第四章第三节可降阶的高阶微分方程

1、第四章第三节可降阶的高阶微分方程基本内容1型的微分方程：右端仅含有自变量，只要把作为新的未知函数两边积分，就得到一个阶的微分方程，连续积分次,便得到了方程的含有个任意常数的通解。2. 型的微分方程：右端不明显地含未知函数，作变量替换 ，则。方程可化为，这是一个关于变量的一阶微分方程，可求出其通解为。由,又得以一个一阶微分方程，其通解为。3. 型的微分方程：右端不明显地含自变量.作变量替换,利用复合函数求导法则,可将写成。方程可化为 。这是一个关于变量的一阶微分方程，通解为。分离变量，得到，两边同时积分得到方程的通解 。这便得到方程的通解.习题选解1. 求下列微分方程的通解：（1）解：积分得：，

2、再积分，得通解为：（2）解：积分得：，再积分，得通解为：（3）解：积分得：，再积分得：，再积分一次，得通解为：（4）解：设，则原方程可化为：，这是一阶非齐次线性方程，由求解公式，得：再积分，得：（5）解：设，则原方程可化为：，这是可分离变量微分方程，分离变量，得：，积分，得：，即=，（这里假设，另外一种情况要另行考虑）其中，对积分，得通解为：（6）解：设，则，原方程可以化为，这是一个可分离变量方程。分离变量，得：，两边积分，得：，即，这里假设，另外一种情况要另行考虑。从而可得：，再积分，得通解为：，即（7）解：设，则，原方程可以化为，分离变量，得：，积分，得：，从而，分离变量，得：，积分，得通

3、解为：，即，其中。（8）解：设，则，原方程可以化为=，分离变量，得：，积分，得：，解得，再分离变量，得：，积分，得通解为：，即，其中。2 求下列微分方程满足所给初始条件的特解（1），解：设，则原方程可化为：，即，这是贝努利方程，两边同时除以，得：，设，则，代入前一式，得：，这是一阶非齐次线性方程，代入，得，从而=，积分得：，代入，得，所以特解为（2），解：设，则，原方程可以化为：，分离变量，得：，积分得：，代入初始条件时，得，从而，积分，得，代入条件，得=，所以，特解为 （3）=，解：设，则，原方程可以化为：，分离变量，得：，积分，得：，代入初始条件时，得，从而，积分，得：，代入条件，得=，所

4、以，特解为：。（4），解：设，则，原方程可以化为：，分离变量，得：，积分，得：，代入初始条件时，得=，从而，分离变量，得：，积分，得：，代入条件，得：得=，所以特解为，即3设函数（）二阶可导，且，过曲线上任一点作该曲线的切线及轴的垂线，上述直线与轴所围成的三角形的面积为，区间上以为曲边的曲边梯形面积为，并设恒为，求此曲线的方程。解：因为曲线上点的切线方程为：，其中表示切线的坐标，令，得切线在轴上的截距为，由题意，有：，（因为），由，得：，再由条件，得，前式两边对求导，化简得：，设，则，方程可以化为：，分离变量，得：，积分，得：，代入初始条件时，得，从而，分离变量，得：，积分，得：，代入条件，得

5、=0，所以所求曲线为，即。第四章第四节二阶线性微分方程的一般理论基本内容1. 二阶线性微分方程：形如的微分方程称为二阶线性微分方程。当时，方程叫做齐次的；否则,方程叫做非齐次的. 2.线性齐次方程解的结构：如果函数与是方程的两个解，则也是方程(2)的解，其中是任意常数。3.线性齐次方程的通解结构定理：如果与是方程的两个线性无关的特解，则为方程的通解。4.非齐次方程解的结构：是非齐次方程的一个特解，是与对应的齐次方程的通解，则是二阶非齐次线性方程(1)的通解。5.特解性质：与分别是二阶非齐次线性微分方程与的特解,则是二阶非齐次线性微分方程 的特解。6.常数变易法习题选解1下列函数组在其定义区间内

