钒和稀土对铝合金性能的影响的研究

1、钒和稀土对铝合金性能的影响的研究摘 要本文针对基础合金Al-4.5Zn-1.0Mg-0.8Cu的微合金化问题，分别讨论了单独添加以及混合添加微量元素钒和稀土对该合金力学性能和抗热裂性能的影响。运用了拟合、模糊综合评价以及Levenberg-Marquardt法与通用全局优化算法，利用MATLAB，1stOpt，Lingo等软件对数据进行处理和分析，建立了多项式回归模型、模糊综合评价模型以及多元非线性回归模型。针对问题一要求，需得出单独添加钒时，产品的抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS关于钒的数量之间的近似函数关系，考虑到数据量少，所以在Excel中进行了不超过三次的多项式拟合得出简单函数关系式

2、，拟合优度良好。针对问题二要求，需要得出单独添加稀土的数量为多少时使得产品的抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS分别达到最优效果以及整体上达到最优效果。首先按照问题一模型得出稀土含量与性能之间的函数关系，然后利用MATLAB软件，根据函数以及自变量取值范围建立评价模型进行综合评价，最后根据评分得出整体效果最好时稀土的添加量。针对问题三要求，需得出混合添加钒和稀土的数量为多少时，使得产品的抗拉强度不低于150，延伸率不低于7.00，同时使热裂倾向值HCS尽可能减少。首先对给出的数据进行整理扩充，然后利用1stOpt软件对数据进行二元非线性回归分析，得出混合添加两种元素数量与三种性能的函数关系，最后

3、根据条件使用lingo软件做非线性规划得出满足要求的微量元素添加量。针对问题四的要求，需要简要分析单独以及混合添加微量元素对产品性能整体效果的影响。我们再次根据单独添加钒以及混合添加时的函数关系对产品性能进行了综合评价，结合问题三稀土的评价模型比较得出单独添加稀土元素对整体性能提升效果最优的结论。本文后续对模型进行了误差分析以及评价。最后，基于对本文中拟合数据量较少的问题，采用神经网络算法扩充数据，对模型进行了改进；并且1stopt软件拥有很多现代的优化算法可以广泛应用于经营管理、工程设计、科学研究、军事指挥等方面。关键词：微合金化；模糊综合评价；多元非线性回归；1stOpt；Lingo

4、67;1问题的重述一、背景知识纺织经编机铝盘头是纺织工业重要的零部件。高性能铝盘头已投入市场，但生产过程中仍会出现较为严重的热裂缺陷，因此需进一步改善该合金的力学性能和抗热裂性能。微合金化是改善铝合金显微组织和性能的重要方法。而添加微量的钒（V）和稀土（RE）能够提升铝合金的力学性能和抗热裂性能，但对他们的影响的趋势和程度尚不清楚。可通过实验测量数据，并对数据进行拟合规划等优化处理找到最合适的添加方式。二、相关资料1.单独添加钒和稀土时产品的力学性能和抗热裂性能表2.混合添加钒和稀土时产品的力学性能和抗热裂性能表三、要解决的问题1问题一 分别建立对该合金单独添加微量的钒时，产品的抗拉强度、延伸

5、率、热裂倾向值HCS关于钒的数量之间的近似函数关系；2问题二 分别研究对该合金单独添加稀土的数量约为多少时，产品的抗拉强度达到最大？延伸率达到最大？热裂倾向值HCS达到最小？单独添加稀土的数量约为多少时，对提高产品的抗拉强度和延伸率、减少热裂倾向值HCS整体上造成较好的影响;3问题三 混合添加通常是指钒（V）和稀土（RE）的添加数量分别在0.010.25（wt%），通过建立数学模型，研究对该合金混合添加微量的钒（V）和稀土（RE）时，应该添加钒和稀土的数量分别约为多少，才能保证产品的抗拉强度不低于150，延伸率不低于7.00，同时使热裂倾向值HCS尽可能减少;4问题四 通过前面的研究，你们认为

