圆锥曲线知识点归纳与解题方法技巧

1、圆锥曲线解题方法技巧第一、知识储备：1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容 倾斜角与斜率k = tan 0,二） k = yy1X2 点 P（Xo,y。）到直线 Ax+By+C=0 的距离AX+2BYo 2CJA2 + B2 夹角公式：直线ll：klX bl夹角为，则tankk1l2: y = k2x + b2|1 + k2K（3）弦长公式直线y =kx b上两点A（x1,y1）, B（x2,y2）间的距离 AB = J（X2 -x）2 +5 -yj2 AB =山卄2忆X2I =如小任 + x2）2 Axm AB =屮

2、+右|% _y2（4）两条直线的位置关系（）h : y *x biI2 ： y = k2X +b2 h_l2 二 k1k2=-1 I'/J u &十2且 b<-= b211 : Ax + B+G =0（H）仃 112 : Ax + Dy +C2 =0 h _ l2 二 AA2 B1B2 =011 / /l 2A B2- A2 B）=0且 AC 2 - A2C1 = 0 或A _ B1 _ C1A B2 C2者（ A2B2C2 =0）两平行线距离公式距离d害h : y 二 kx b l2 ： y = kx b211 : Ax By G = 012 ： Ax By C2 =

3、0 2、圆锥曲线方程及性质1. 圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点Fi，F2的距离的 和等于常数2a，且此常数2a 一定要大于FiF?，当常数等于RF?时，轨迹是线段Fi F2， 当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点Fi，F2的距离的差的绝对值等于常 数2a，且此常数2a一定要小于| F1F2|，定义中的“绝对值”与2a < |F1F2|不可忽视。 若2a = IF1F2I，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a > |F 1 F2 |，则轨迹不存 在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如方程J x 6）2 +y

4、2 - J（x +6）2 +y2 =8表示的曲线是 （答：双曲线的左支）2. 圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准 位置的方程）：222 2（1）椭圆：焦点在x轴上时冷+当=1 （ aAb0 ），焦点在y轴上时与+笃=1 a2 b2a2 b2（ab:>0）。方程Ax2+By2=C表示椭圆的充要条件是什么？（ ABC0,且A，B，C同号，Am B） 0椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）一、x2 v2标准方程：1（m0, n .0且口 =门）m n距离式方程：.（x c）2 y2 y-J（x -c）2 y2 =2a参数方程： x = acos, y =

5、 bsin =若x,y R，且3x2+2y2=6，则x + y的最大值是，x2 + y2的最小值是_（答：5,2 ）2 2 2 2（2）双曲线：焦点在x轴上：笃 V2 =1，焦点在y轴上：召 耸=1（ a 0,b 0 ）。 a ba b方程Ax2 By2 =C表示双曲线的充要条件是什么？ （ ABCm0,且A，B异号）。如设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e. 2的双曲线C过点P（4,-V10），则 C的方程为（答：/ y? =6）（3）抛物线：开口向右时y? = 2px（ p 0），开口向左时 寸-2 px（ p - 0），开口向 上时 x =2py（p . 0），开口向下

6、时 x =2py（p . 0）。3. 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由x ?, y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。2 2如已知方程 一+ = 1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_（答:|m -12 -m3 （=,-1）（1乍）2（2）双曲线：由x2, y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。提醒：在椭圆中，a最大，a2 = b2 c2，在双曲线中，c最大，c2 a2 b2。4. 圆锥曲线的几何性质：2 2（1）椭圆（以笃与=1 （ a b 0 ）为例）：范围：-a

7、< x空a,-b乞y乞b : a2 b2焦点：两个焦点（士c,0）:对称性：两条对称轴x=0,y=0, 个对称中心（0,0），四2 个顶点（_a,0）,（0, _b），其中长轴长为2a，短轴长为2b ；准线：两条准线x二一乞； c离心率：e =-，椭圆=0：e：1， e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。a如（1）若椭圆+=1的离心率*也，则m的值是（答：3或空）；5 m53（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为_ （答：2、2）x2 y2（2）双曲线（以=1 （ a 0,b 0 ）为例）:范围：x _ -a或x丄a, y R ;焦a2 b2点