6、哪些是线性无关的?（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）解：（1）线性无关（2）线性无关（3）线性无关（4）线性无关（5）线性无关（6）线性相关（7）线性无关（8）线性无关。2验证，都是方程解，并写出该方程的通解。 解：由，得，从而，所以是方程的解。再由，得，从而，即是方程的解。又，线性无关，所以方程的通解为，其中为两个任意常数。3验证，都是方程解,并写出该方程的通解。解：容易验证，都是方程的解，并且，线性无关，所以方程的通解为：，其中为两个任意常数。4验证是方程通解。解：因为，是齐次方程的解，并且，线性无关，所以+是齐次方程的通解，又是非齐次方程的一个特解，所以由非齐次方程解的结构

7、定理，得+是非齐次方程的通解。5设，都是方程的解,试证:为方程解。解：直接代入验证可得结论成立。6设都是方程解,求及方程的通解。解：因为函数是齐次方程的解，代入方程，得：，再将代入，得：。第四章第五节二阶常系数线性微分方程基本内容1.常系数齐次线性微分方程及特征方程：其中是常数,称之为二阶常系数齐次线性微分方程；代数方程称为的特征方程。2. 齐次线性微分方程的通解：特征方程的两个根微分方程 的通解两个不相等的实根 两个相等的实根 一对共轭复根 3.阶常系数齐次线性微分方程的解：称为阶常系数齐次线性微分方程其中为常数。其对应的特征方程为。根据特征方程的根可以写出对应方程的解为：特征方程的根微分方

8、程的通解中的对应项()单实根给出一项:()k重实根给出k项: ()一对单复根 给出二项:()一对k重共轭复根 4.常系数非齐次线性方程的通解：二阶常系数非齐次线性微分方程的通为对应的齐次方程的通解和非齐次方程本身的一个特解之和。5.二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解的方法：（1）,则二阶常系数非齐次线性微分方程具有形如的特解。其中是与同次的多项式, 按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为、或。（2），则方程具有形如的特解，其中是次的多项式，而按(或)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取为、或。 6. 欧拉方程：形如的方程称为欧拉方程（为常数）。习题选解1 求下列

9、各微分方程的通解（1）解：特征方程为：，微分方程的通解为（2）解：特征方程为：，微分方程的通解为（3）解：特征方程为：，微分方程的通解为（4）；解：特征方程为：，微分方程的通解为:（5）；解：特征方程为：，微分方程的通解为:（6）；解：特征方程为：，微分方程的通解为:2 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解（1）解：特征方程为：，解得：，微分方程的通解为:，从而，代入初始条件，得：，解得，所以特解为： （2）解：特征方程为：，解得：，微分方程的通解为:，从而，代入初始条件，得：，解得，所以特解为： （3）解：特征方程为：，解得：，微分方程的通解为:，从而，代入初始条件，得：，解得，所以特解为

10、： ，（4）解：特征方程为：，解得：，微分方程的通解为:， ，代入初始条件，得：，解得，所以特解为： 。3 求下列各微分方程的通解（1）解：先解对应的齐次微分方程的通解，特征方程为：，解得：，所以齐次微分方程的通解为：，不是特征方程的根。设原方程的特解为，代入原方程，可得，由非齐次方程解的结构定理，得原方程的通解为： （2）解：先解对应的齐次微分方程的通解，特征方程为：，解得：，所以齐次微分方程的通解为：，是特征方程的单根。设原方程的特解为，即，代入原方程，比较同次幂的系数，可得，。由非齐次方程解的结构定理，得原方程的通解为： （3）解：先解对应的齐次微分方程的通解，特征方程为：，解得：，所以

11、齐次微分方程的通解为：，不是特征方程的根。可设原方程的特解为，代入原方程，可得，。由非齐次方程解的结构定理，得原方程的通解为： （4）解：先解对应的齐次微分方程的通解，特征方程为：，解得：，所以齐次微分方程的通解为：，是特征方程的单根。可设原方程的特解为：，代入原方程，可得，由非齐次方程解的结构定理，得原方程的通解为。（5）解：先解对应的齐次微分方程的通解，特征方程为：，解得：，所以齐次微分方程的通解为：，然后解两个非齐次方程及的特解，对于，不是特征方程的根。可设其特解为：，代入方程，可得，所以方程的特解为，对于，是特征方程的单根。可设其特解为：，代入方程，可得，所以方程的特解为，由叠加原理，

