20届高考数学一轮复习讲义(提高版)专题9.3空间几何体外接球和内切球(原卷版)

1、9.3 空间几何外接球和内切球一公式1. 球的表面积：s4r22. 球的体积：v43r3二概念1.空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的内切球2.空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球考向一长（正）方体外接球【例 1】若一个长、宽、高分别为4，3，2 的长方体的每个顶点都在球o的表面上，则此球的表面积为_【举一反三】1. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_2. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是_. 考向二棱柱的外接球【例 2】直三棱柱 ?-?的所有棱长均为2 3

2、，则此三棱柱的外接球的表面积为（）a12b16c28d36【举一反三】1.设直三棱柱abc-a1b1c1的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是40， ab=ac=aa1， bac=120 ，则此直三棱柱的高是_. 2. 直三棱柱 ?-?1?1?1中，已知 ? ?，? = 3，? = 4，?1= 5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_考向三棱锥的外接球类型一：正棱锥型【例 3-1 】已知正四棱锥pabcd的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为2，若该正四棱锥的体积为 2，则此球的体积为（）a. 1243 b. 62581 c. 50081 d. 2569【举一反三】1.

3、已知正四棱锥pabcd的各条棱长均为2，则其外接球的表面积为( ) a. 4 b. 6 c. 8 d. 162如图，正三棱锥dabc的四个顶点均在球o的球面上，底面正三角形的边长为3，侧棱长为2 3，则球o的表面积是()a4b323c16d36类型二：侧棱垂直底面型【例 3-2 】在三棱锥pabc中，2ap，3 3ab，pa面abc，且在三角形abc中，有cos2coscbabc（其中, ,a b c为abc的内角,a b c所对的边）， 则该三棱锥外接球的表面积为（）a. 40 b. 20 c. 12 d. 203【举一反三】1. 已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）

4、a. 214 3 b. 127 3 c. 1153 d. 12432. 已知三棱锥sabc中，sa平面abc，且30acb，22 3.1acabsa. 则该三棱锥的外接球的体积为( ) a. 13138 b. 13 c. 136 d. 13 136类型三：侧面垂直与底面型【例 3】已知四棱锥 ?- ?的三视图如图所示，则四棱锥?-?外接球的表面积是（）a. 20? b. 101?5 c. 25? d. 22?【举一反三】1. 九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何

5、体的外接球的表面积是（）a. 81? b. 33? c. 56? d. 41?2已知如图所示的三棱锥dabc的四个顶点均在球o的球面上，abc和dbc所在平面相互垂直，3ab，3ac，2 3bccdbd，则球o的表面积为()a4b12c16d363三棱锥pabc的底面是等腰三角形，120c， 侧面是等边三角形且与底面abc垂直，2ac，则该三棱锥的外接球表面积为()a 12b 20c 32d 100类型四：棱长即为直径【例 3-4 】已知底面边长为 2，各侧面均为直角三角形的正三棱锥?- ?的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）a. 3? b. 2? c. 43? d. 4?【举一反三

6、】1已知三棱锥pabc 的所有顶点都在球o 的球面上，pc 是球 o 的直径若平面pca平面 pcb ，paac ， pbbc ，三棱锥 pabc 的体积为a，则球 o 的体积为 ()a 2 ab 4 ac23ad43a考向四墙角型【例 4】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（）a23 b 32 c 3 d 4 3【举一反三】1. 已知四面体 ?的四个面都为直角三角形，且? 平面 ?，? = ? = ? = 2，若该四面体的四个顶点都在球 ? 的表面上，则球? 的表面积为（）a3?b2 3?c4 3?d12?2已知一个棱长为2 的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示

7、，则该几何体外接球的表面积是()a24b20c16d123在三棱锥p一abc中，1papbpc，pa、pb、pc两两垂直，则三棱锥pabc的外接球的表面积为()a12b6c4d3考向五内切球【例 5】正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切求球的表面积与体积【举一反三】1球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球表面积之比是()a 1:1b 2:1c 3: 2d 4:32若三棱锥abcd中，6abcd，其余各棱长均为 5 ，则三棱锥内切球的表面积为3一个几何体的三视图如图所示，三视图都为腰长为 2 的等腰直角三角形，则该几何体的外接球半径与内切球半径之比为()a 33 32b

8、 3c 3 32d 132考向六最值问题【例 6】已知球o的内接长方体abcda b c d中，2ab，若四棱锥oabcd的体积为2，则当球o的表面积最小时，球的半径为()a2 2b2 c2d1 【举一反三】1已知a，b是球o的球面上两点，90aob，c为该球面上的动点，若三棱锥oabc体积的最大值为 36，则球o的表面积为()a36b64c144d2561已知正三棱柱111abca b c的底面边长为3，外接球表面积为16，则正三棱柱111abca b c的体积为（）a3 34b3 32c9 34d9 322 已知p，a，b，c，d是球o的球面上的五个点， 四边形abcd为梯形，/ /adb