8、：两个焦点（_c,0）:对称性：两条对称轴x=0,y=0, 个对称中心（0,0），两个顶点（-a,0），其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相2 等时，称为等轴双曲线，其方程可设为x2-y2=k,k=0 ;准线：两条准线x=； c离心率：e = c，双曲线=e 1，等轴双曲线二e = '、2， e越小，开口越小，e a越大，开口越大；两条渐近线：y = _Dx。双曲线的方程的形式有两种a2 2标准方程： =1（m n - 0）m n距离式方程：|(x - c)2 y2 - , (x- c)2 y2 =2a(3) 抛物线(以寸二2px(p 0)为例)：范围：x _0,

9、 y 二R ;焦点：一个焦点(号,0),其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴 y=0，没有对称中 心，只有一个顶点(0,0)；准线：一条准线x ；离心率：e =-，抛物线二e=1。2a如设aaR，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为(答：(0,丄);16a2 2点P(x°,y°)和椭圆笃爲=1 ( a b 0 )的关系:(1)点P(x。, y。)在椭圆外a b2 2 2 2第卷1 ; ( 2)点P(x0,y°)在椭圆上= 笃 卑 二1 ；( 3)点P(x), y°)在椭圆内a ba b2 2鱼匹：:1a2 b26. 记住焦半径公式：(1)

10、椭圆焦点在x轴上时为a二ex0；焦点在y轴上时为a_ey°，可简记为“左加右减，上 加下减”。(2) 双曲线焦点在x轴上时为e x0 _a(3) 抛物线焦点在x轴上时为xj ,焦点在y轴上时为 %上2 27. 椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？_第二、方法储备1、点差法(中点弦问题)2 2设A x1, y1、Bx2,y2 , M a,b为椭圆y 1的弦AB中点则有432 2 2 2 2 2 : 2 2.h=1，亘宜=1 ；两式相减得上亠=0434343为X2 X1 X2丫1 一 丫2 % 丫2,3a二=二 kAB = 一434b2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问

11、题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办?设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式.=-0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A(Xi,yJB(X2,y2)，将这两点代入曲线方程得到 两个式子，然后-，整体消元，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点 A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为y二kx，就意味着k存在。例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x25y2 =80上，且点A是椭圆短轴的一个端点(点A在y轴正半轴上).(1) 若

12、三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC的方程；(2) 若角A为900，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦 BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为900可得出AB丄AC，从而得X1X2 yiy2 -14(yi y2) 10，然后利用联立消元法及交轨法求出点 D的轨迹方程；22 22解：(1)设B ( X1,y1) ,C(X2,y2 ),BC中点为(x°,yo),F(2,O则有生 也 珂竺 上 打20 1620 16两式作差有(X1 X2)(X1 -X2)(y1 -y2)(y1y2)=0 匹卫=0 (

13、1)201654F(2,0)为三角形重心，所以由 互，得x°=3，由9比一 =0得y° = -2，代入33/ 口6(1)得 k =-5直线BC的方程为6x -5y -28 =02)由 AB丄AC 得x1x2 y1y14(y1 y2) 10(2)设直线 BC 方程为 y = kx b,代入 4x2 5y2 =80，得(4 5k2)x2 10bkx 5b2 -80 = 02-10kb5b -80x1 x22， x1x224 5k24 5k22 28k4b 80 k ? / c、/曰y1 y22, y1 y22 代入（2）式得4 +5k4 +5k29b -32b-16420，解得

14、b =4（舍）或b二-4 5k94y+_4直线过定点(0，_4)，设 D(x,y)，贝卩一 述红一=1，即 9y2 +9x2_32y_16 = 09x x所以所求点D的轨迹方程是x2 (y -16)2二(却)2® = 4) o994、设而不求法例2、如图，已知梯形ABCD中AB =2CD，点E分有向线段AC所成的比23为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当訂订时，求双曲线离心率e的取值范围。分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy，如图，若设Ch，代入詁一2 2 221，求得h = 1

15、11，进而求得Xe = 11 (, yE二川,再代入与1，ba b建立目标函数f(a,b,c,')=0，整理f(e,')=0，此运算量可见是难上加难.我们对h可米取设而不求的解题策略，建立目标函数f (a,b, c, J = 0，整理f (e, J = 0，化繁为简.解法一：如图，以AB为垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD丄y轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称依题意，记A -c,0，C |,h ，E x°,y°，其中c =*|AB|为双曲线o, yoXhyo =厂的半焦距，h是梯形的高

16、，由定比分点坐标公式得cXo C 2'-2c0 -1 + &2(人 +1 )2设双曲线的方程为笃a2笃=1，则离心率eJba由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和e二上代入双曲线方程得a由式得.2 2 b-，将式代入式，整理得2 4-4' =12' ，43=1 2e2 +1由题设2< <-得，J 3343e2 +2 4解得-.7 <e< ,10所以双曲线的离心率的取值范围为b,.io分析：考虑AE , AC为焦半径，可用焦半径公式,AE , AC用E,C的横坐标表示，回避h的计算，达到设而不求的解题策略.解法二：建系同解法一,AE =-

