2021年江苏高考数学二轮讲义：专题四第1讲空间几何体

1、1 .必记的概念与定理（1）棱柱的性质；（2）正棱锥的性质；（3）正棱台的性质;（4）四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的 关系.2 记住几个常用的公式与结论（1）柱体、锥体、台体的侧面积公式：2019 考向导航考点扫描三年考情2019201820171 空间几何体的体积与表面积第 9 题第 10 题第 6 题2.多面体与球3 折叠与展开向.考向预测江苏咼考对空间几何体的考查，一般是填空题，属中档题试题主要来源于课本，或略高于课本.计算.预计 2020多面体与球,命题的重点是体积年命题仍会坚持这一方折叠与展开问题是江苏高考的冷点，但复习时仍要关注.1S柱侧

2、=ch（c 为底面周长，h 为高）;12S锥侧=cha 为底面周长，h 为斜高）; 1S台侧=2（c+ ch）c（, c 分别为上下底面的周长， h为斜高）;S球表=4n2(R 为球的半径).(2)柱体、锥体、台体和球的体积公式：1V柱体=Sh(S 为底面面积，h 为高); 12V锥体=3Sh(S 为底面面积，h 为高);13V台=3(S+QSS+ ShXS； S 分别为上下底面面积，h 为高);44V球=3n3(R 为球的半径).(3)正方体的棱长为 a,球的半径为 R,1正方体的外接球，则 2R=；3a；2正方体的内切球，则 2R= a;3球与正方体的各棱相切，则2R=；2a.长方体的同一

3、顶点的三条棱长分别为a, b, c,外接球的半径为 R,则 2R=、；a2+ b2+ c2.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3： 1 .3.需要关注的易错易混点(1)侧面积与全面积的区别.求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决.(3) 折叠与展开的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性.(4) 求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理.导学导练核沁突破考点空间几何体的体积与表面积典型例题；1 1(1)(2019 高考江苏卷)如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1的体积是 120, E 为 CC1的中点，则三棱锥 E-BCD 的体积是_.(2)现

4、有橡皮泥制作的底面半径为5、高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆柱各一个,若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_ .【解析】(1)因为长方体 ABCD-A1B1C1D1的体积是 120, 所以 CC1S四边形ABCD= 120 ,又1111E 是 CC1的中点，所以三棱锥 E-BCD 的体积 VE-BCD= 3ECSBCD= 3XqCC1XqS四边形ABCD=X 120=10.（2）设新的底面半径为 r,由题意得3XnX52X4+nX22X8=3XnXr2x4+nXr2x8,所以 r2=乙乙所以 r= 7.【答案】（1）10

5、（2）17涉及柱、锥、台、球及其简单几何体（组合体）的侧面积（全面积）和体积的计算问题，要在 正确理解概念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线（面）,分析几何体的结构特征，选择合 适的公式，进行计算另外要重视空间问题平面化的思想和割补法、等积转换法的运用.对点训练1 . （2018 高考江苏卷）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_ .解析正方体的棱长为 2,以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是2 则该正八面体的体积为 3X（ 2）2X2=I.4答案42. （2019 苏锡常镇四市高三调研）设棱长为 a 的正方体的体积和表面积分别为

6、V1, S1,底面半径和高均为 r 的圆锥的体积和侧面积分别为V2, S2,若V1=3,则学的值为.V2nS21lV13a33解析由题意知，V1=a3,S1= 6a2,V2= 1nr3,S2=；2nr2,由 V =-得，=一一，得a=3V2n丄丄3n3 （2019 江苏省高考名校联考（八）在一次模具制作大赛中，小明制作了一个母线长和底面直径相等的圆锥，而小强制作了一个球，经测量得圆锥的侧面积恰好等于球的表面积，则 圆锥和球的体积的比值等于 _.解析设圆锥的底面半径为 r,球的半径为 R,则圆锥的母线长为 2r,高为,3r.由题意可知nx2r = 4n2,1_r2XV圆锥3n即 r = .2R.