6、单独添加微量的钒、单独添加微量的稀土、混合添加微量的钒和稀土这三种方案中，哪一种对提高产品的抗拉强度和延伸率、减少热裂倾向值HCS整体上效果更加明显？请简要说明。§2 问题的分析一、问题的总分析 本文题为钒和稀土对铝合金性能的影响的研究，即通过单独以及混合添加微量元素钒和稀土对铝合金性能影响的定量分析，研究不同要求下的性能最优解的情况，最后判断何种添加方式对合金性能整体效果最好。该问题主要属于拟合与规划的范畴，可使用MATLAB，Excel，Lingo等软件进行回归分析并且得出满足要求的最优解。整体框图见图1。图1 整体框图二、对具体问题的分析1对问题一的分析问题一要求分别建立对该合

7、金单独添加微量的钒时，产品的抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS关于钒的数量之间的近似函数关系。考虑到数据点较少，我们采用不超过三次的多项式函数在Excel中进行拟合，取拟合优度最佳的多项式为符合要求的函数关系模型。2对问题二的分析问题二可分为两个部分求解：第一部分先建立铝合金各性能与稀土添加量的函数关系，然后分别求出稀土添加量在一定范围内各性能的极值。第二部分通过模糊综合评价模型把三个指标归为一个整体指标。然后对第一部分求出的三个函数关系进行一定范围内处理得出一系列方案，最后根据建立的评价模型得出最优方案即符合要求的解。 3对问题三的分析问题三要求通过建立数学模型，研究对该合金混合添加微量的钒

8、（V）和稀土（RE）时，应该添加钒和稀土的数量分别约为多少，才能保证产品的抗拉强度不低于150，延伸率不低于7.00，同时使热裂倾向值HCS尽可能减少。首先将单独添加混合添加钒（V）和稀土（RE）的值扩充到混合添加的原始数据中，再利用扩充后的数据进行二元非线性拟合，选取拟合度最高的函数进行非线性规划，可以求出满足条件和最小HCS值所添加的钒和稀土的数量。4对问题四的分析问题要求给出单独添加微量的钒、单独添加微量的稀土、混合添加微量的钒和稀土这三种方案中，哪一种对提高产品的抗拉强度和延伸率、减少热裂倾向值HCS整体上效果更加明显，所以我们可根据问题一的结果通过模糊综合评价模型得出单独添加微量的钒

9、使整体效果最明显的最优方案，和引用问题二的结果的得出单独添加微量的稀土最优方案，再根据问题三的函数关系得出混合添加微量的钒和稀土使整体上效果更加明显得最优方案，最后在这三个最优方案中再通过模糊综合评价模型的选出三种方案中最好的。§3 模型的假设1假设模糊综合评价的各个方案除了添加的钒和稀土不同，不存在其他影响因素； 2假设所得出的数据都在误差允许的范围之内。§4 名词解释与符号说明一、名词解释1.可决系数：回归平方和（ESS）在总变差（TSS）中所占的比重称为可决系数， 可决系数可以作为综合度量回归模型对样本观测值拟合优度的度量指标。3.非线性规划：具有非线性约束条件或目标

10、函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。非线性规划研究一个 n元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题，且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。4. Levenberg-Marquardt算法:它是使用最广泛的非线性最小二乘算法，中文为列文伯格-马夸尔特法。它是利用梯度求最大（小）值的算法，形象的说，属于“爬山”法的一种。它同时具有梯度法和牛顿法的优点。当很小时，步长等于牛顿法步长，当很大时，步长约等于梯度下降法的步长。二、主要符号说明序号符号符号说明1表示理想方案中第项评价因素的指标值2表示第个方案关于第项评价因素的指标值3表示模糊矩阵的第行第列的元素4表示第项评价因素指

11、标值的权数5表示第项评价因素的指标值变异系数6表示第项评价因素的指标值标准差7表示第项评价因素的指标值的平均值8表示第个性能指标归一化后的数值9微量元素钒（wt%）；微量元素稀土（wt%）（）11第个性能的表达式12表示第项评价因素综合评价的分数§5 模型的建立与求解一、问题一的分析与求解1对问题的分析问题一要求分别建立对该合金单独添加微量的钒时，产品的抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS关于钒的数量之间的近似函数关系。考虑到数据点较少，我们采用不超过三次的多项式函数在Excel中进行拟合，取拟合优度最佳的多项式为符合要求的函数关系模型。2对问题的求解模型多项式函数模型 模型的准备可决