17、(exE ), AC =AEAC厂，代入整理V，由题设/ W得，討解得所以双曲线的离心率的取值范围为 k 7,.10 15、判别式法2 2例3已知双曲线c： y_1，直线I过点A、. 2,0，斜率为k，当0 ： k ： 1时，双曲2 2线的上支上有且仅有一点B到直线I的距离为,2，试求k的值及此时点B的坐标。分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然 是研究解析几何问题的重要手段从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到： 过点B作与I平行的直线，必与双曲线 C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的 判别式厶=0.由此出发，可设计如下解题思路：解题过程略.分

18、析2:如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线I的距离为运”，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路:M到直线I的距离为:kx 仝 2 -X.： 2Jk2 +1于是，问题即可转化为如上关于x的方程.由于0 ck cl，所以J2 +x2 a x >kx，从而有kx -、：2 + x2 - J2k = -kx + (2 + x2 + J2k.于是关于x的方程“- kx .、2 X2. 2k 二 2(k21)x22 x2 彳=(2(k21) _2k kx)2,.2(k21) - 2k kx 0k2 -1 x2 2k 2(k2 1) -S

19、9;2k x 2(k2 1) - 2k _2 =0, 2(k21) _ 2k kx .0.由 0 ：k ：1 可知：方程 k2 -1 x2 2k .2(k2 7) - .、2k x . 2(k2 T) - 2k $ _2 =0 的二根同正，故,.2(k2 1) - .2k kx 0恒成立，于是等价于k2 -1 x2 2k 2(k21) - .2k x . 2(k2 T) - 2k ' 一 2 = 0.由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式厶=0，就可解得点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思 维的优越性.例4已知椭圆C:x2 +2y2 =8和点P（ 4

20、，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使APPBAQ求动点Q的轨迹所在曲线的方程分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数，然后想方设法 将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的由于点Q(x,y)的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线 AB的斜率k作 为参数，如何将x,y与k联系起来？ 一方面利用点 Q在直线AB上；另一方面就是运用ApAQ题目条件：来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到x 4(XA XB2XAXB，PB QBx=8xa*xb)要建立x与

21、k的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.在得到x二f k之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于x,y的方程(不含k)，则可由y = k(x-4) +1解得k二红1，直接代入x= f (k )即可得x 4A2可得:QB4 * _ x * x2 -4 x2 _ x到轨迹方程。从而简化消去参的过程。简解：设 AxyBg，y2),Q(x, y)，则由:APPB(1)解之得：X =4(Xl X2)-2曲28 (Xi +X2)设直线AB的方程为:y = k（x -4）

22、1 ,代入椭圆C的方程,消去y得出关于x的一元二次方程:2k2 1 x2 4k(1 _4k)x 2(1 _4k)2 _8 =0(2)%x24k(4k -1)22k 12lx广gk) -8X222k 1代入（1），化简得:4k 3与 y = k(x4) 1 联立，消去 k 得: 2x y4 (x4) = 0.在(2)中，由.：-64k2 64k 24 0，解得 2 - 10 ,k .2 10，结合(3)可求得4416 -2 10 16 2.10故知点Q的轨迹方程为:2x y-4=0( 16-210 x6 210).99点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦

23、达定理模块思维易于想到这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道&求根公式法2 2例5设直线1过点P（0, 3），和椭圆亍”顺次交于A、B两点，试求APPB的取值范围分析：本题中，绝大多数同学不难得到：竺二一空，但从此后却一筹莫展，问题的PB Xb根源在于对题目的整体把握不够事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构 造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想 实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系分析1:从第一条想法入手,APPB-仝已经是一个关系式，但由于有两个变

24、量XbXa,Xb，同时这两个变量的范围不好控制， 所以自然想到利用第3个变量一一直线AB的 斜率k.问题就转化为如何将Xa,Xb转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出简解1:当直线I垂直于x轴时，可求得APPB当I与x轴不垂直时，设A xi, yi , B（x2，y2），直线I的方程为：y = kx 3，代入椭圆方程，消去 y得 9k24 x2 54kx 45 =0解之得X1,2_ -27k _6 9k2 -5一 9k2 +4因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑k 0的情形.当k 0时，xi_ -27k6 9k2