9、c ，2abdcad，4bcpa，pa面abcd，则球o的体积为（）a6423b16 23c16 2d163已知三棱锥sabc的各顶点都在一个球面上，球心o在ab上， so底面abc，球的体积与三棱锥体积之比是4，2ac，则该球的表面积等于（）ab2c3d 44某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球表面积是（）a163b283c11d3235如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的外接球的体积是（）a195754b22 6654c193d2236 九章算术中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”现有一阳马

10、，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）a 6?b6?c9?d24?7如图，边长为2的正方形 ?中，点 ?、? 分别是 ?、?的中点，将 ?，?，?分别沿 ? ，? ，? 折起，使得 ? 、? 、? 三点重合于点 ?，若四面体 ?的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为 ( ) a5?b6?c8?d11?8某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球? 的球面上，则球? 的表面积是：（）a8?b12 3?c12?d48?9已知三棱锥?- ?的底面 ?的顶点都在球 ? 的表面上，且 ? = 6，? = 2 3，? = 4 3，且

11、三棱锥?- ?的体积为 4 3，则球 ? 的体积为（）a32?3b64?3c128?3d256?310我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱. 现有一如图所示的堑堵，acbc，若12a aab，则堑堵111abca b c的外接球的体积为（）a1623b8c8 23d4311在三棱锥pabc中.2papbpc.1abac，3bc，则该三棱锥的外接球的表面积为（）a8b163c43d3232712一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2，则该四面体外接球的表面积为（）a6b12c32d4813已知在三棱锥pabc中，1papbbc

12、，2ab，abbc，平面pab平面abc，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）a32b23c2d314已知三棱锥dabc的体积为 6， 在abc中，2ab，4ac，60bac， 且三棱锥dabc的外接球的球心o恰好是ad的中点，则球o的表面积等于（）a323b643c43d4214已知三棱锥sabc各顶点均在球o上，sb为球o的直径，若2abbc，23abc，三棱锥sabc的体积为 4，则球o的表面积为（）a120b64c 32d1615已知三棱柱111abca b c的侧棱与底面垂直，12,4aabcbac， 则三棱柱111abca b c外接球的体积为（）a12 3b8 3c

13、6 3d4 316在三棱锥abcd中，bcbd，4 3abadbd，6bc，平面abd平面bcd，则三棱锥abcd的外接球体积为()a36b2563c5003d28817已知三棱锥p-abc中，pa=4 ，ab=ac=23，bc=6 ，pa 面 abc ，则此三棱锥的外接球的表面积为（）a16b32c64d12818三棱柱111abca b c的侧棱垂直于底面，且1,2abbc abbcaa , 若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）a48b 32c 12d819一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）a20b16c12 2d8 220我国古代九章算术将四

14、个面都为直角三角形的四面体称为鳖月需. 如图是一个鳖月需的三视图，其中侧视图是等腰直角三角形，则该鳖月需的外接球的表面积是（）a 5b6c 12d2421在三棱锥pabc中，pc底面abc，90baco，3ab，4ac，60pbco，则三棱锥pabc外接球的体积为（）a100b5003c125d125322. 已知四棱锥mabcd，ma平面abcd，abbc，180bcdbad，2ma，2 6bc，30abm. 若四面体macd的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）a20b22c40d4423一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为()a1

15、63b83c4 3d2 324 已知四面体abcd外接球的球心o恰好在ad上， 等腰直角三角形abc的斜边ac为 2，2 2dc，则这个球的表面积为（）a254b8c12d1625已知三棱锥?-?中， ? ? ，? = ? = 2，? = 1，? = 3，则该三棱锥的外接球的体积为()a4?3b8?3c8 2?3d36?26已知三棱锥asbc的体积为2 33，各顶点均在以sc为直径球面上，2,2abacbc，则这个球的表面积为_。27表面积为4 3的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为_28已知三棱锥pabc中， 侧棱2,5,3papbpc, 当侧面积最大时，三棱锥pabc的外接球体积为 _ 29已知直三棱柱111abca bc的 6 个顶点都在球o 的球面上，若6ab，10ac，acab，12 5aa，则球 o的表面积为 _ 30在三棱锥 ?- ?中，平面 ? 平面 ?，?是边长为 2 3的等边三角形，其中? = ? = 7，则该三棱锥外接球的表面积为_31已知圆锥的母线长为5，底面半径为4，则它的外接球的表面积为_ 32四棱锥 sabcd 中，底面abcd为矩形，4ad，2ab，且8sasd，当该四棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为_. 33已知三棱锥pdef的各顶点都在球面上，pded,ef平面pde,4de，3ef,