12、系数：回归平方和（ESS）在总变差（TSS）中所占的比重称为可决系数， 可决系数可以作为综合度量回归模型对样本观测值拟合优度的度量指标。可决系数越大，说明在总变差中由模型作出了解释的部分占的比重越大，模型拟合优度越好。反之可决系数小，说明模型对样本观测值的拟合程度越差。 模型的建立和求解考虑到多项式函数的稳定性随着多项式阶数的增大而减少，故在Excel中做不超过三次的多项式拟合，最佳结果如图2，图3，图4。图2 v与抗拉强度拟合函数图3 v与延伸率拟合函数图4 v与热裂倾向拟合函数结论：拟合优度均接近1，函数模型符合要求，故单独添加微量的钒时，产品的抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS关于钒的数

13、量之间的近似函数关系分别为：；二、问题二的分析与求解1对问题的分析问题二可分为两个部分求解：第一部分要求分别研究对该合金单独添加稀土的数量约为多少时，产品的抗拉强度达到最大，延伸率达到最大，热裂倾向值HCS达到最小。可按照问题一模型建立铝合金各性能与稀土添加量的函数关系，然后分别求出稀土添加量在一定范围内各性能的极值。第二部分要求得出单独添加稀土的数量约为多少时，对提高产品的抗拉强度和延伸率、减少热裂倾向值HCS整体上造成较好的影响。考虑到整体影响的要求，我们建立了模糊综合评价模型把三个指标归为一个整体指标。然后对第一部分求出的三个函数关系进行一定范围内处理得出一系列方案，最后根据建立的评价模

14、型得出最优方案即符合要求的解。2对问题的求解1）独立性能效果最优在Excel中做多项式拟合最佳结果见图5，图6，图7。图5 re与抗拉强度拟合函数图6 re与延伸率拟合函数图7 re与抗拉强度拟合函数拟合优度均接近1，函数模型符合要求，故单独添加微量的稀土时，产品的抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS关于稀土的数量之间的近似函数关系分别为：；查询资料知，铝合金中超过0.3wt%的稀土添加会大大影响性能，故稀土的取值范围设定为00.3。利用MATLAB对上述函数求解得出符合要求的极值教案表1.（程序见附录2-1）表1 最优性能稀土添加表re含量（wt%）性能最优值抗拉强度0.1106176.212

15、8延伸率0.09898.5988HCS0.139167.68222）整体性能效果最优模型 模糊综合评价模型 模型的准备根据问题二的第一部分求出的产品的抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS关于稀土的数量之间的近似函数关系，利用MATLAB软件，根据问题二第一部分得出的函数关系式，可以将稀土含量在取值为0-0.3之间按步长为0.01依次取得抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS值，对应依次做出31个方案见表2。（具体程序见附录2）表2 综合评价模型方案表序号抗拉强度延伸率HCS序号抗拉强度延伸率HCS1132.214.5899112.0617170.96048967.825138469.13646722

16、140.71895515.4595754106.992850718168.93584637.615060270.92428913148.16388086.2048232102.061605619166.71262327.402032873.47208244154.59886776.833235897.305268920164.34491097.193648676.81885135160.07800647.352405692.762844821161.88686.997581.00366164.65538757.76992588.473337522159.39238116.821179486.0

17、6533277168.38510168.093386484.475751223156.91574486.672279292.04305368171.32123938.330382280.809090124154.51098176.558391898.97576699173.51789128.488504877.512358425152.23218246.4871096106.902476810175.02914798.575346674.624560326150.13343756.466025115.862187511175.90918.598572.184727148.26883766.50

18、27304125.893903212176.21183818.565557470.231781728146.69247336.6048182137.036628113175.99145288.484111268.804809629145.45843526.7798808149.329366414175.30203478.361753867.942787930144.62081397.0355106162.811122315174.19767448.206077667.684720831144.23377.3793177.520916172.73246258.02467568.0696125 模

