非线性控制系统分析

1、第九章第九章 非线性系统理论非线性系统理论9.1 基本概念基本概念非线性是指元件或环节的静特性不是按线性规律变化，即输非线性是指元件或环节的静特性不是按线性规律变化，即输入输出静特性不是一条直线。入输出静特性不是一条直线。如果一个控制系统，包含一个或一个以上具有非线性的元件如果一个控制系统，包含一个或一个以上具有非线性的元件或环节，称这样的系统为非线性系统。或环节，称这样的系统为非线性系统。线性系统的数学模型是线性微分方程。非线性系统的数学模型线性系统的数学模型是线性微分方程。非线性系统的数学模型是非线性微分方程。两者的区别是非线性系统不满足齐次性和是非线性微分方程。两者的区别是非线性系统不满

2、足齐次性和可叠加性。可叠加性。10.1.1 一些常见的非线性特性一些常见的非线性特性1、不灵敏区、不灵敏区ry如汽车的油门、离合器等。如汽车的油门、离合器等。2、饱和、饱和限幅限幅ry如如PI调解器的输出等。调解器的输出等。3、间隙、间隙回环回环如齿轮等。如齿轮等。r：主动轮位移；：主动轮位移；y：从动轮位移。：从动轮位移。ry4、继电器特性、继电器特性如继电器如继电器r：线圈电流；：线圈电流； y：触头位移。：触头位移。 ry5、摩擦、摩擦摩擦力与速度相反。摩擦力与速度相反。ry速度摩擦力9.1.2 非线性的特点非线性的特点1、不具有齐次性和可叠加性、不具有齐次性和可叠加性线性系统对阶跃输入

3、信号的响应曲线特性不因输入幅值的变线性系统对阶跃输入信号的响应曲线特性不因输入幅值的变化而变化，如超调量、调节时间等。化而变化，如超调量、调节时间等。非线性系统对阶跃输入信号的响应曲线特性却因输入幅值的非线性系统对阶跃输入信号的响应曲线特性却因输入幅值的变化而不同。变化而不同。线性系统的超调量和调节时间，不会因初始状态不同而改变，线性系统的超调量和调节时间，不会因初始状态不同而改变，它们是由系统本身参数决定的；而非线性系统的超调量和调它们是由系统本身参数决定的；而非线性系统的超调量和调节时间，会因初始状态不同而改变。节时间，会因初始状态不同而改变。2、稳定性、稳定性对于线性定常系统，当对于线性

4、定常系统，当A非奇异时，只有唯一的平衡状态非奇异时，只有唯一的平衡状态xe=0,当当xe=0稳定时，系统就是稳定的，并与外输入和初始状态无稳定时，系统就是稳定的，并与外输入和初始状态无关，只由系统参数决定。关，只由系统参数决定。非线性系统可有多个平衡状态，可能某些平衡状态是稳定的，非线性系统可有多个平衡状态，可能某些平衡状态是稳定的，而另一些平衡状态却是不稳定的。初始条件不同，系统的运动而另一些平衡状态却是不稳定的。初始条件不同，系统的运动可能趋于不同的平衡状态，稳定性也就随之不同，所以非线性可能趋于不同的平衡状态，稳定性也就随之不同，所以非线性系统的稳定性不仅与系统参数有关，而且与初始条件有

5、关。系统的稳定性不仅与系统参数有关，而且与初始条件有关。3、自激振荡、自激振荡自激振荡是非线性系统的特有性质。原因是由于系统中的非线自激振荡是非线性系统的特有性质。原因是由于系统中的非线性作用，使得系统周期性地从外部获取能量或向外部释放能量，性作用，使得系统周期性地从外部获取能量或向外部释放能量，从而维持周期性的运动。从而维持周期性的运动。线性系统在临界不稳定时，出现无衰减振荡情况，但在现实中线性系统在临界不稳定时，出现无衰减振荡情况，但在现实中不会出现，因为现实中有参数变化，有外界扰动等情况，会破不会出现，因为现实中有参数变化，有外界扰动等情况，会破坏振荡情况的出现，所以说线性系统中的自激振