7、所以 =-V球4Q37R答案多面体与球典型例题，-已知四棱锥 S-ABCD 的所有顶点在同一球面上，底面ABCD 是正方形且球心 0 在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16+ 16.3，则球 0 的体积等于【解析】由题意得，当四棱锥的体积取得最大值时，该四棱锥为正四棱锥.因为该四棱锥的表面积等于 16+ 16.3,设球 0 的半径为 R,贝 U AC= 2R, S0= R,如图，所以该四棱 锥的底面边长AB = 2R,则有 &2R)2+ 4X1x(2RX、y(/2R)p = 16+ 13,解 得 R= 2 .2,所以球 0 的体积是4dR3=64亍_2兀,其关键是确定

8、球心的位置 ，可以根据空间几何体的对称 性判断球汁(2)3=中.【答642求解球与多面体的组合问题时2心的位置，然后通过作出辅助线或辅助平面确定球的半径和多面体中各个几何元素的关系，达到求解解题需要的几何量的目的.对点训练4.如图，在圆柱 OiO2内有一个球 0,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为Vi，球 o 的体积为 V2,则的值是_V1n22r3解析设球 O 的半径为 r,则圆柱的底面半径为r、高为 2r,所以乙=2 討3答案25.（2019 无锡模拟）已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12n当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为 _.解析设正四棱柱的

9、底面边长为a,高为 h,球的半径为 r,由题意知 4n2= 12n,所以 r2h2=3,又 2a2+ h2= （2r）2= 12,所以 a2= 6- ,所以正四棱柱的体积3=6-2h2,由 V 0 得 0h2 ,所以当 h = 2 时，正四棱柱的体积最大，Vmax=8.答案2折叠与展开典型例题口 （2019 扬州期末）如图所示，平面四边形ABCD 中，AB = AD = CD = 1 , BD = .2 ,BD 丄 CD ,将其沿对角线 BD 折成四面体 ABCD ,使平面 ABD 丄平面 BCD,若四面体 ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为 _V = a2h= 6- h,则 V【

10、解析】 如图，取 BD 的中点 E, BC 的中点 O,连结 AE, OD, EO, AO.由题意，知 AB = AD,所以 AE 丄 BD .由于平面 ABD 丄平面 BCD,AE 丄 BD,所以 AE 丄平面 BCD .因为 AB= AD = CD = 1, BD = 2,所以AE=，EO=2.所以OA=.在 Rt 少 DC 中，OB = OC = OD = |BC=舟,所以四面体 ABCD 的外接球的球心为 O,半径为f.所以该球的体积 V= 3n于=于兀【答案】宁冗解决折叠问题的关键是搞清楚处在折线同一个半平面的量是不变的 图形及数量关系的变化,借助立体与平面几何知识，即可求解.对点训

11、练6 .如图，把边长为 2 的正六边形 ABCDEF 沿对角线 BE 折起，使 AC= 6，则五面体 ABCDEF 的体积为_ .解析由 BE 丄 OA, BE 丄 OC 知 BE 丄平面 AOC ,同理 BE 丄平面 FOD,所以平面 AOC /平面 FO D,然后根据翻折前后故 AOC-FO D 是侧棱长（高）为 2 的直三棱柱，且三棱锥 B-AOC 和 E-FO D 为大小相同的三 棱锥，所以 VABCDEF= 2VB-AOC+ VAOC-FO D11 1=2X1x1x（ 3）2 3x1+1x（；3）2x2=4答案47 .已知矩形 ABCD 的面积为 8,当矩形周长最小时，沿对角线AC

12、把厶 ACD 折起，则三棱锥 D-ABC 的外接球的表面积等于 _.解析设矩形的两邻边长度分别为 a, b,则 ab = 8,此时 2a + 2b4,ab= 82,当且仅 当 a = b =2 ,2 时等号成立，此时四边形 ABCD 为正方形，其中心到四个顶点的距离相等 ，均 为 2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为 2 的球面上，这个球的表面积是 4nX22= 16n答案16n.专题强化Q精练提能1 . （2019 南京、盐城高三模拟）设一个正方体与底面边长为2.3，侧棱长为.10 的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为 _.1解析根据题意，设正方体的棱长为 a ,则有 a4= 3X

13、（2 . 3 ）2X（.10）2（乙3；】2）2,解得 a= 2.答案23 . （2019 苏州期末）已知一个圆锥的母线长为2,侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为解析设圆锥的底面半径为 r,高为 h,则 2n=2n,故 r = 1,故 h =寸 4 1 = 3,故圆 锥的体积为3nX12X答案n3. （2019 苏锡常镇模拟）平面a截半径为 2 的球 O 所得的截面圆的面积为n则球心 O 到平面a的距离为_ .解析设截面圆的半径为 r,贝 Unr2=n解得 r = 1,故 dJR2r2= V3.答案一 34 .表面积为 3n的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为 _.解析设圆锥的

14、母线为 I,圆锥底面半径为 r,贝 Unl +n2= 3n n= 2n.解得 r = 1,即 直径为 2.答案25. （2019 南京、盐城模拟）若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的 2 倍，则该圆锥的体积为_.解析设圆锥的底面半径为 r,母线长为 I,则由侧面积是底面积的2 倍得nl = 2n2,故I = 2r = 2,因此高为 h =；3,故圆锥的体积为V= 3nr2h = 3nX12x.；：3=兀6. （2019 苏锡常镇调研）如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA 丄底面 ABCD ,底面 ABCD 是矩形,AB= 2, AD = 3, PA= 4,点 E 为棱 CD 上一点，则三