19、型的建立建立理想方案设有是待评价的个方案集合，是评价指标集合，将中的每个方案用中的每个指标进行衡量，得到一个观测矩阵：其中表示第个样品关于第项评价因素的指标值。对于指标矩阵，我们将上述的几种指标分为效益型和成本型矩阵 根据建立理想方案为 建立相对偏差模糊矩阵：根据，计算得出相对偏差模糊矩阵建立各评价指标的权数 由变异系数可知： 对进行归一化，即得到各指标的权数：； 其中；建立综合评价模型由计算出，且若，则第t个方案的整体效果排在第s个方案的整体效果前。 模型的求解根据题意，有31个方案按3个指标的排列得出方案集合参照表2；在Excel中求得理想方案为：利用MATLAB求解得（程序见附录2-2）

20、：权值向量故评价模型公式为；根据评分结果排序知当稀土添加量为0.11时，整体效果最好，此时个性能效果分别为抗拉性能：176.2118，延伸率8.5656，热裂倾向值70.2318。（具体数据间附录2-3）三、问题三的分析与求解1对问题的分析问题要求通过建立数学模型，研究对该合金混合添加微量的钒（V）和稀土（RE）时，应该添加钒和稀土的数量分别约为多少，才能保证产品的抗拉强度不低于150，延伸率不低于7.00，同时使热裂倾向值HCS尽可能减少。首先将单独添加混合添加钒（V）和稀土（RE）的值扩充到混合添加的原始数据中，再利用扩充后的数据进行二元非线性拟合，选取拟合度最高的函数进行非线性规划，可以

21、求出满足条件和最小HCS值所添加的钒和稀土的数量。2对问题的求解模型 多元非线性规划模型 模型的准备问题三中为了进行规划求出满足条件的值首先得拟合出相应的函数，而本题的函数为多元且非线性的函数，所以非线性拟合的过程我们引进了世界领先的非线性曲线拟合，综合优化分析计算软件平台1stOpt。由于本题实验数据较少，而1stOpt功能强劲，是目前唯一能以任何初始值而求得美国国家标准与技术研究院(NIST：National Institute of Standards and Technology)非线性回归测试题集最优解的软件包，非线性曲线拟合可处理任意类型模型公式，任意多数目的待求参数及变量。 模型

22、的建立数据处理：将单独添加混合添加钒（V）和稀土（RE）的值扩充到混合添加的原始数据中，得到非线性拟合的原始数据，其中设添加添加钒（V）和稀土（RE）量为如表3表3 非线性拟合数据整理/V（wt%）/RE（wt%）抗拉强度延伸率热裂倾向值HCS0.050.00160.006.6083.000.050.10153.007.2280.000.050.25130.005.5780.000.050.12146.006.6668.000.100.00154.008.21100.000.100.12133.006.0074.000.000.00133.004.66112.000.000.12186.008

23、.7364.000.000.10171.008.9972.000.000.25152.006.49116.000.200.00140.005.10131.000.000.08169.008.2680.000.000.10171.008.9972.000.000.15175.007.7172.000.000.20156.007.0080.00利用1stOpt软件进行非线性拟合，该软件拟合的原理为：Levenberg-Marquardt法与通用全局优化算法(Universal Global Optimization)Levenberg-Marquardt法算法基础为：L-M算法只要解决的如下形式的

24、非线性最小二乘问题 （1）其中为一个n维向量，r为由到R的映射函数，可以认为是最小二乘的残差。这里。上式可以进一步简化，令r为残差向量，得 （2）此时的f可以用r的Jacobian式子J表示，。先考虑线性的情况下，此时J为常数，r可以理解为一个超平面从而同时可以得到，。要求（1）式的最小值，只要满足即可。解得。再考虑非线性的情况可得： （3） （4）（4）式的右边第二项为2次高阶导数数，且残差本身就很小，所以一般忽略不计。于是得到近似线性的Hessian矩阵。需要注意的是这里是假设了残差很小，对于残差很大的情况不能忽略高阶项。L-M算法是个迭代的过程，设表示第K次得迭代的网络权重向量，相当于（

