[理学]第二节二重积分的计算ppt课件

1、假设积分区域假设积分区域 D 为：为：),()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上延续上延续.)(1x )(2x ,ba第二节第二节 二重积分的计算二重积分的计算一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分X型区域型区域)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy . bxa X X型区域的特点：型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y y轴的直线与区域边境相交不多于两个交点轴的直线与区域边境相交不多于两个交点. .运用计算运用计算“平行截面平行截面面积为知的立体求面积为知的立体求体积的方法体积的方法,zyx)(xA),( yxfz)(1xy

2、)(2xy得得abx根据二重积分的几何意义根据二重积分的几何意义, ,当当 时时, ,Dyxyxf ),( , 0),(曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积为为顶顶的的为为底底，以以曲曲面面等等于于以以),(),(yxfzDdyxfD Dyyxfxxd),()()(21baxdDyxyxfdd),(yyxfxAxxd),()()()(21 baxxAd)(.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 假设积分区域假设积分区域 D 为：为：),()(21yxy Y型区域型区域)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D.dyc Y Y型区域的特点：穿过区域且平行于型区域的

3、特点：穿过区域且平行于x x轴的直线与区域边境相交不多于两个交轴的直线与区域边境相交不多于两个交点点. .当被积函数当被积函数),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非负均非负DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在在D上变号时上变号时,因此上面讨论的二次积分法依然有效因此上面讨论的二次积分法依然有效 .由于由于Dyxyxfdd),(2oxy阐明阐明: (1) 假设积分区域既是假设积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区型区域域 , Dyxyxfdd),(为计算方便为计算方便,可选择积分序可选择积分序, 必要时还可以交

4、换积分序必要时还可以交换积分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc那么那么有有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 假设积分域较复杂,可将它分成假设干1D2D3DX-型域或型域或Y-型域型域 , 321DDDD那么那么 例例1.1, 0,)2(22所围所围由由其中其中计算二重积分计算二重积分 xyxyDdyxID oxy12xy 20210)2(xdyyxdxI 100222| )(dxyyxx 1042dxx.52 1210)2(ydxyxdyI 1013| )231(dyxyxy 102/3)37231(dyyy.

5、52)151431(102/52 yyy留意两种积分次序的留意两种积分次序的 计算效果！计算效果！解解1. 将将D看作看作X型区域型区域, 那么那么解解2. 将将D看作看作Y型区域型区域, 那么那么例例2. 计算计算,d Dyx 其中其中D 是抛物线是抛物线xy 2所围成的闭区域所围成的闭区域. 解解: 为计算简便为计算简便, 先对先对 x 后对后对 y 积分积分, 212:2yyxyD 2212ddyyxyxy Dyx d 2122d212yyxyy 2152d)2(21yyyy 12612344216234 yyyy845 Dxy22 xy214oyx2 xy及直线及直线那么那么 D例例3

6、 3解解围成围成由由其中其中计算计算2,1,.22 xxyxyDdyxD X-型型 xxDdyyxdxdyx1222122 2112)(dxyxxx 213)(dxxx.49 . 21,1: xxyxD例例4.,sin所围所围由由其中其中计算二重积分计算二重积分xyxyDdyyID oxy1xy 解解)(积积分分次次序序计计算算后后按按先先xy xxdyyydxIsin10 xy 积不出的积分，无法计算。积不出的积分，无法计算。),(积积分分次次序序计计算算后后按按先先改改变变积积分分次次序序yx yydxyydyI2sin10 102)(sindyyyyy 1010sinsinydyyydy

7、. 1sin1)1sin1(cos1cos1 1 由以上几例可见，为了使二重积分的计算较为由以上几例可见，为了使二重积分的计算较为简便，终究选用哪一种积分次序主要由积分区域的简便，终究选用哪一种积分次序主要由积分区域的特点来确定，同时还要兼顾被积函数的特点，看被特点来确定，同时还要兼顾被积函数的特点，看被积函数对哪一个变量较容易积分，总之要兼顾积分积函数对哪一个变量较容易积分，总之要兼顾积分区域和被积函数的特点。区域和被积函数的特点。 有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺还需交换积分顺序序.例例5. 交换以下积分顺序交换以下积分顺序22802222020d),(d

8、d),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 积分域由两部分组成积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD将:D视为视为Y型区域型区域 , 那那么么282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dyxy 222xxy 解解: 积分域由两部分组成积分域由两部分组成:,1020:21 xxxyDD1D2 2120:2xxyD21DDD 将将视为视为Y型区域型区域 , 那那么么,10211:2 yyxyD)0( .),(22202 adyyxfdxIaxxaxa更更换换积积分分次次序序例例7

9、 7解解 ,22,20:2axyxaxaxD,321三三部部分分及及分分成成将将积积分分区区域域DDDD2D1D3D;0,2:2221ayyaaxayD ;2,22:22ayaaxayD ;0,2:223ayaxyaaD .),(),(),(2022220222222 ayaaaaayaayaaayadxyxfdydxyxfdydxyxfdyI故故解解 dyey2无无法法用用初初等等函函数数表表示示 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e duueu 1061解解 dxexy不能用初等