6、荡是不稳定的。坏振荡情况的出现，所以说线性系统中的自激振荡是不稳定的。而非线性系统可以保持自激振荡状态而非线性系统可以保持自激振荡状态 。4、畸变现象、畸变现象线性系统在正弦信号作用下，稳态输出是与输入同频率的正弦线性系统在正弦信号作用下，稳态输出是与输入同频率的正弦信号。信号。非线性系统在正弦信号作用下，稳态输出不是与输入同频率的非线性系统在正弦信号作用下，稳态输出不是与输入同频率的正弦信号，是包含有倍频和分频等各种谐波分量的畸变信号。正弦信号，是包含有倍频和分频等各种谐波分量的畸变信号。9.2 二阶系统的相平面分析二阶系统的相平面分析时域分析时域分析 9.2.1 基本概念基本概念相平面法由

7、庞加莱于相平面法由庞加莱于1885年首次提出，相平面法只是分析二阶年首次提出，相平面法只是分析二阶非线性系统的图示方法，通过对应于各种初始条件下的运动轨非线性系统的图示方法，通过对应于各种初始条件下的运动轨迹，判断系统固有的动、静态特性。相当于研究零输入时的运迹，判断系统固有的动、静态特性。相当于研究零输入时的运动轨迹。动轨迹。对于不显含时间的自治方程，二阶系统可用下列常微分方程表对于不显含时间的自治方程，二阶系统可用下列常微分方程表示示),(xxfx 式中式中 是是 和和 的线性或非线性函数，该方程的的线性或非线性函数，该方程的解可用解可用 x(t) 和和 t 的关系曲线描述，也可以将的关系

8、曲线描述，也可以将 t 作为参变量，用作为参变量，用 和和 关系曲线描述，后者称为相平面法。关系曲线描述，后者称为相平面法。 和和 称为相变量或状态变量。称为相变量或状态变量。),(xxf)(tx)(tx )(tx )(tx)(tx )(tx如果如果 是运动方程，则是运动方程，则 表示位置，表示位置， 表示表示速度。速度。),(xxfx )(tx)(tx 1、对于二阶系统，有、对于二阶系统，有 x1 和和 x2 两个状态变量。设两个状态变量。设1xx 21xxx 因为状态变量不唯一，这样设不失一般性。因为状态变量不唯一，这样设不失一般性。2、以、以 为横坐标，为横坐标， 为纵坐标所组成的直角坐

9、标系称为为纵坐标所组成的直角坐标系称为相平面。相平面。 )(tx)(tx 3、在某时刻、在某时刻 t ， 和和 对应于相平面上的点叫相点，它对应于相平面上的点叫相点，它代表了系统在该时刻的状态，初始相点用代表了系统在该时刻的状态，初始相点用 表示。表示。)(tx)(tx 00,xx4、随着时间的推移，相点连成一条线，此线称为相轨迹。相、随着时间的推移，相点连成一条线，此线称为相轨迹。相轨迹上有箭头，表示时间增加时，相点运动的方向。轨迹上有箭头，表示时间增加时，相点运动的方向。5、每一个初始状态对应一条相轨迹，多个初始状态对应一簇、每一个初始状态对应一条相轨迹，多个初始状态对应一簇相轨迹，这种图

10、像叫相平面图。相轨迹，这种图像叫相平面图。6、用相平面图分析系统性能的方法叫相平面法。只能研究二阶、用相平面图分析系统性能的方法叫相平面法。只能研究二阶系统。系统。对于下面用微分方程描述的二阶系统，可以表示成两个一阶对于下面用微分方程描述的二阶系统，可以表示成两个一阶微分方程，即状态方程微分方程，即状态方程 0),(),(01xxxaxxxax xxxx21设状态变量为设状态变量为 则状态方程为则状态方程为),(),(21222111xxfxxxfx22111210221),(),(-xxxaxxxaxxx写成一般形式写成一般形式用用 x2 对对 x1 的关系曲线来表示状态方程的解。的关系曲线

