2021年浙江省高考数学试卷(学生版+解析版)

1、2021 年浙江省高考数学试卷、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（4 分）已知非零向量？ ？?贝厂？?= ?是“？?= ?的（A .直线 A1D 与直线 D1B 垂直，直线 MN /平面 ABCD1.(4 分)设集合 A= x|x1 , B= x| 1Vxv2,则 AnB=()2.A . x|x 1B . x|x 1C.(4 分)已知 a R, (1+ai) i = 3+i (i 为虚数单位)x| 1vxv1D.x|1wxv2，则 a =()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要D.既不充分也不必要

2、条件4. （4分）某cm）,则该几何体的体积（单位:cm3)是(1v41 b正视團侧视图俯视團C.5. （ 4 分）若实数x, y 满足约束条件 0 ?0,函数 f（x）=成等比数列，则平面上点（s, t）的轨迹是（1B.y= f (x) g (x) -4?(?)D. y=?(?)sin 久 cos 3, sin3cosY,sinYCOSa三个值中，C.2D. 32ax +b (x R).若 f (s t), f (s), f (s+t)? - 4 ?鸟2_12. (4 分)已知 a R ,函数 f( x) = 若 f (f( v6) = 3，则 a =.I?- 3| + ? ? b 0),焦

3、点 F1(- c, 0), F2( c, 0) (c0).若过F1的直线和圆(x-2c)2+y2= c2相切，与椭圆的第一象限交于点P,且 PF2丄 x 轴，则该直线的斜率是_ ，椭圆的离心率是 _.17. (4 分)已知平面向量? ? ?(刃工 0)满足？?= 1 , |?= 2, ?=0, (?- ? ?= 0.记平面向量？在? ?方向上的投影分别为 x , y , ?-?在；方向上的投影为乙贝yx2+y2+z2的最小值是_.三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18. (14 分)设函数 f (x)= sinx+cosx ( xR).(I)

4、求函数 y = f (x+2?2的最小正周期；(n)求函数 y = f (x) f (x-?在0 ,了上的最大值.19. (15 分)如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，/ ABC = 120,长分别为 3, 4,记大正方形的面积为S1,小正方形的面积为AB= 1 , BC = 4, PA=V15 , M , N 分别为 BC, PC 的中点，PD 丄 DC , PM 丄 MD .(I)证明：AB 丄 PM;(H)求直线 AN 与平面 PDM 所成角的正弦值.920.(15 分)已知数列an的前 n 项和为 3 , ai=-玄，且 4&+1= 33- 9

5、 (n N*).(I)求数列an的通项公式；(n)设数列 bn满足 3bn+ (n - 4) an= 0 ( nN*),记bn的前 n 项和为 Tn.若 TnWAbn对任意 n N*恒成立，求实数入的取值范围.21.(15 分)如图，已知 F 是抛物线 y2= 2px (p 0)的焦点，M 是抛物线的准线与 x 轴的交点，且|MF|= 2.(I)求抛物线的方程：(n)设过点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点，若斜率为 2 的直线 I 与直线 MA , MB ,AB, x 轴依次交于点 P, Q, R, N,且满足|RN|2= |PN|?|QN|,求直线 l 在 x 轴上截距的取 值范围.、

6、/，22.(15 分)设 a, b 为实数，且 a 1,函数 f (x)= ax- bx+e2(xR).(I)求函数 f (x)的单调区间；(n)若对任意 b 2e2，函数 f (x)有两个不同的零点，求 a 的取值范围；(川)当 a= e 时，证明：对任意 be4,函数 f (x)有两个不同的零点 xi, x2,满足 x2?2?2x1+?(注：e= 2.71828?是自然对数的底数)2021 年浙江省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。1. ( 4 分)设集合 A= xx 1 ,

7、B= x| 1Vxv2，贝UAAB=()A.xx-1B.xx1C.x- 1vxv1D.x1 1 , B= x- 1vxv2,所以 AAB = x1 0? ? 0，则 Z= X-占 y 的最小值是(2?+ 3?- 1 0 对 x (0,44?)恒成则函数 y= f (x)&(4 分)已知a,A . y= f (x)+g (x)-1141A .VS100?!2?5?L,1则三式中大于2的个数的最大值为 2,故选：C.29. （ 4 分）已知 a, b R, ab 0,函数 f （x）= ax +b （xR）.若 f （s- t）, f （s）, f （s+t）成等比数列，则平面上点（s,

