niiiiiS10),(li

2、m 抽象概括得到对面积的曲面积分的概念抽象概括得到对面积的曲面积分的概念实例实例 所谓曲面光滑即曲面上所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面各点处都有切平面, ,且当点在且当点在曲面上连续移动时曲面上连续移动时, ,切平面也切平面也连续转动连续转动. .1、概念的引入、概念的引入1、概念的引入、概念的引入实例实例分割分割取近似取近似求和求和1( ,).niiiiiMS 取极限取极限01lim( ,).niiiiiMS ),(iii iS iiiiiSM ),( 2.2.对面积的曲面积分的对面积的曲面积分的定义定义积分曲面积分曲面SzyxMd),(据此定义据此定义, , 曲面形构件的质量为曲面形构

3、件的质量为( , , )f x y z dS即即 dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 被积函数被积函数3.3.对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质12(3) ,若 可分为分片光滑的曲面及则(1) ( , , ) ( , , ) ;kf x y z dSkf x y z dS(2) ( , , )( , , ) f x y zg x y zdS( , , ) ( , , ) ;f x y z dSg x y z dS12( , , ) ( , , ) ( , , ) .f x y z dSf x y z dSg x y z dS( , , ),( , , )f x y

4、zf x y z dS(4)若连续 则存在.设曲面的方程为：设曲面的方程为：( , )zf x y,xoyD曲面在面上的投影区域为,dsxoyd在上任取曲面微元将其向面投影得投影小区域为，( , ),( , ,( , ),x yddsM x y f x y任取一点对应地在内有一点( , ,( , ),M x y f x y设T为上过的切平面.dzTdAdsdA以边界为准线，母线平行于轴的小柱面，在切平面 截下小片平面，则有d),(yxMdAxyzTods三、三、对面积的对面积的曲面积分的计算曲面积分的计算-化为二重积分化为二重积分,ddAxoy为在面上的投影cos ,ddA221cos,1xy

5、ff221xydAff d( , , )( , )F x y zzf x y而，,1xynff ( , , ) , , ( , )xyDf x y z dSf x y z x y d，22( , , ) , , ( , ) 1xyxyDf x y z dSf x y z x yff dddA( , , )f x y z ds概括求的步骤：1( , )zz x y).观察积分域方程的形式,转化为2:( , )xyzz x yxoy).将在上投影得到D ,221( , )xydszz dxdyzz x y将与代入( , , )f x y z ds 中,得到二重积分22 , , ( , ) 1xyx

6、yDf x y z x yzz dxdy ( , , )( , , ( , );:( , )f x y zf x y z x yzz x y221( , )( , ) ;xydSzx yzx y dxdy .xyxoyD将曲面向面投影，得;1),(, ),(22dxdyzzyxzyxfdSzyxfxyDyx 1.:( , );zz x y若曲面则则三代：三代：二换：二换：一投：一投：按照曲面的不同情况分别按照曲面的不同情况分别化为二重积分的计算公式化为二重积分的计算公式;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),();),(,( ),(),(:zzxyxfzyxfzxy

7、y 221( , )( , ) ;xzdSy x zy x z dxdz .xzxozD将曲面向面投影，得则则三代：三代：二换：二换：一投：一投：2.( , )yy x z若曲面 ：.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),(. 3zyxx ：若曲面若曲面则则三代：三代：);,),( ),(),(:zyzyxfzyxfzyxx 二换：二换：221( , )( , ) ;yzdSxy zxy z dydz一投：一投： .yzyozD将曲面向面投影，得注：注：（1）这里积分曲面的方程必须是）这里积分曲面的方程必须是单值显函数单值显函数，否则，否则可利用可加性，分块计

8、算，结果相加；可利用可加性，分块计算，结果相加；（2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程即方程的表达形式；即方程的表达形式；（3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是把）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是把被积函数化为二元函数；被积函数化为二元函数；（4）切记任何时候都要换面积元。）切记任何时候都要换面积元。简述为：简述为：一代、二换、三投影一代、二换、三投影代：将曲面的方程代入被积函数；代：将曲面的方程代入被积函数；换：换面积元换：换面积元 ;dS投影：将曲面投影到坐标面得投影区域。投影：将曲面投影到坐标面得投影区域。221( , )(

9、, )xyxyDAdsfx yfx y dxdy即即特别特别， dS 的面积. ( , , )1 f x y z 当时，221d dxzzxDAyyzx2.2.若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为 ( , ), ( , ),zxyy z xz xD3.3.若光滑曲面方程为隐式若光滑曲面方程为隐式,0),(zyxF则则则有则有yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,A yxDzzyxFFFF222,0zF且且yxdd1.1.若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为221ddyzyzDAxxyz( , ), ( , ),yzxx y zy zD则有则有同理，曲面投影到其它坐标平面也有如下类似的结论。同理，曲

10、面投影到其它坐标平面也有如下类似的结论。例例1 1解解dxdyzzdSyx221 dxdy2) 1(01 ,2dxdy dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 z h(0ha)截出的顶部截出的顶部 解 的方程为 z222yxa在 xOy 面上的投影区域Dxy 为圆形闭区域：为圆形闭区域：x2 y2 a 2 h 2221yxzz 222yxaa于是于是22022)ln(212haraahaaln 2又又在 xOy 面上的投影区域221yxzz 222yxaadSz1xyDdxdyyxaa2222002222harar