11、来表示状态方程的解。10.2.2相平面图的建立相平面图的建立对于微分方程对于微分方程 ),(xxfx xxxx21设设 建立相平面：用横轴表示建立相平面：用横轴表示x1，纵轴表示，纵轴表示x2 。则状态方程为则状态方程为),(21221xxfxxx则则 212112112221),(xdxdxxdxdxdtdxdxdxdtdxxxf可以写成可以写成12122),(dxxxfdxx22112),(xxxfdxdx上式称为相轨迹方程。上式称为相轨迹方程。对于一个初始状态，相轨迹方程在相平面上对应一条相轨迹曲对于一个初始状态，相轨迹方程在相平面上对应一条相轨迹曲线，对于多个初始状态，相轨迹方程在相平

12、面上则对应一簇相线，对于多个初始状态，相轨迹方程在相平面上则对应一簇相轨迹曲线。轨迹曲线。x1和和x2的关系曲线称为相轨迹，则相轨迹方程表示的是相轨迹的关系曲线称为相轨迹，则相轨迹方程表示的是相轨迹的斜率，因此也称相轨迹方程为斜率方程。的斜率，因此也称相轨迹方程为斜率方程。注意：线性系统的响应不随初始状态不同而变化。注意：线性系统的响应不随初始状态不同而变化。10.2.3 相轨迹的特点相轨迹的特点 1、孤立的平衡状态称为奇点，在奇点上相轨迹曲线相交。、孤立的平衡状态称为奇点，在奇点上相轨迹曲线相交。在奇点处在奇点处0),(021221xxfxxx相轨迹在奇点处的切线斜率不定，表明系统在奇点处可

13、以按任相轨迹在奇点处的切线斜率不定，表明系统在奇点处可以按任意方向趋近或离开奇点，因此，在奇点上相轨迹曲线相交。而意方向趋近或离开奇点，因此，在奇点上相轨迹曲线相交。而在非奇点处不存在切线斜率不定的情况，故经过普通点的相轨在非奇点处不存在切线斜率不定的情况，故经过普通点的相轨迹只有一条。迹只有一条。0012dxdx3、在上半相平面，、在上半相平面， ，表示，表示x(t)是递增的，所以曲线的方是递增的，所以曲线的方向是由左向右的方向。而在下半相平面，向是由左向右的方向。而在下半相平面， ，表示，表示x(t)是是递减的，所以曲线的方向是由右向左的方向。递减的，所以曲线的方向是由右向左的方向。0 x

14、 0 x 4、 时，即相轨迹曲线与横轴交点处，相轨迹垂直于横时，即相轨迹曲线与横轴交点处，相轨迹垂直于横轴。轴。0 x 5、由相平面图可以求系统时间响应。、由相平面图可以求系统时间响应。 2、除奇点外，相轨迹具有单值性，不相交。、除奇点外，相轨迹具有单值性，不相交。例：运动方程为例：运动方程为 02xxn 画相平面图，分析时间响应。画相平面图，分析时间响应。解：解： 设设 1xx 2xx 122121xxdxdxxxn 则则 可以写成可以写成11222dxxdxxn两边积分得两边积分得 212222121xcxnc 为初始条件产生的常数，上式变形为为初始条件产生的常数，上式变形为2222212

15、nncxx依依 c 的不同，上述方程式对应的相轨迹是一簇椭圆如图所示。的不同，上述方程式对应的相轨迹是一簇椭圆如图所示。以以 A 点做为初始状态的时间响应如图所示。画法是将输出点做为初始状态的时间响应如图所示。画法是将输出x画画在与在与x1平行的位置，依平行的位置，依x1值的变化，考虑时间因素，可画出时值的变化，考虑时间因素，可画出时间响应。间响应。t1x2xxtxA6、奇线、奇线-极限环极限环 非线性系统存在自振情况（固定频率和振幅），与自振情况相非线性系统存在自振情况（固定频率和振幅），与自振情况相对应，在相平面上会出现一条孤立的封闭曲线，称为极限环。对应，在相平面上会出现一条孤立的封闭曲