8、t）的轨迹是（）A .直线和圆C .直线和双曲线【解答】解：函数 f (x)= ax2+b,因为 f (s- t), f ( s), f (s+t)成等比数列, 则 f2(s)= f (s- t) f (s+t),即(as2+b)2= a (s- t)2+ba (s+t)2+b, 即 a2s4+2abs2+b2= a2 (s- t)2(s+t)2+ab (s- t)2+ab(s+t)2+ b2, 整理可得 a2t4- 2a2s2t2+2abt2= 0,因为 0，故 at4- 2as2t2+2bt2= 0，即 t2(at2- 2as2+2b) = 0, 所以 t = 0 或 at2- 2as2+

9、2b= 0,当 t = 0 时，点（s, t）的轨迹是直线;?=1，因为 ab0,故点（s, t）的轨迹是双曲线.2?的轨迹是直线或双曲线.故选：C.则（ ）?賀?1,B .直线和椭圆D .直线和抛物线?当at-2as+2b= 0,即右综上所述，平面上点（s, t）10. (4 分)已知数列an满足 a1= 1, an+1=备(nN*).记数列1+V?an的前 n 项和为 Sn,3.故选：A.、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。11. （4 分）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个

10、大正方形（如图所示）.若直角三角形直角边的长分别为 3, 4,记大正方形的面积为 S1,小正方形的面积为 S2,则-? = 25 .?-【解答】解：直角三角形直角边的长分别为3, 4,直角三角形斜边的长为V3+ 42= 5, 即大正方形的边长为 5 , S1= 52= 25,1则小正方形的面积 S2= S1- S阴影=25 - 4X2X3X4 = 1,?= 25.?故答案为：25.? - 4?2-12. (4 分)已知 a R ,函数 f( x) = 若 f (f( v) = 3,则 a =2|?- 3| + ? ?W2.? - 4?2【解答】解：因为函数 f (x) = -,-|?- 3|

11、+ ? ?W2所以？?简)=(V6)2- 4 = 2 ,则 f (f (V) = f (2)= |2 - 3|+a = 3,解得 a= 2.故答案为：2.?%?+1?+161 1 1W? ?oo4(?+1)2?W?=?+1?oE?W右R?3443213. (6 分)已知多项式(x- 1) + (x+1) = x+aix+a2x+a3x+a4，贝 U ai= 5 ; a2+a3+a4=10 .【解答】解：ai即为展开式中 x2 3的系数，所以 ai= ?(-1)0+ ? = 5 ；令 x = 1,则有 1+ai+a2+a3+a4=( 1 - 1)+ (1+1)= 16,所以 a2+ a3+ a4

12、= 16 5 1 = 10.故答案为：5; 10.14. (6 分)在厶 ABC 中，/ B= 60, AB= 2, M 是 BC 的中点，AM = 2，则 AC= 2v13 ;2v39cos/ MAC = _13【解答】 解：在 ABM 中：AM2=BA2+BM22BA?BMCOS60,.( 2v3)2=22+BM212X2?BM?,. BM2 2BM 8= 0,解得：BM = 4 或-2 (舍去).2点 M 是 BC 中点， MC = 4, BC = 8，在 ABC 中：AC2= 22+82 2X2X8cos60 =52,二 AC = 2 后;2 2(2 4) +(213) -42239在

13、厶 AMC 中：cos/ MAC=2X23X213132v39故答案为：213 ;-.=1=?2636 ?+?+412_= ,=0X_5+ 1X10+ 23=18 18 18故答案为：1；8.9? ?16. (6 分)已知椭圆 齐+?= 1 (a b 0),焦点 F1(- c, 0), F2( c, 0) (c 0).若过F1的直线和圆(X-2c)2+y2= C2相切，与椭圆的第一象限交于点P,且 PF2丄 x 轴，则该【解答】解：直线斜率不存在时，直线与圆不相切，不符合题意;由直线过 F1,设直线的方程为 y= k ( X+c),直线和圆(.x-2c)2+y2= c2相切,1圆心(- ? 0