25、-5_2丄9k 4X2_ -27k -6 9k2 -59k2 +4所以APxi_9k 2 9k2 _5=i =i9k 2、.9k2 -5PBX29k 2.9k2 -518k189 2.9一.所以-1 <1-1 809k24 _0,解得 k2 _5 *，9AP 1- 1 _PB 518. 1，综上 - < 5分析2:如果想构造关于所求量的不等式,则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定 k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦APx达定理，原因在于- =不是关于xz的对称关系式

26、.原因找到后，解决问题的方 法自然也就有了，即我们可以构造关于 Xi,X2的对称关系式.简解2：y得9k224 x 54kx 45 = 0(*)fXi-54kX22,9k24玄2 _9k2 +4令，则，丄2324k2245k- 20452从而有 4 < 324k36，所以_45k +20 一 54丄2心，解得1结合0 ： 空1得_，_1.5综上,PB，-点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被

27、局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵 布阵，运筹帷幄，方能决胜千里第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是 数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择 恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注 意所使用的命题之间的相互关系(充分性、必要性、充要性等)，做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。例6椭圆长轴端点为A,B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且AF FB =1， oF =1.(i)求椭圆的标准方程；(U)记椭圆的上顶

28、点为M，直线I交椭圆于P,Q两点，问：是否存在直线I，使点 F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线I的方程若不存在，请说明理由。思维流程：a2,b=1由T TTAF FB =1，OF|=1> 写出椭圆方程(a c)(a _ c) = 1，c=1由F为.PQM的重心* PQ 丄 MF ,MP 丄 FQk pq2 23x 亠4mx 亠 2m 2 二0与元两根之和, 两根之积mP * FQ 二 0得出关于 m的方程解出m解题过程:2 2(I)如图建系，设椭圆方程为 笃气=1(a b0),则c = 1a b又 AF FB =1 即(a+c) (a c) =1 =a2 c2/ a2 = 22故椭圆方

29、程为才八1(U)假设存在直线I交椭圆于P,Q两点，且F恰为PQM的垂心，则设P(X1,y1),Q(X2,y2), v M(0,1),F(1,0)，故 kpQ =1 ,工 y = x m22于是设直线I为y = x * m，由 ；2 得，3x2 4mx 2m0lx +2y =2T TV MP FQ =0 =洛“2 T) y2(y T)又 yi 二 Xi m(i =1,2)得 X(x2 -1) (x2 m)(x m T) = 0 即2XX2 (x X2)(m-1) m2 - m = 0 由韦达定理得2c 2m -2 4m,八 2c2 (m -1) m- m =03 34 4解得m或m =1 (舍)

30、 经检验m 符合条件.33点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零.例7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(-2,0)、B(2,0)、 C 1,-三点.2(I)求椭圆E的方程：(U)若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F (-1,0), H (1,0)，当 DFH内切圆的面积最大时，求 DFH内心的坐标；思维流程:由椭圆经过A、B、C三点设方程为mx ny = 1得到m, n的方程解出m,n由DFH内切圆面积最大转化为 DFH面积最大转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大D为椭圆短轴端点DFH面积最大值为 3S叶二2周长r内切圆得出D点坐标为

31、r 则x1*2理3k 1(1)解题过程：(I)设椭圆方程为 mx?+ ny2=1(m>0,n>0)将A(-2,0)、B(2,0)、3C(1,2)代入椭圆E的方程，得'4m =1,11229解得m=, n= - .二椭圆E的方程+ = 1 .m n =1434341(n) |FH | = 2，设 DFH 边上的高为 SDFH 2 h=h当点D在椭圆的上顶点时，h最大为,3，所以S dfh的最大值为乜.1SADFH的内切圆的半径为R，因为 DFH的周长为定值6.所以，S Df - R 6 * 2所以R的最大值为y .所以内切圆圆心的坐标为(0,弓点石成金：1s.的内切圆二2八的

32、周长r 的内切圆例8、已知定点C(-1,0)及椭圆X2 3y2 =5 ,过点C的动直线与椭圆相交于A，B两占八、2由线段AB中点的横坐标是一丄, 得 t 3k 1，解得k仝,符合题意22 3k +12- 3所以直线AB的方程为x r§'3y，1=0，或x . 3y 1 = 0 .(U)解：假设在x轴上存在点M(m,0)，使MA MB为常数.当直线AB与x轴不垂直时，由(I)知 x1 x26k23k213k2 -5XM 二2.3k21所以 MA MB = (% -m)(x2 - m) %y2 = (% - m)(x2 - m) k2(x 1)(x2 1)= (k2 十1 X x