16、线，称为极限环。也就是当系统运行在极限环上时，处于自激振荡状态。也就是当系统运行在极限环上时，处于自激振荡状态。无外界扰动时，极限环把相平面分成内外两部分，相轨迹不能无外界扰动时，极限环把相平面分成内外两部分，相轨迹不能穿越极限环，从一部分进入另一部分。穿越极限环，从一部分进入另一部分。奇线是一种特殊相轨迹，它是相平面图中具有不同性质的相轨奇线是一种特殊相轨迹，它是相平面图中具有不同性质的相轨迹的分界线，将相平面划分为两个不同性质的运动区域，也称迹的分界线，将相平面划分为两个不同性质的运动区域，也称为分割线。最常见的奇线是极限环。为分割线。最常见的奇线是极限环。封闭的相轨迹表示系统有周期运动，

17、但周期运动不一定是自激封闭的相轨迹表示系统有周期运动，但周期运动不一定是自激振荡，即封闭的相轨迹不一定是极限环。只有孤立的封闭曲线振荡，即封闭的相轨迹不一定是极限环。只有孤立的封闭曲线才是极限环。才是极限环。极限环附近的相轨迹会趋向极限环或离开极限环，而非极限环极限环附近的相轨迹会趋向极限环或离开极限环，而非极限环的封闭相轨迹不具有这个性质。的封闭相轨迹不具有这个性质。极限环具有封闭性和孤立性，前者表明极限环的周期运动性质，极限环具有封闭性和孤立性，前者表明极限环的周期运动性质，后者表明极限环的极限性质。后者表明极限环的极限性质。依附近相轨迹的特点，将极限环分为三种类型：依附近相轨迹的特点，将

18、极限环分为三种类型：第一种：稳定的极限环第一种：稳定的极限环当当t时，如果起始于极限环内部或外部的相轨迹卷向极限时，如果起始于极限环内部或外部的相轨迹卷向极限环，则该极限环叫稳定极限环。环，则该极限环叫稳定极限环。此时，内部相轨迹发散至极限环，内部区域为不稳定区域。外此时，内部相轨迹发散至极限环，内部区域为不稳定区域。外部相轨迹收敛至极限环，外部区域为稳定区域。部相轨迹收敛至极限环，外部区域为稳定区域。系统的运动表现为自振荡，且与初始状态无关，只与参数有关。系统的运动表现为自振荡，且与初始状态无关，只与参数有关。因为极限环本身就是自振荡的描述，即有稳定的极限环必存在因为极限环本身就是自振荡的描

19、述，即有稳定的极限环必存在自振荡。自振荡。 xxax tbba第二种：不稳定的极限环第二种：不稳定的极限环当当t时，如果起始于极限环内部或外部的相轨迹均卷离极限时，如果起始于极限环内部或外部的相轨迹均卷离极限环，则该极限环叫不稳定极限环。环，则该极限环叫不稳定极限环。此时，内部相轨迹收敛至环内的奇点，内部区域为稳定区域。此时，内部相轨迹收敛至环内的奇点，内部区域为稳定区域。外部相轨迹发散至无穷远处，外部区域为不稳定区域。外部相轨迹发散至无穷远处，外部区域为不稳定区域。系统的运动表现为不稳定，不是收敛就是发散，随着初始状态系统的运动表现为不稳定，不是收敛就是发散，随着初始状态不同而不同。初始状态

20、处于极限环内系统收敛，初始状态处于不同而不同。初始状态处于极限环内系统收敛，初始状态处于极限环外系统发散。极限环外系统发散。xx txabba第三种：半稳定的极限环第三种：半稳定的极限环当时，如果起始于极限环内部（或外部）的相轨迹均卷向极限当时，如果起始于极限环内部（或外部）的相轨迹均卷向极限环，而起始于极限环外部（或内部）的相轨迹均离开极限环，环，而起始于极限环外部（或内部）的相轨迹均离开极限环，则该极限环叫半稳定极限环。则该极限环叫半稳定极限环。此时，有两种情况：此时，有两种情况：1、内部和外部区域都为稳定区域，系统运动是稳定的。系统、内部和外部区域都为稳定区域，系统运动是稳定的。系统处于