14、 )到直线的距离与半径相等，2?|?-0+?|2阿-= ?解得 k=甘，? ? ?将x=c代入齐+茹=1可得P点坐标为/ ?= 1 2?2? ? =2?_C2 V5=?=5 ?字_?22 v51-?22vS2?=5, 2?=5, 9 9-5 故答案为：2需? 5517. (4 分)已知平面向量?(? 0)满足？? 1, |?- 2 , ?=0 , (?- ? ?= 0.记平面向量？在? ?方向上的投影分别为X, y, ?-?在刁方向上的投影为乙贝 y x2+y2+z22的最小值是2.5TT【解答】解：令？?= (1,0),?= (0,2),?= (?,?,因为(?- ?= 0,故(1, -2)

15、 ? ( m, n)= 0, m-2n = 0,令?= (2?, ?)?- ?在?方向上的投影分别为x, y,设？?= (? ?)则：？2?= (?- 1,?) (?- ? ?= 2?(? 1) + ? |? =v5?所以 E ( $直线的斜率是，椭圆的离心率是从而：？?=（?军）?=2?了-2,故 2?+ ? 5?= 2,|?运运则 x2+y2+z2表示空间中坐标原点到平面2?+ ?-需需?2 2=0 上的点的距离的平方,由平面直角坐标系中点到直线距离公式推广得到的空间直角坐标系中点到平面距离公式可得:5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.(14 分)设函数

16、f (x)= sinx+cosx ( xR).(I)求函数 y = f (x+?2的最小正周期；? ?(H)求函数 y=f(x)f(x-?)在0,2】上的最大值.【解答】解：函数 f (x)= sinx+cosx=辺?(?4?,(I)函数 y=f(x+?2=辺?*?2=2cos2(x+?=1+cos2 (x+? = 1+cos ( 2x+2?= 1 - sin2x, 则最小正周期为T= 2?= ?(H)函数 y=f(x)f(x-?= v2?(?)?v2?(?+4?=(v2( sinx+cosx)sinx=v2(?)+ ?)1-4444442441?迈=v2(2-+1?2?)n(2x-4?+ -

17、,因为 x0, ?，所以 2x-?-4? 3?， 所以当 2x-4?=2?即 x=善?寸，f (x)max= 1+.19.(15 分)如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，/ ABC = 120,AB= 1 , BC = 4, PA=v15 , M , N 分别为 BC, PC 的中点，PD 丄 DC , PM 丄 MD .(I)证明：AB 丄 PM;(H)求直线 AN 与平面 PDM 所成角的正弦值.(? + ? + ?)?=(2X0+0-V5X0-2、2( )M+1+5410=5三、解答题：本大题共【解答】(I)证明：在平行四边形ABCD 中，由已知可得，CD

18、 = AB= 1,1CM=2BC=2,ZDCM=60 ,由余弦定理可得， DM2= CD2+CM2- 2CDXCMXcos601= 1 + 4- 2X1X2X2=3,则 CD2+DM2= 1+3= 4 = CM2,即卩 CD 丄 DM ,又 PM 丄 MD , PMADM = M , CD 丄平面 PDM ,而 PM?平面 PDM , CD 丄 PM ,/ CD / AB,. AB 丄 PM ;(H)解：由(I)知， CD 丄平面 PDM,又 CD?平面 ABCD，平面 ABCD 丄平面 PDM ,且平面 ABCDA平面 PDM = DM ,/ PM 丄 MD，且 PM?平面 PDM , PM

19、 丄平面 ABCD ,连接 AM ,贝UPM 丄 MA ,在厶 ABM 中，AB = 1 , BM = 2, / ABM = 120 ,1可得? = 1 + 4 - 2X1X2X(-2)= 7 ,又 FA= v15,在 Rt PMA 中，求得 PM=V? ? = 2 迈,取 AD 中点 E ,连接 ME,贝 U ME / CD,可得 ME、MD、MP 两两互相垂直, 以 M 为坐标原点，分别以 MD、ME、MP 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系, 则 A(-V3,2,0),P(0,0,2V2),C(V3,- 1,0),v31T3V35又 N 为 PC 的中点， N( ,- - , 2),

20、?=(宁，-号，v2),2 22 2平面 PDM 的一个法向量为?= (0,1,0),设直线 AN 与平面 PDM 所成角为 0,TT T5则 sin0=|cosv?|=|?|?v27+25+2XIV15故直线 AN 与平面 PDM 所成角的正弦值为 69 r20.(15 分)已知数列an的前 n 项和为 3 , ai= -4，且 4Sn+i= 33- 9 (n N*).（I）求数列an的通项公式;(H)设数列bn满足 3bn+ (n - 4) an= 0 (nN*),记bn的前 n 项和为 Tn.若 TnWAbn对任意 n N*恒成立,求实数入的取值范围.【解答】 解：（I）由 4S+1=3