33、； + (k - m) (x+ 2X )+2 k + 2m将(3)代 入， 整 理 得12142 匚(2 m )(3k2 1)2m(6m -1)k -52、3322 c 1 6m 14MA MBm=3o3 m = m 2m23 3(3k +1)74，此时 mA mb .39<3, 1,3 ，当3k2 13k2 1注意到MA MB是与k无关的常数， 从而有6m 1 0, m = - 7 当直线AB与x轴垂直时，此时点 A B的坐标分别为-12m = -7 时，亦有 mA mb =4.39，使MA MB为常数.综上，在x轴上存在定点M -7，jI 3丿1214(6m-1)k252 (2m_3

34、)(3k2)_2m3k2 1点石成金：MA MB = 1- - m233k2 +1=m2 2m 丄丄433(3k2+1)例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M (2,1)，平行于OM的直线I在y轴上的截距为m (m0)，l交椭圆于A、B两个不同点。(I)求椭圆的方程；(U)求m的取值范围;(川)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形思维流程:2 2解：(1)设椭圆方程为笃爲=1(a . b 0)a ba =2b解得b2=8二 22 2椭圆方程为18 2(n)v直线|平行于0M，且在y轴上的截距为m又 KoM =11的方程为：2X m1y =-x +m

35、丄222由 22 x 2mx 2m4=0工乞=18 22 2直线l与椭圆交于A、B两个不同点,、.- -(2m) -4(2m -4)0,解得-2 m ： 2,且m = 0(川)设直线MA、MB的斜率分别为k1,匕只需证明k1+k2=0即可设 A(xyj, B(X2 - y2),且X1 X2 - -2mxx2 = 2m2 - 4则 & =g,k2 =3X1 2x 2 2由 x2 2mx 2m2 -4 = 0可得x1 x2-2m,x1x2 =2m -4而 k1 - k2y1 -1y2 1(y1 1) -(X2- 2) (y2 -1)(X1- 2)X1 - 2X2- 2(X1- 2)(X2

36、_ 2)1 1(尹 m-1)(X2 -2)(产2 5-1)(为 -2) (X -2)(X2 -2)x,x2 (m 2)(xix2) -4(m -1)(为-2)(X2 -2)2m2 -4 (m -2)(2m) -4(m 1)(X1 - 2)(X2 一2)2m242m2 4m4m 4=0(x. 2)(X2 -2)k. k2 =0故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.点石成金：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形 =k.02 2过A(a,0), B(0,-b)的直线到原点的距例.0、已知双曲线笃-爲a b(.)求双曲线的方程;(2)已知直线y=kx，5(k=0)交双曲线于不同的点C,

37、D且C, D都在以B为圆心的 圆上，求k的值.思维流程：解：.)2=原点到直线 AB :A_=1的距离a3a babab忑d =-.=.Ja 2 + b2c2.b = 1, a = 3 .故所求双曲线方程为 £1 _ y 2 = 13(2)把 y 二 kx 5代入 X2 -3y2 =3 中消去 y,整理得(1 -3k2)x2 -30kx-78 = 0.设C(x1,y1),D(x2,y2),CD 的中点是 E(x°,y°)，则X。X1 X215 k1 - 3k 2y。51 - 3k 2k BEy。11=X0kx°ky° k =0,即卩k 2丁1

38、- 3k 21 - 3k 2k = 0,又 k = 0,. k2=7故所求k= ± .7 .点石成金：C, D都在以B为圆心的圆上二BC=BD= BE丄CD;例11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(I)求椭圆C的标准方程;(II)若直线I :y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线I过定点，并求出该定点的坐标.思维流程:2 2解：(I)由题意设椭圆的标准方程为 笃-y2 = 1(a b 0),a b由已知得：a，c=3, a-c =1,2 2椭圆的标准方程为11.43(II )设 AX, yj,Bg,y2).y = kx m,联立x2y2一=1.43得(3 4k2)x2 8mkx 4(m2 -3) = 0 ,A=64m2k2 16(3 +4k)(m2 3) >0,即 3 +4k2X1 亠 X2 = -3 4k 4(m2 _3)X1X223 4k2m- 0,8mk2，3(m _4k2) 又 y1y (kx1 m)( kx2 m) =k2xjx2 mk(x1 x2) m2 -3 4k2因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0),kADkBD = T，即一