21、环外时，会趋于极限环，在扰动作用下进入极限环，处于环外时，会趋于极限环，在扰动作用下进入极限环，最后趋于奇点，稳定运行。最后趋于奇点，稳定运行。x tbbaxxa2、内部和外部区域都为不稳定区域。系统运动是不稳定的。、内部和外部区域都为不稳定区域。系统运动是不稳定的。xb xtabax 10.3描述函数法描述函数法频域分析频域分析主要用于分析系统的稳定性，求系统的振荡频率和振幅。非线主要用于分析系统的稳定性，求系统的振荡频率和振幅。非线性系统的稳定性可用李亚普诺夫稳定理论来分析，此处介绍另性系统的稳定性可用李亚普诺夫稳定理论来分析，此处介绍另一种分析方法。一种分析方法。10.3.1基本概念基本

22、概念1、限制条件、限制条件第一、非线性系统结构图可以简化为只有一个非线性环节第一、非线性系统结构图可以简化为只有一个非线性环节N和和一个线性环节一个线性环节G(s)相串联的典型形式。相串联的典型形式。第二、非线性环节的输入输出特性是奇对称的，即第二、非线性环节的输入输出特性是奇对称的，即-)(sG)(tx)(trN)(ty)(tc)()(xyxy这样的非线性特性可以保证在正弦信号作用下，输出信号不包这样的非线性特性可以保证在正弦信号作用下，输出信号不包含恒定分量，即平均值为零。含恒定分量，即平均值为零。第三、线性部分具有较好的低通滤波性能。这样，非线性环节第三、线性部分具有较好的低通滤波性能。

23、这样，非线性环节的输入是正弦信号时，输出信号中的高次谐波分量将被大大地的输入是正弦信号时，输出信号中的高次谐波分量将被大大地削弱，近似只有一次谐波可以通过。削弱，近似只有一次谐波可以通过。由于线性环节没有高次谐波通路，所以由于线性环节没有高次谐波通路，所以y(t)处就没有了高次谐处就没有了高次谐波，或者说，由于线性滤波作用，可以认为整个系统就不含高波，或者说，由于线性滤波作用，可以认为整个系统就不含高次谐波。次谐波。2、描述函数的定义、描述函数的定义 在一定假设条件下，将非线性环节在正弦信号作用下的输出信在一定假设条件下，将非线性环节在正弦信号作用下的输出信号用一次谐波信号来近似，并导出非线性

24、环节的等效频率特性，号用一次谐波信号来近似，并导出非线性环节的等效频率特性，这个等效频率特性称为描述函数。这个等效频率特性称为描述函数。设输入信号为设输入信号为 tAtxsin)(一般情况下，非线性环节的输出是与输入同频率的非正弦周期一般情况下，非线性环节的输出是与输入同频率的非正弦周期函数，可以展成付氏级数：函数，可以展成付氏级数：10)sincos()(nnntnBtnAAtyA0：直流分量；：直流分量； An和和Bn：各次谐波的幅值。：各次谐波的幅值。 依第二个条件得：依第二个条件得： 依第三个条件可近似为依第三个条件可近似为00A)()(1tytytBtAsincos11)sin(11

25、tY式中式中 21211BAY201)(cos)(1ttdtyA201)(sin)(1ttdtyB111arctanBA这时输出近似成一个与输入信号同频率的正弦信号，只不过幅这时输出近似成一个与输入信号同频率的正弦信号，只不过幅值和相位不同罢了。把输出信号一次谐波分量对应的复数和输值和相位不同罢了。把输出信号一次谐波分量对应的复数和输入信号对应的复数之比定义为非线性环节的描述函数。入信号对应的复数之比定义为非线性环节的描述函数。用用 N(A) 表示。表示。输入信号输入信号 对应的复数为对应的复数为tAtxsin)(tjtAAetjsincos输出信号输出信号 对应的复数为对应的复数为)sin(