12、是非齐次方程的特解，由非齐次方程解的结构定理，得原方程的通解为（6）解：先解对应的齐次微分方程的通解，特征方程为：，解得：，所以齐次微分方程的通解为：，原方程可以化为，然后解两个非齐次方程及的特解。对于，不是特征方程的根。可设其特解为，代入方程，可得，所以方程的特解为。对于，不是特征方程的根。可设其特解为：，代入方程，可得，所以方程的特解为，由叠加原理，是非齐次方程的特解，也即原方程的特解，由非齐次方程解的结构定理，得原方程的通解为4 求下列微分方程满足所给初始条件的特解（1），解：先解对应的齐次方程，特征方程为：，解得：，齐次方程的通解为：，不是特征方程的根。假设原方程的特解为，代入上式，得

13、：，解得，所以原方程的特解为，方程的通解为，代入初始条件，得。所求特解为 （2），解：先解对应的齐次方程，特征方程为：，解得：，齐次方程的通解为：，不是特征方程的根。假设原方程的特解为，代入上式，得：，解得。所以原方程的特解为，原方程的通解为：+，代入初始条件，得：。所求特解为（3），解：先解对应的齐次方程，特征方程为：，解得：，齐次方程的通解为：，不是特征方程的根。假设原方程的特解为，代入上式，解得，所以原方程的特解为，方程的通解为：，代入初始条件，得：。所求特解为 （4），解：先解对应的齐次方程，特征方程为：，解得：，齐次方程的通解为：，是特征方程的单根，所以可以假设原方程的特解为，代入上

14、式，解得，所以原方程的特解为，原方程的通解为： ，从而，代入初始条件，得：。所求特解为5求下列各欧拉方程的通解（1）解：设，则， ，得到，这里，。这是二阶常系数齐次方程，特征方程为，解得：，通解为，代入得原方程的通解为（2）解：设，则， ，得到：，这里，这是二阶常系数齐次方程，特征方程为，解得：，通解为，代入得原方程的通解为（3）解：设，则， ，得到：，这里，。这是二阶常系数非齐次线性方程，对应齐次方程的特征方程为，解得：，对应齐次方程的通解为，不是特征方程的根。设非齐次方程的一个特解为，代入=，解得，从而方程=的一个特解为，通解为+，代入得原方程的通解为：（4）解：设，则， ， 得到，这里，

15、。这是二阶常系数非齐次线性方程，对应齐次方程的特征方程为，解得：，对应齐次方程的通解为，不是特征方程的根。设非齐次方程的一个特解为，代入，解得，从而方程=的一个特解为。通解为+，代入得原方程的通解为6一链条悬挂在一钉子上，启动时一端离开钉子，另一端离开钉子，分别在以下两种情况下，求链条滑下来所需要的时间。（1）若不计钉子对链条所产生的摩擦力；（2）若摩擦力为链条一米长的重量。解：设链条每米的质量为，则总质量为20，取轴的坐标原点为链条最下端的端点，方向向下，则由牛顿第二运动定律，得：（1），其中为重力加速度，为时间，为时刻链条最下端离开原点的距离。即，并且有初始条件，这是一个二阶非齐次常系数线性方程，先解对应的齐次方程，对应齐次方程的特征方程为，解得：，对应齐次方程的通解为，设非齐次方程的一个特解为，代入，解得，从而原方程的一个特解为、通解为，代入初始条件，得，原方程的特解为。链条滑下来所走过的距离为8m，把代入上式，解得所需时间为：。（2），其中为重力加速度，为时间，为时刻链条最下端离开原点的距离。即，并且有初始条件，这是一个二阶非齐次常系数线性方程，先解对应的齐次方程，对应齐次方程的特