15、棱锥 E-PAB 的体积为1 11 11因为 VE-PAB=VP-ABE=3SZABEPA = 3X2AB A D PA = 3X?X2X3X4 = 4.答案47.如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB= AD = 3 cm, AA1= 2 cm,则四棱锥 A-BB1D1D的体积为解析连结 AC 交 BD 于 O,在长方体中，因为 AB= AD = 3,所以 BD = 3 2 且 AC 丄 BD.解析cm又因为 BBi丄底面 ABCD ,所以 BBi丄 AC.又 DBABBi= B,所以 AC 丄平面 BBiDiD, 所以 AO 为四棱锥 A-BBiDiD 的高且 AO = *BD

16、 = 乎.因为 S 矩形 BB1D1D = BDXBBi= 3 ,2X2 = 6 ,2,=3X 6：2X32 = 6(cm3).答案68已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为解析依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为 3 ,：2X2 = 6 ,高为寸（3 迈）2_扌扌乂 6 = 3,因此底面中心到各顶点的距离均等于3,所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为 3,所以其外接球的表面积等于4nX32= 36 n答案36n9.（2019 苏省高考名校联考信息卷（五）如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间为高是 4 的圆柱，上下两端均是半径为2 的半球，若将该实心金属几何体在熔炉

17、中高温熔化（不考虑过程中的原料损失），熔成一个实心球，则该球的直径为 _ .32804解析设实心球的半径为 R,则由题意知该实心金属几何体的体积V =孑计 16 尸三尸泯3,得 R= 畅，所以实心球的直径为 2R= 2 畅.答案22010. （2019 苏省高考名校联考（五）如图，在正四棱柱 ABCD-AiBiCiDi中，点 P 是平面AiBiCiDi内一点，且 AA1= 2AB,若三棱锥 P-BCD 的体积与正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的侧面 积的数值之比为 1 : 24,则 VABCD-AiBiCiDi=_ .所以 VA-BB1D1D = 3S矩形BB1D1D AO3.；2，则这个

18、四棱锥的外接球的表面积为1 11VP-BCD=2*2X2a = 3a3,正四棱柱 ABCD-A1B1C1D132313尹3的侧面积为S=4X2a2= 8a2,所以=8a 2424答案2一个正三棱锥所得的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面的大圆，顶点在半球接于半球底面的大圆，顶点 P 在半球面上设 BC 的中点为 D ,连结 AD ,过点 P 作 PO 丄平1面 ABC,交 AD 于点 O,则 AO= PO = 2, AD = 3, AB = BC = 2 .3,所以SZABC=寸2.3X3=3 ,；3,所以挖去的正三棱锥的体积 V = fs/ABcXPO= fx3 :3X2= 2,3

19、解析设 AB = a,则 AAi= 2a,所以a= 1 ,所以 VABCD-AIBQIDI=2a3= 2.11. （2019 苏州市第一学期学业质量调研）如图,某种螺帽是由一个半径为 2 的半球体挖去面上，则被挖去的正三棱锥的体积为解析如图，记挖去的正三棱锥为正三棱锥P-ABC,则该正三棱锥的底面三角形 ABC 内答案 2 ,;312. （2019 南京模拟）如图，已知 ABC 为等腰直角三角形，斜边BC 上的中线 AD = 2,将厶 ABC 沿 AD 折成 60的二面角，连结 BC,则三棱锥 C-ABD 的体积为 _24，解析因为 BD 丄 AD , CD 丄 AD,所以/ BDC 即为二面

20、角 B-AD-C 的平面角，即/ BDC=n又因为 BD = DC = 2，所以三角形 BDC 面积为 2x2X2X-23= 3又因为 AD 丄平面 BDC ,13.如图，在多面体 ABCDEF 中，已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 ADE , BCF 均为正三角形，EF / AB, EF = 2，则该多面体的体积为 _解析如图，过 A, B 两点分别作 AM, BN 垂直于 EF,垂足分别为 M , N,连结 DM ,CN,可证得 DM 丄 EF, CN 丄 EF,多面体 ABCDEF分为三部分，多面体的体积为VABCDEF= VAMD-BNC+ VE-AMD+ VF-BNC.1因为 NF = , BF = 1,V3所以 BN =作 NH 垂直 BC 于点 H ,则 H 为 BC 的中点， 则 NH =子.11x/2 x/2所以 S3NC=BC NH =1X2 = 4 .1所以 VF-BNC= 3