26、)(11tYty)(11tjeYN(A)是输入信号幅值是输入信号幅值A的函数，是个复数，形式上与频率特性的函数，是个复数，形式上与频率特性相同。当非线性环节含有储能元件时，相同。当非线性环节含有储能元件时， N(A)也是输入信号频也是输入信号频率率的函数，应表示为的函数，应表示为N(A ,) 。但实际上大多数非线性环节。但实际上大多数非线性环节不含储能元件，所以常见的非线性环节的描述函数用不含储能元件，所以常见的非线性环节的描述函数用N(A)表示。表示。 1111arctan21211)(1)()()(BAjjtjtjANjeABAeAYAeeYeANAN非线性系统的描述函数相当于线性系统的频

27、率特性。从描述函非线性系统的描述函数相当于线性系统的频率特性。从描述函数数N(A)的表达式可以看出，当输入为正弦信号时，输出信号与的表达式可以看出，当输入为正弦信号时，输出信号与输入信号只是幅值与初始相位不同。也就是说，能用描述函数输入信号只是幅值与初始相位不同。也就是说，能用描述函数表示的系统，可以看作是线性系统。表示的系统，可以看作是线性系统。描述函数法的实质是一种谐波线性化方法，其基本思想是用非描述函数法的实质是一种谐波线性化方法，其基本思想是用非线性环节输出信号中的基波分量近似代替正弦信号作用下的实线性环节输出信号中的基波分量近似代替正弦信号作用下的实际输出，即忽略输出中的高次谐波分量

28、。还不能把际输出，即忽略输出中的高次谐波分量。还不能把N(A)称为是称为是线性环节，这样称呼不严格，因为只有在输入信号为正弦信号线性环节，这样称呼不严格，因为只有在输入信号为正弦信号时才有这种近似，其他情况不成立，而线性环节对任何输入信时才有这种近似，其他情况不成立，而线性环节对任何输入信号都存在线性性质。号都存在线性性质。10.3.2 非线性系统稳定性分析非线性系统稳定性分析很多非线性系统经过简化，可以化为由线性环节和非线性环节很多非线性系统经过简化，可以化为由线性环节和非线性环节相串联的系统。（第一限定条件）相串联的系统。（第一限定条件）当非线性环节满足条件可以用描述函数表示时，非线性系统

29、的当非线性环节满足条件可以用描述函数表示时，非线性系统的稳定性问题可以近似用线性系统的稳定判据来判断。稳定性问题可以近似用线性系统的稳定判据来判断。1、线性系统稳定性分析、线性系统稳定性分析线性系统的特征方程为线性系统的特征方程为 0)(1sGk1)(sGk用频率特性表示为用频率特性表示为 1)(jGk（A） 由奈氏判据知，对于由奈氏判据知，对于Gk(s)没有右半开平面极点的系统，当没有右半开平面极点的系统，当Gk(j)曲线不包围曲线不包围-1时，系统稳定；，当时，系统稳定；，当Gk(j)曲线包围曲线包围-1时，时，系统不稳定；，当系统不稳定；，当Gk(j)曲线经过曲线经过-1时，系统临界不稳

30、定，此时，系统临界不稳定，此时产生等幅振荡，所以（时产生等幅振荡，所以（A）式是产生自振荡的条件。）式是产生自振荡的条件。2、非线性系统稳定性分析、非线性系统稳定性分析-)(sG)(tx)(tr)(ty)(tc)(AN)()(1)()()()(sGANsGANsRsC特征方程为特征方程为 0)()(1sGAN)(1)(ANsG用频率特性表示为用频率特性表示为 )(1)(ANjG（B） 称为非线性特性的负倒描述函数。它也复数。称为非线性特性的负倒描述函数。它也复数。 见见P331表表10-2。 对比（对比（A）、（）、（B）两式可知，）两式可知， （B）式与）式与“-1”相当，即（相当，即（B）