21、Sn-9 可得 4Sn=39-1-9（n2）,两式作差，可得： 4an+1= 3an,d =3，所以数列an是以-9为首项，3为公比的等比数列,?444其通项公式为：?= (-9)X(4)?-1= -3X(?z、,?-43?(U)由3bn+(n- 4)an=0，得？?= - 3 ?= (?- 4)(玄),33233343?3?+1?= -3X4（4）-2X(；)-41X（4）+ ? + (?-5) ?(；) + (?- 4) ?(-)两式作差可得:133233343?3?+1?= -3X4_ +4（4）+ (;) +4（4）+?(4)- (?-4) ?(；)?= -3X3- 2X(4)2- 1

22、X(4)3+ ? + (?- 5)(3-)?-1+ (?- 4) ?(3)?(?- 4)(4)?+1?-16.4+T4+4- 4（4）?+1-（?-4）?（4）则?= -4? ?(4)?+1.据此可得-4? ?(4)?+14 时，?-?+4=-3 -科，而-3 -?7v- 3，故：入-3；综上可得， A|- 3W入W1.21.(15 分)如图，已知 F 是抛物线 y2= 2px ( p 0)的焦点，M 是抛物线的准线与 x 轴的 交点，且|MF|=2.(I)求抛物线的方程：(n)设过点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点，若斜率为 2 的直线 I 与直线 MA , MB , AB, x 轴依

23、次交于点 P, Q, R, N,且满足|RN|2= |PN|?|QN|,求直线 I 在 x 轴上截距的取 值范围.【解答】解：(I)依题意，p= 2,故抛物线的方程为y2= 4x;(n)由题意得，直线 AB 的斜率存在且不为零，设直线AB : y= k （x - 1）,将直线 AB 方程代入抛物线方程可得，k2x2-( 2k2+4)x+k2=0,又 |RN|2= |PN|?|QN|,2 2 2 二 4( t +2t+1) 3( t 2t+1),即 t +14t+1 0,解得? 4 v3-直线 l 在 x 轴上截距的取值范围为(-g,- 7 - 4 v3U4 1,函数 f (x)= ax- bx

24、+e2(xR).(I)求函数 f (x)的单调区间；(H)若对任意 b 2e2,函数 f (x)有两个不同的零点，求 a 的取值范围；(川)当 a= e 时，证明：对任意 be4,函数 f (x)有两个不同的零点 xi, x2,满足 x2?诙x1+刁.(注：e= 2.71828?是自然对数的底数)【解答】解：(I)f(x)=ax|nab,当 b 1,贝 V axlna 0,故 f( x) 0,此时 f (x)在 R 上单调递增;当 b0 时，令 f( x) 0,解得？鶴?令 f( x) 0,解得作疇?9?9?此时 f (X)在(-g,?)?单调递减，在(黎?；+g)单调递增；综上，当 b0 时

25、，f(X)的单调递设直线 AM： y= ki(x+1),其中?=?设直线 BM : y= k2(x+1),其中?=?+1?+ ?=?+口?+T+?+T呦勺m3沖？(?3刃)(?刃)?(?i)?+?(?i)+?(?i)?+?(?i)(?+1)(?刃)0(?3优1)(?”1)? =?(?1)(?”1)-41+2+ A+1设直线 I : y=2 (x t),?=联立咲籍?)可得?=?-2?-2?希:则|?- ?= |九？?= |?-2?-?=联立仏?$+?)，可得?=?+2? ?+2? ?则 |?- ?= |希?- ?=?2-?，|?+?!同理可得,?+2?=坯?，?-?,+?$?=|2-?2|，?-?= |?+?1?+?即(?-?=?(1+?)2|?-2丨=|2-?1?2-?2|，1(?-2)=3?孑+4，(1+?)23?乡+43(?-2)2+12(?-2)+16(?-1)2=(?-2)233一一(“ 1),44(?-2)216(?-2)2 +12?-243=(?-2+ -)2+27 或?2e2均成立，? ?令?=?则 at- bt+e2v0,即 etIna- bt+e2v0,即？?二?？v0,即 -? ？ ?2小+ ?v0,?.?_?对任意 b 2e2均成立,记？?(?= ?-?-?2?,则？(穹1-(?-?-?-?鶴