11、drdaDxyhxyzOdSz1xyDdxdyyxaa222dSz1xyDdxdyyxaa222例例2 2计算曲面积分计算曲面积分 dSz1，其中，其中 是球面是球面 x2 y2 z2 a2被平面被平面例例3 计算计算 dSyx)(2222yxz 是锥面是锥面其中其中 与平面与平面 z = 1 所围成的区域的整个边界曲面所围成的区域的整个边界曲面.解解分成两部分分成两部分将将 10:221 zyxz 11:222 yxz oxyz1:2 z 1 1)(22 dSyx故故 Dyxdxdyzzyx22221)( Ddxdyyx)(222 20102222rdrrd 2)(22 dSyx DdSyx

12、)(22220102 rdrrd 21)()(2222 dSyxdSyx 221 例例3 计算计算 dSyx)(2222yxz 是锥面是锥面其中其中 与平面与平面 z = 1 所围成的区域的整个边界曲面。所围成的区域的整个边界曲面。解解分成两部分分成两部分将将 10:221 zyxz 11:222 yxz 例例4 4 d ,0,0,01xyz Sxyzxyz计算其中 是由平面及所围成的四面体的整个边界曲面.解解,10, 0, 04321 及及上的部分依次记为上的部分依次记为在平面在平面整个边界曲面整个边界曲面zyxzyx Sxyzd.dd43 SxyzSxyz于是于是 21ddSxyzSxyz

13、如图如图ozyx111,),(,321均为零均为零被积函数被积函数上上由于在由于在xyzzyxf , 0ddd321 SxyzSxyzSxyz,1,4yxz 上上在在221yxzz 从而从而 Sxyzd,4面上的投影区域面上的投影区域在在是是其中其中xOyDxy 所以所以 4dSxyz,dd)1(3yxyxxyxyD , 3)1()1(122 , 0 x即由直线即由直线.10所围成的闭区域所围成的闭区域及及 yxy因此因此 Sxyzdxyyxxxd32)1(3101032 xxxd6)1(3103 xxxxxd)33(6341032 xyyxyxx1010d)1(d3.1203 例例5 5 计

14、算计算 dSyx221是介于平面是介于平面其中其中 z = 0 与与 z = H 之间的圆柱面之间的圆柱面222Ryx 解解221: yRx令面面的的投投影影区区域域为为在在zox1 :0zxDzHRxR由对称性，由对称性，有有12222222111dSdSdSxyxyxy222121zxxzDyy dxdzR220041HRdzdxRRx RH 2 22,yRx 曲面分为左右两片。22212zxDRdxdzRRx12212dSxy另解：另解：22,dsdsxy 其中其中 为柱面为柱面222xyR被平面被平面0,zzH 所截的部分所截的部分. .xyz222211122.SSHdSdSRHxy

15、RRR例例5 5 计算计算注注对面积的曲面积分有类似与三重积分的对称性对面积的曲面积分有类似与三重积分的对称性 设设对称于对称于xoy （或（或yoz ，或，或 zox ）坐标面）坐标面若若 f（x , y , z ) 关于关于z（或（或 x ，或，或 y ）是奇函数）是奇函数 0),(dSzyxf则则若若 f（x , y , z ) 关于关于z（或（或 x ，或，或 y ）是偶函数）是偶函数 1),(2),(dSzyxfdSzyxf部部分分位位于于对对称称坐坐标标面面一一侧侧的的是是其其中中 1完全类似于三重积分的对称性完全类似于三重积分的对称性练习练习 计算积分计算积分: :(),sxyz

16、 ds 其中其中S是上半球面是上半球面22220,;xyzazxyz略解：略解：222,zaxy222,xxzaxy 222,yyzaxy 222221,xyazzaxy所以所以222221()()xysxyaxyz dsxyzzz dxdy222222222xyaaaxydxdyaxy2223.xyaadxdya例例6 6解解被被积积函函数数 ),(zyxf222zyx , 关关于于坐坐标标面面、原原点点均均对对称称 , 积积分分曲曲面面 也也具具有有对对称称性性 , 故故原原积积分分 18, (其其中中1 表表示示第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面) 1 ：azyx , 即即yxaz dxd

17、yzzdSyx221 dxdy3 dSzyx)(222 1)(8222dSzyxdxdyyxayxxyD 3)(8222.324a 例例7 7. 已知曲面壳已知曲面壳)(322yxz,22zyx求此曲面壳在平面求此曲面壳在平面 z1以上部分以上部分 的的的面密度的面密度质量质量 M . 解解: 在在 xoy 面上的投影为面上的投影为 ,2:22 yxDyx故故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(4132213例例8 求均匀曲面求均匀曲面222yxaz 的重心坐标的重心坐标解解由对称性由对称性0,0 yx dSzdSzdxdyzzdSDyx 221):(222ayxD dxdyyxaaD 222rdrraada 2002222 a dxdyyxaayxazdSD222222 Ddxdya3a 2az 故故 重心坐标为重心坐标为)2, 0 , 0(a例例9 9 )0(22220 zazyx的均匀半球壳的均匀半球壳求密度为求密度为 轴的转动惯量轴的转动惯量对于对于z解解222:ayxD dSyxIz)(220 Dyxdxdyzzyx222201)( dxdyyxaayxD 222220)( 20022201ardrrarda3440a 内容小结内容小结1. 第一类曲面积分的概念