31、式也是系统产生自振荡的条件，只是系统产生自振荡的临界点式也是系统产生自振荡的条件，只是系统产生自振荡的临界点不是一个固定的点，而是一个随不是一个固定的点，而是一个随A变化的一条负倒描述函数曲变化的一条负倒描述函数曲线。线。推广的奈氏判据：推广的奈氏判据：若若Gk(j)曲线不包围曲线不包围-1/N(A)曲线，如图所示，则非线性系统曲线，如图所示，则非线性系统稳定，两者相距越远，稳定程度越高；稳定，两者相距越远，稳定程度越高； ReIm0)(jG)(1AN若若Gk(j)曲线包围曲线包围-1/N(A)曲线，如图所示，设曲线，如图所示，设G(s)稳定（极点稳定（极点都位于左半平面），则非线性系统是不稳

32、定的。当受到扰动后，都位于左半平面），则非线性系统是不稳定的。当受到扰动后，系统输出将无限增加，直至发生故障或增至极限位置为止。系统输出将无限增加，直至发生故障或增至极限位置为止。 ImRe0)(jG)(1AN若若Gk(j)曲线与曲线与-1/N(A)曲线相交，如图所示，则非线性系统曲线相交，如图所示，则非线性系统存在周期运动，它可以是稳定的，也可以是不稳定的。周期运存在周期运动，它可以是稳定的，也可以是不稳定的。周期运动的频率取决于交点处动的频率取决于交点处Gk(j)的频率，幅值取决于交点处的频率，幅值取决于交点处-1/N(A)的的A值。值。 ImRe0)(jG)(1ANABCDGk(j)曲线

33、与曲线与-1/N(A)曲线相交的交点满足（曲线相交的交点满足（B）式，因此每个）式，因此每个交点均对应一个周期运动，但是只有稳定的周期运动才是系统交点均对应一个周期运动，但是只有稳定的周期运动才是系统的自振荡。所以，要判断系统是否存在自振荡，还必须研究周的自振荡。所以，要判断系统是否存在自振荡，还必须研究周期运动的稳定性。期运动的稳定性。所谓稳定的周期运动，是指系统受到轻微扰动作用后，偏离原所谓稳定的周期运动，是指系统受到轻微扰动作用后，偏离原来的运动状态，在扰动消除后，系统的运动能重新收敛于原来来的运动状态，在扰动消除后，系统的运动能重新收敛于原来的等幅振荡。的等幅振荡。不稳定的周期运动，是

34、指系统受到轻微扰动作用后，系统的运不稳定的周期运动，是指系统受到轻微扰动作用后，系统的运动不能重新收敛于原来的等幅振荡。动不能重新收敛于原来的等幅振荡。判定周期运动的稳定性：判定周期运动的稳定性：在复平面上，将在复平面上，将Gk(j)包围的区域看成是不稳定区域，不被包围的区域看成是不稳定区域，不被Gk(j)包围的区域看成是稳定区域，那么当交点处的包围的区域看成是稳定区域，那么当交点处的-1/N(A)曲线，沿着振幅曲线，沿着振幅A增加的方向是由不稳定区域进入稳定区域时，增加的方向是由不稳定区域进入稳定区域时，则该交点代表的是稳定的周期运动。反之，如果交点处的则该交点代表的是稳定的周期运动。反之，

35、如果交点处的-1/N(A)曲线，沿着振幅曲线，沿着振幅A增加的方向是由稳定区域进入不稳定增加的方向是由稳定区域进入不稳定区域时，则该交点代表的是不稳定的周期运动。区域时，则该交点代表的是不稳定的周期运动。如果如果Gk(j)与与-1/N(A)有相交情况，若使系统稳定工作，应选有相交情况，若使系统稳定工作，应选择合适的输入信号振幅择合适的输入信号振幅A，使，使-1/N(A)的工作段处在稳定区域。的工作段处在稳定区域。 ImRe0)(jG)(1ANABCD稳定区域不稳定区域消除不稳定的根本办法是调整线性的消除不稳定的根本办法是调整线性的Gk(j) ，使其不包围，使其不包围-1/N(A) 。下面具体讨论周期运动的稳定性的问题，即交点的情况，验证下面具体讨论周期运动的稳定性的问题，即交点的情况，验证前述的正确性。前述的正确性。依稳定周期运动的定义知，稳定周期运动是指系统受到轻微扰依稳定周期运动的定义知，