25、1）式的x向量，维数为M。把按Taylor级数展开可得： （5）令（5）式左边等于0求最小二乘解，可得牛顿迭代策略： （6）如果在考虑最速下降法便得到L-M的迭代策略： （7）其中H为Hessian矩阵。可以发现，当很小时，就接近于牛顿法，而很大时就是最速下降法，因此L-M算法实际是上面两种迭代算法的组合。通用全局优化算法(Universal Global Optimization) 算法之最大特点是克服了当今世界上在优化计算领域中使用迭代法必须给出合适初始值的难题，即用户勿需给出参数初始值，而由1stOpt随机给出，通过其独特的全局优化算法，最终找出最优解。总之，根据上述算法可以求的抗拉强度

26、与钒（V）和稀土（RE）添加量的拟合函数，延伸率与钒（V）和稀土（RE）添加量的拟合函数，热裂倾向值HCS与钒（V）和稀土（RE）添加量的拟合函数利用lingo进行非线性规划，以热裂倾向值HCS的拟合函数为目标函数，求最小值，以抗拉强度和延伸率为约束条件。将非线性规划问题化为标准形式：其中为相应非线性拟合出的函数可由lingo得出满足条件的值。模型的求解利用1stOpt软件进行非线性拟合（程序及算法设置见附录3-1），得出的结果为：拟合度为0.96。可用图8表示：(图示红线表示拟合之后的趋势线，蓝线表示实验测得趋势线)图8 抗拉强度拟合度表示图拟合度为0.97，可用图9表示图9 延伸率拟合度表

27、示图拟合度为0.99，可用图10表示图10热裂效应拟合优度表示图再利用lingo进行非线性规划得出结论见图11（程序见附录3-2）图11 非线性规划lingo结果由可以得出当添加钒（V）的量，添加稀土（RE）的量时，保证产品的抗拉强度不低于150，延伸率不低于7.00，同时使热裂倾向值HCS尽可能减小，且最小是63.5。四、问题四的分析与求解1对问题的分析问题要求单独添加微量的钒、单独添加微量的稀土、混合添加微量的钒和稀土这三种方案中，哪一种对提高产品的抗拉强度和延伸率、减少热裂倾向值HCS整体上效果更加明显，所以我们可根据问题一的结果通过模糊综合评价模型得出单独添加微量的钒使整体效果最明显的

28、最优方案，和引用问题二的结果的得出单独添加微量的稀土最优方案，再根据问题三的函数关系得出混合添加微量的钒和稀土使整体上效果更加明显得最优方案，最后在这三个最优方案中再通过模糊综合评价模型的选出三种方案中最好的。2对问题的求解由问题一可知合金单独添加微量的钒时，产品的抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS关于钒的数量之间的近似函数关系，将钒在取值为0-0.2之间按步长为0.01依次取得的抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS值分为21个方案，建立模糊综合评价模型，通过matlab编程得出结果如图12。（程序见附录4-1）图12 21个方案对应的F值从图12可以看出单独添加的钒为0.07时，对提高产品的抗

29、拉强度和延伸率、减少热裂倾向值HCS整体上效果更加明显。所对应的抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS分别为160.2042，7.5457，86.254。同理问题二可知合金单独添加微量的钒时，分为31个方案，建立模糊综合评价模型，通过matlab编程得出结果如图13。（程序见附录4-2）图2 31个方案对应的F值从图13可以看出单独添加的稀土为0.11时，对提高产品的抗拉强度和延伸率、减少热裂倾向值HCS整体上效果更加明显。所对应的抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS分别为176.2118，8.5656，70.2318。由问题三得出的产品的抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS关于钒和稀土的近似函数关系

30、，在钒和稀土的添加数量分别在0.010.25之间分别按步长0.01依次取得的抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS值分为625个方案，再剔除一些异常值后再建立模糊综合评价模型，通过matlab编程得出最优方案为添加钒和稀土的数量分别约为0.01和0.13时，所对应的抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS分别为173.2764，8.0409,63.6327。（程序见附录4-3）最后再将三个最优方案进行模糊综合评价，可得出 ,所以可以得出第二种方案是最优的，即单独添加微量的稀土对提高产品的抗拉强度和延伸率、减少热裂倾向值HCS整体上效果更加明显。§6 误差分析1在问题二中要解决单独添加稀土的数量

