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文档简介
1、Matlab在分形中的应用研究摘要:Matlab具有强大的科学运算和灵活的程序设计,可提供高质量的图像可视化,已经在很多领域得到广泛应用。分形是非线性科学的重要分支,分形几何学却具有尺度上的对称性,分型图形是计算机图形学和分形理论相结合的产物。该文利用Matlab强大的编程工具和图形显示功能实现Cantor集、Koch曲线、分形树图形,这对数学类、计算机图形学和相关专业类研究人员有一定的参考价值。关键词:分形MatlabCantor集Koch曲线中图分类号:TP312文献标识码:A文章编号:1674-098X202101b-0105-02Matlab是矩阵实验室MatrixLaboratory
2、的简称,是美国MathWorks公司出品的商业数学软件,用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。Matlab提供了强大的科学运算、灵活的程序设计、高质量的图像可视化以及便捷地与其他程序和语言接口的功能1,2。目前,Matlab已經应用到很多科研领域,如,生物信息学【3】、统计学【4】、信号处理【5】、小波分析【6】等。分形Fractal是非线性科学的一个重要分支,应用于自然科学和社会科学的众多领域7-9。1973年,数学家Mandelbrot在法兰西学院讲课时,首次提出了分形的思想。他给分形下的定义就是:一个集合形状,可以细分为假设干局部,而每一局部都是整
3、体的精确或不精确的相似形。分形的根本特征是具有标度不变性。其研究的图形是非常不规那么和不光滑的,已失去了通常的几何对称性。但是,在不同的尺度下进行观测时,分形几何学却具有尺度上的对称性或称标度不变性。分形图形是计算机图形学和分形理论相结合的产物,在电脑模拟研究具有分形特征物体的图像。分形的计算机生成问题具有明显的挑战性,它使传统数学中无法表达的形态如,山脉、花草等得以表达。分形图案在自然界真实物体模拟、仿真形体生成、计算机动画、艺术装饰纹理、图案设计和创意制作等具有广泛的应用价值。该文中利用强大的编程工具Matlab来实现Cantor集、Koch曲线、分形树图形,这对数学类、计算机图形学和相关
4、专业类研究人员有一定的参考价值。1Cantor集取一条长度为1的直线段,将它三等分,去掉中间一段,留剩下两段,再将剩下的两段再分别三等分,各去掉中间一段,剩下更短的四段,将这样的操作一直继续下去,直至无穷,由于在不断分割舍弃过程中,所形成的线段数目越来越多,长度越来越小,在极限的情况下,得到一个离散的点集,称为Cantor集。具体代码如下。functionf=cantorax,ay,bx,byc=0.2;d=2;ifbx-ax>cx=ax,bx;y=ay,by;holdon;plotx,y,LineWidth,5;holdoff;cx=ax+bx-ax/3;cy=ay-d;dx=bx-b
5、x-ax/3;dy=by-d;ay=ay-d;by=by-d;cantorax,ay,cx,cy;cantordx,dy,bx,by;endend执行cantor1,4,10,4,结果显示如图1。2Koch曲线Koch曲线,设想从一条直线段开始,将线段中间1/3局部用等边三角形的两条边代替,形成具有5个结点的图形,在新的图形中,又将图中每一直线段中间的1/3局部都用一等边三角形的两条边代替,再次形成新的图形,以此重复,直至无穷。外界的变得原来越细微曲折,形状接近理想化的雪花。具体代码如下。functionf=Kochax,ay,bx,by,cifbx-ax2+by-ay2x=ax,bx;y=a
6、y,by;plotx,y,LineWidth,2;axisequalholdon;elsecx=ax+bx-ax/3;cy=ay+by-ay/3;ex=bx-bx-ax/3;ey=by-by-ay/3;l=sqrtex-cx2+ey-cy2;alpha=ataney-cy/ex-cx;ifalpha>=0&ex-cxalpha=alpha+pi;enddy=cy+sinalpha+pi/3*l;dx=cx+cosalpha+pi/3*l;Kochax,ay,cx,cy,c;Kochex,ey,bx,by,c;Kochcx,cy,dx,dy,c;Kochdx,dy,ex,ey,c;
7、endend执行Koch0,0,120,0,10,结果显示如图2。3分形树一条线段,以线段的终点为起点向两边分出一定的角度、长度的两条线段,分出的线段的终点再做相同处理,以此类推,生成一种分形树。具体代码如下。functionfractaltreen,ax,ay,len,anglebx=ax+len*cosangle;by=ay+len*sinangle;plotax,bx,ay,by;angle1=pi/6;angle2=pi/9;holdonifn=0return;endfractaltreen-1,bx,by,0.6*len,angle+angle1;fractaltreen-1,bx,
8、by,0.7*len,angle-angle2;end執行fractaltree12,150,20,50,pi/2,结果显示如图3。4结语分形形态是自然界普遍存在的,研究分形,是探讨自然界的复杂事物的客观规律及其内在联系的需要。分形提供了描述自然形态的几何学方法,使得在计算机上可以从少量数据出发,对复杂的自然景物进行逼真的模拟,并启发人们利用分形技术对信息做大幅度的数据压缩。它以其独特的手段来解决整体与局部的关系问题,利用空间结构的对称性和自相似性,采用各种模拟真实图形的模型,使整个生成的景物呈现出细节的无穷回归的性质,丰富多彩,具有奇妙的艺术魅力。参考文献【1】姜健飞.数值分析及其MATLAB实验M.北京:清华大学出版社,2021.【2】史峰.MATLAB智能算法30个案例分析M.北京:北京航空航天大学出版社,2021.【3】张乐平,黄非,闵波,等.基于MATLAB生物信息学工具箱构建分子系统发生树J.医学信息学杂志,2021,316:34-37.【4】张林泉.MATLAB在统计学实验教学中的应用J.高师理科学刊,2021,311:84-87.【5】刘波,文忠.MATLAB信号处理M.北京:电子工业出版社,2021.【6】张德丰.MATLAB小波
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