10、函数表示不能用初等函数表示先先改改变变积积分分次次序序. 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy xxxydyedxI2211 化二重积分为二次积分时选择积分次序的重化二重积分为二次积分时选择积分次序的重要性，有些标题两种积分次序在计算上难易程度差要性，有些标题两种积分次序在计算上难易程度差别不大，有些标题在计算上差别很大，甚至有些题别不大，有些标题在计算上差别很大，甚至有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出来来. 另外交换二次积分的次序：先由二次积分找另外交换二次积分的次序：先由二次积分找出二重积分的积分区域，画出积分区域，

11、再交换积出二重积分的积分区域，画出积分区域，再交换积分次序，写出另一种次序下的二次积分分次序，写出另一种次序下的二次积分.以上各例阐明以上各例阐明xyo D性质性质: : 设函数设函数),(yxfD 位于位于 x 轴上方的部分为轴上方的部分为D1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于当区域关于 y 轴对称轴对称, 函数关于变量函数关于变量 x 有奇偶性时有奇偶性时, 1D在在 D 上上d),(21Dyxf在闭区域上延续在闭区域上延续, 域域 D 关于关于x 轴轴那么那么那么那么仍有类似结果仍有类似结果. .在第一象限部

12、分在第一象限部分, 那么那么有有1:,221 yxDD 为圆域如 Dyxyxdd)(22 Dyxyxdd)( 1dd)(422Dyxyx0 对称对称 , DDyxyyxxdddd例例10. 计算计算,dd)1ln(2yxyyxID其中其中D 由由,42xy1,3xxy所围成所围成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如下图)显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224例例11. 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积的直角圆柱面所

13、围的体积.xyzRRo解解: 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性利用对称性, 思索第一卦限部分思索第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为那么所求体积为那么所求体积为yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxD解解曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图. 1010)(xdyxyyxdx 103)1(21)1(dxxxx.247 , 10 yx,xyyx 二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式在积分中要正确选择积分次序在积

14、分中要正确选择积分次序小结小结.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型型X型型思索与练习思索与练习1. 设, 1 ,0)(Cxf且且,d)(10Axxf求求.d)()(d110yyfxfxIx解解:交换积分顺序后交换积分顺序后, x , y互互换换oyx1xy 1yxIxyfxfdyyd)()(010 yxfyfdxxd)()(010 I2yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A2 2解解. 10, 11:.2

15、yxDdxyD其其中中计计算算 1D2D3D先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图 dxydyxdxyDDDD 321)()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 yxeyxDyxdd122o1yx11D2Dxyxy , xy将将D 分为分为,21DDyxxIDdd2yxeyxDyxdd22200dd1112 xyxx320112 dxx添加辅助线添加辅助线利用对称性利用对称性 , 得得3. 计算二重积分,dd)(222yxeyxxIyxD解解: :积分域如图积分域如图, ,其中其中 D由直线1,1,xyxy围成围成 . 112)1(dxxx，上上连

16、连续续在在设设,)(. 4baxf证明证明 babaxxfabxxfd)()(d)(22证证: :左端左端yyfxxfbabad)(d)( yxyfxfDdd)()( yxyfxfDdd)()(2122 yyfxxxfybabababad)(dd)(d2122 ydyfxdxfabbaba)()(222 xdxfabba)()(2 byabxaD:5.)()(1)( )(2abdxxfdxxfxfbaba 为为正正的的连连续续函函数数，则则证证明明：设设证证: :左端左端yyfxxfbabad)(1d)( yxyfxfDdd)()( byabxaD:yxxfyfyfxfDdd)()()()(2

17、1 yxxfyfyfxfDdd)()()()( 2)(dd1abyxD yxxfyfDdd)()( 一、一、 填空题填空题: : 1 1、 Ddyyxx )3(323_._.其中其中 . 10 , 10: yxD 2 2、 Ddyxx )cos(_._.其中其中D是顶是顶 点分别为点分别为 )0 , 0(，)0 ,( ，),( 的三角形闭区域的三角形闭区域 . . 3 3、将二重积分、将二重积分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由是由x轴及半圆周轴及半圆周)0(222 yryx所围成的闭区域所围成的闭区域, ,化为先对化为先对y后对后对x的二次积分的二次积分, ,应为应为_._.练练 习习

18、 题题 4 4、将二重积分、将二重积分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由直线是由直线 2, xxy及双曲线及双曲线)0(1 xxy所围成的闭区所围成的闭区 域域, ,化为先对化为先对x后对后对y的二次积分的二次积分, ,应为应为 _. _. 5 5、将二次积分、将二次积分 22221),(xxxdyyxfdx改换积分次序改换积分次序, , 应为应为_._. 6 6、将二次积分、将二次积分 xxdyyxfdxsin2sin0),( 改换积分次序改换积分次序, , 应为应为_._. 7 7、将二次积分、将二次积分 2ln1),(2yedxyxfdy 2)1(2112),(ydxyxfdy改换