31、约为多少时，对提高产品的抗拉强度和延伸率、减少热裂倾向值HCS整体上造成较好的影响，为此我们在00.3内取步长为0.01而建立的31个方案，所以得出的最终结果都在所取的方案内，可能不够精确，存在误差。2在问题四中研究混合添加微量的钒和稀土对提高产品的抗拉强度和延伸率、减少热裂倾向值HCS整体上效果最好时，由于在拟合产品的抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS关于钒和稀土的数量之间的函数关系时存在误差，所以在钒和稀土的添加数量分别在0.010.25时，有很多不切实际的值，比如存在负值和远大于表中的值，所以在进行模糊综合评价时剔除了这些数据，才得以解决问题，因此必然存在一定误差。§7 模型的

32、评价与推广一、模型的优点 1问题二所建立的模糊综合评价模型，也适用于其他具有效益型和成本型指标的问题，如农业经济技术方案的综合评估，某工程方案的决策。2问题三利用了1stOpt软件，该软件是目前唯一能以任何初始值，不要求初始值收敛的非线性曲线拟合工具，非线性曲线拟合可处理任意类型模型公式，任意多数目的待求参数及变量。自带有上百个实例，覆盖范围包括几乎所有优化方面。二、模型的缺点问题三拟合的函数较为复杂，不易进行下一步计算。三、模型的推广1所建立的模糊综合评价模型，也适用于其他具有效益型和成本型指标的问题，如农业经济技术方案的综合评估，某工程方案的决策。21stOpt软件提供了非线性拟合最前沿最

33、优秀的拟合方法，其中拥有很多现代的优化算法，使得我们再调用和理解上都提供了非常有效的帮助。该模型的中的非线性规划模型在生活中应用的更广泛，可以推广到经营管理、工程设计、科学研究、军事指挥等方面的最优化问题。§8 模型的改进基于本文中对模型的缺点，即数据较少导致的拟合效果不佳，我们考虑采用一种可靠的数据扩充的方法，对原始数据进行一种可靠性的数据扩充的方法，再对扩充后的数据进行拟合。在此选用神经网络对可靠性数据扩充的方式，对可靠性有关特征量进行估计，并绘制曲线，从而提高估计结果的准确性。神经网络分析原理神经网络由神经元组成，将多个神经元有规则地相联而构成的神经网络其功能是巨大的。人工神经

34、网络有输入向量，内部有多个神经元，网络的输入向量经与权阵乘积后输入到每个神经元。每个神经元将加权后的输入与阈值（偏移）向量代数求和后得到自己的输出。网络经过训练可近似逼近有限间断点的连续函数。用神经网络完成数据的分析计算要经过：构造网络，包括确定输入数据特性、网络层次、传递函数形式、输出的形式；网络学习训练，以确定权系数和阈值参数；利用网络进行实际仿真。用于可靠性分析的思路一般来说，由于可靠性数据样本都很少。因此，基于这些小的数据进行假设检验、参数估计，有时存在置信度低的问题。设想，如果有一种方法能在与元样本数据保持一致统计规律的条件下，将样本量扩大再应用原统计分析，就有可能提高分析结果的准确

35、性。分析过程首先选择模拟分布模型，再建立可靠度估计值设n各失效时间数据，以秩次排列为根据这些失效数据，用经验公式：一次估计出经验可靠度：因此构成列队：用网络扩充失效时间的模拟样本有了以上失效时间和相应的可靠度经验估计值，就要建立合适的网络来生成具有与样本相同失效规律的扩大的模拟样本。由于BP神经网络有较好的函数逼近能力，因此在选择BP神经网络实现对可靠度的模拟仿真，以两个层次构成该网络，第一层接受可靠度输入，而输出则为相应的失效时间，传递函数用log-sigmoid型，确定网络结构后，选择适当训练方法，用实际数据对网络进行训练。为了提高收敛速度，同时又兼顾结果的稳定性，采用共轭梯度算法完成权系

36、数和阈值的最佳搜寻求取。参考文献1 杨桂元.黄己立.数学建模M.合肥：中国科学技术大学出版社.2009.9. 2 七维高科.1stOpt使用指南M.北京. 2009.93 李志建，郑新奇等.非线性多维数据可视化分类预测方法J.中国地质大学（北京）土地科学技术学院.2006.附录2-1 syms xf1=9015.1*x3-5590.6*x2+905.9*x+132.21;%抗拉性能f2=1265.4*x3-660.1*x2+93.442*x+4.5899;%延伸率f3=6500.7*x3+484.5*x2-512.21*x+112.06;%热裂倾向值x1,maxf=fminbnd('-

37、(9015.1*x3-5590.6*x2+905.9*x+132.21)',0,0.3),maxf=-maxfx2,maxf=fminbnd('-(1265.4*x3-660.1*x2+93.442*x+4.5899)',0,0.3),maxf=-maxfx3,minf=fminbnd('6500.7*x3+484.5*x2-512.21*x+112.06',0,0.3)2-2 x=0:0.01:0.3;A=132.21 4.5899 112.06140.7189551 5.4595754 106.9928507148.1638808 6.2048232

38、 102.0616056154.5988677 6.8332358 97.3052689160.0780064 7.3524056 92.7628448164.6553875 7.769925 88.4733375168.3851016 8.0933864 84.4757512171.3212393 8.3303822 80.8090901173.5178912 8.4885048 77.5123584175.0291479 8.5753466 74.6245603175.9091 8.5985 72.1847176.2118381 8.5655574 70.2317817175.991452

39、8 8.4841112 68.8048096175.3020347 8.3617538 67.9427879174.1976744 8.2060776 67.6847208172.7324625 8.024675 68.0696125170.9604896 7.8251384 69.1364672168.9358463 7.6150602 70.9242891166.7126232 7.4020328 73.4720824164.3449109 7.1936486 76.8188513161.8868 6.9975 81.0036159.3923811 6.8211794 86.0653327

40、156.9157448 6.6722792 92.0430536154.5109817 6.5583918 98.9757669152.2321824 6.4871096 106.9024768150.1334375 6.466025 115.8621875148.2688376 6.5027304 125.8939032146.6924733 6.6048182 137.0366281145.4584352 6.7798808 149.3293664144.6208139 7.0355106 162.8111223144.2337 7.3793 177.5209; %原始数据矩阵，每一行代表

41、一个方案，每列代表一个指标，提取方案数量。i,j=size(A)%建立理想的方案矩阵,有几个方案就有几个u1，用repmat建立 i,j=size(A)u1=176.2118381 8.5985 67.6847208 ;u=repmat(u1,i,1);%建立相对偏差模糊矩阵，range(A)是每个指标的最大值减最小值rageA=repmat(range(A),i,1);r=abs(A-u)./rageA;%用相对变异系数法建立评价指标的权数 v=std(r)./mean(r);w1=v./sum(v);w=repmat(w1,i,1);f=r*w1'R=(find(f=min(f);

42、x(R)A(R,:)2-3 方案结果表稀土添加量整体效果抗拉强度延伸率热裂倾向值00.76 132.214.5899112.060.010.6184140.71895515.4595754106.99285070.020.4946148.16388086.2048232102.06160560.030.3869154.59886776.833235897.30526890.040.2946160.07800647.352405692.76284480.050.2168164.65538757.76992588.47333750.060.1528168.38510168.093386484.47

43、575120.070.1017171.32123938.330382280.80909010.080.0629173.51789128.488504877.51235840.090.0355175.02914798.575346674.62456030.10.0187175.90918.598572.18470.110.0117176.21183818.565557470.23178170.120.0139175.99145288.484111268.80480960.130.0243175.30203478.361753867.94278790.140.0423174.19767448.20

44、6077667.68472080.150.067172.73246258.02467568.06961250.160.0977170.96048967.825138469.13646720.170.1335168.93584637.615060270.92428910.180.1737166.71262327.402032873.47208240.190.2176164.34491097.193648676.81885130.20.2643161.88686.997581.00360.210.313159.39238116.821179486.06533270.220.363156.91574

45、486.672279292.04305360.230.4135154.51098176.558391898.97576690.240.4637152.23218246.4871096106.90247680.250.5129150.13343756.466025115.86218750.260.5602148.26883766.5027304125.89390320.270.6048146.69247336.6048182137.03662810.280.6461145.45843526.7798808149.32936640.290.6832144.62081397.0355106162.8

46、1112230.30.7153144.23377.3793177.52093-1 Variable x,y,z ;Data;0.05 0.00 160.000.05 0.10 153.000.05 0.25 130.000.05 0.12 146.000.10 0.00 154.000.10 0.12 133.000.00 0.00 133.000.00 0.12 186.000.00 0.10 171.000.00 0.25 152.000.20 0.00 140.000.00 0.08 169.000.00 0.10 171.000.00 0.15 175.000.00 0.20 156.