19、积分次序改换积分次序, , 应为应为_._.二、画出积分区域二、画出积分区域, ,并计算下列二重积分并计算下列二重积分: : 1 1、 Dyxde , ,其中其中D是由是由1 yx所确定的闭区域所确定的闭区域. . 2 2、 Ddxyx )(22其中其中D是由直线是由直线 xyxyy2, 2 及及所围成的闭区域所围成的闭区域. . 3 3、 xDdyyxxydxdyxf020)(2(cos),( 。4 4、,2 Ddxdyxy其其中中D: : 20 , 11 yx. .三、设平面薄片所占的闭区域三、设平面薄片所占的闭区域D由直线由直线, 2 yxxy 和和x轴所围成轴所围成, ,它的面密度它的

20、面密度22),(yxyx , ,求该求该薄片的质量薄片的质量 . .四、四、 求由曲面求由曲面222yxz 及及2226yxz , ,所围成的所围成的立体的体积立体的体积 . .一、一、1 1、1 1； 2 2、23 ；3 3、 220),(xrrrdyyxfdx；4 4、 22121121),(),(yydxyxfdydxyxfdy；5 5、 211210),(yydxyxfdy；6 6、 yyydxyxfdydxyxfdyarcsinarcsin10arcsin201),(),( ； 7 7、 21120),(xexdyyxfdx. .练习题答案练习题答案二二、1 1、1 ee； 2 2、

21、613； 3 3、 ； 4 4、235 . .三三、34. .四四、 6. .AoDrd.)sin,cos(),( DDrdrdrrfdyxf 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分drd sin,cosryrx rdrdd 面面积积元元素素.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos( 设设 D :. ),()(21 rAoD)(1r)(2r那么那么假设假设 f 1 那么可求得那么可求得D 的面积的面积 Drdrd )()(21 rdrd d)()(212122AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrr

22、fd特别特别,假设假设D:. ),(0 r Drdrdrrf )sin,cos(那么那么DoA)(rD:),(0 r.2 0 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd进一步进一步,假设假设那么那么例例 1 1 写写出出积积分分 Ddxdyyxf),(的的极极坐坐标标二二次次积积分分形形式式，其其中中积积分分区区域域,11| ),(2xyxyxD 10 x.1 yx122 yx解解在极坐标系下在极坐标系下 sincosryrx所所以以圆圆方方程程为为 1 r,直直线线方方程程为为 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201co

23、ssin1 rdrrrfd例例2. 计算计算,dd22Dyxyxe其中其中.:222ayxD解解: 在极坐标系下在极坐标系下,200:arD原式原式Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数 , 故此题无法用直角故此题无法用直角2reddrr20d由于由于故故坐标计算坐标计算.注注:利用例利用例2可得到一个在概率论与数理统计及工程上可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式非常有用的反常积分公式2d02 xex现实上现实上, 当当D 为为 R2 时时, Dyxyxedd22 yexeyxdd2220d42 xex利用例利用例2的

24、结果的结果, 得得)1(limd42220aaxexe 故式成立故式成立 .解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy解解由由对对称称性性，可可只只考考虑虑第第一一象象限限部部分分， 注注意意：被被积积函函数数也也要要有有对对称称性性. Ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd. 4 14DD 1D解解根根据据对对称称性性有有 14DD 在在极极坐坐标标系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2

25、ar ,222arayx 1D由由 arar 2cos2, 得得交交点点)6,( aA, 所所求求面面积积 Ddxdy 14Ddxdy 2cos2064aardrd).33(2 aA例例6. 求球体求球体22224azyx被圆柱面被圆柱面xayx222)0( a所截得的所截得的(含在柱面内的含在柱面内的)立体的体积立体的体积. 解解: 设设由对称性可知由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323aoxyza2二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式在积分中留意运用对称性在积分中

26、留意运用对称性小结小结 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd 1. 计算二重积分,dd)(222yxeyxxIyxD其中其中 D为圆域为圆域.122 yx解解: 利用对称性利用对称性.yox1DyxxIDdd20dd)(2122yxyxD10320dd21rr4yxeyxDyxdd22思索与练习思索与练习2.解解）所所围围的的面面积积（取取圆圆外外部部和和圆圆是是由由心心脏脏线线其其中中计计算算ararDdyxD )cos1(.22 )cos1(2222aaDrdrrddyx 22331)cos1(31da).2922(3 a一、一、 填空题填空题: :1 1、 将将 Ddxdyyxf),(, ,D为为xyx222 , ,表示为极坐表示为极坐标形式的二次积分标形式的二次积分, ,为为_._.2 2、 将将 Ddxdyyxf),(, ,D为为xy 10, ,10 x, ,表表示为极坐标形式的二次积分为示为极坐标形式的二次积分为_._.3 3、 将将 xxdyyxfdx32220)(化为极坐标形式的二化为极坐标形式的二次积分为次积分为_._.4 4、 将将 2010),(xdyyxfdx化为极坐标形式的二次积分化为极坐标形式的二次积分为为_._.练