47、000.05 0.00 6.600.05 0.10 7.220.05 0.25 5.570.05 0.12 6.660.10 0.00 8.210.10 0.12 6.000.00 0.00 4.660.00 0.12 8.730.00 0.10 8.990.00 0.25 6.490.20 0.00 5.100.00 0.08 8.260.00 0.10 8.990.00 0.15 7.710.00 0.20 7.000.05 0.00 83.000.05 0.10 80.000.05 0.25 80.000.05 0.12 68.000.10 0.00 100.000.10 0.12 74

48、.000.00 0.00 112.000.00 0.12 64.000.00 0.10 72.000.00 0.25 116.000.20 0.00 131.000.00 0.08 80.000.00 0.10 72.000.00 0.15 72.000.00 0.20 80.003-2model:min=(112.32+7413.34*x1-24770.57*x12-443578.78*x13-750.47*x2+2265.24*x22)/(1+129.86*x1-1236.21*x12-1.71*x2);(133.10-112804.99*x1+555214.43*x12+22413.80

49、*x2+32401.73*x22-147035.76*x23)/(1-650*x1+2356.87*x12+4144.67*x13+138.08*x2)>150;(4.69+1640.61*x1-14467.12*x12-46473.96*x13+92.98*x2)/(1+203.34*x1-742.80*x12-16633.09*x13+0.48*x2+55.40*x22)>7;bnd(0.01,x1,0.25);bnd(0.01,x2,0.25);end4-1A= 133 4.5144 112142.204333 5.132687 100.828149.312664 5.689

50、228 92.624154.518991 6.184023 87.106158.017312 6.617072 83.992160.001625 6.988375 83160.665928 7.297932 83.848160.204219 7.545743 86.254158.810496 7.731808 89.936156.678757 7.856127 94.612154.003 7.9187 100150.977223 7.919527 105.818147.795424 7.858608 111.784144.651601 7.735943 117.616141.739752 7.

51、551532 123.032139.253875 7.305375 127.75137.387968 6.997472 131.488136.336029 6.627823 133.964136.292056 6.196428 134.896137.450047 5.703287 134.002140.004 5.1484 131; %原始数据矩阵，每一行代表一个方案，每列代表一个指标，提取方案数量。i,j=size(A)%建立理想的方案矩阵,有几个方案就有几个u1，用repmat建立u1= 160.665928 7.919527 83 ;u=repmat(u1,i,1);%建立相对偏差模糊矩

52、阵，range(A)是每个指标的最大值减最小值rageA=repmat(range(A),i,1)r=abs(A-u)./rageA%用相对变异系数法建立评价指标的权数 v=std(r)./mean(r)w1=v./sum(v)w=repmat(w1,i,1) %建立综合评价模型，F值越小的方案越好F=r.*wsum(F,2)4-2A=183.5858983 6.95357861 81.67955118191.8570908 7.216117118 79.14383513-1.687924652 7.645775265 74.59409223148.3645816 7.810633263 72

53、.58860425162.0977694 7.941937213 70.76863268167.4915898 8.040380867 693637811 8.107253621 67.7039162172.0487007 8.144332307 66.46890508173.0185081 8.153765206 65.43889144173.482705 8.137956964 64.61916816173.5484787 8.099461292 64.01521197173.276365 8.040886261 63.6326914172.7031381 7.964814969 63.47747533171.8524273 7.873742574 63.55564185170.7401085 7.770029284 63.87348773169.3772435 7.65586796 64.43753829167.7717758 7.533264367 65.25455793165.9295572 7.404027892 66.331561