三角恒等变换

1、 中 国 教 育 培 训 领 军 品 牌§4.3三角恒等变换教学目标1会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式3会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系4能运用上述公式进行简单的恒等变换学习内容知识梳理 1 两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos()cos cos sin sin (C)cos()cos_cos_sin_sin_(C)sin()sin_cos_cos_sin_(S)sin()sin_cos_cos_sin_(S)tan()(T)tan()(T)2 二倍角公式

2、sin 22sin_cos_；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.3 半角公式sin ± ；cos ± ；tan ± .根号前的正负号，由角所在象限确定4 函数f(x)asin bcos (a，b为常数)，可以化为f()sin()(其中tan )或f()cos()(其中tan )例题讲解 题型一三角函数式的化简与给角求值例1(1)化简：(0<<)；(2)求值：sin 10°(tan 5°)思维启迪(1)分母为根式，可以利用二倍角公式去根号，然后寻求分子分母的共同点进行约分；(2)切化弦、通分解(1)由(0

3、，)，得0<<，cos >0.因此 2cos .又(1sin cos )(sin cos )(2sin cos 2cos2)(sin cos )2cos (sin2cos2)2cos cos .故原式cos .(2)原式sin 10°()sin 10°·sin 10°·2cos 10°.思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：化为特殊角的三角函数值；化为正、负相消的项，消去求值；化分子、分母出现公约数

4、进行约分求值巩 固(1)在ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan tan tan tan 的值为_(2)的值是 ()A. B. C. D.答案(1)(2)C解析(1)因为三个内角A，B，C成等差数列，且ABC，所以AC，tan ，所以tan tan tan tan tantan tan tan tan .(2)原式.题型二三角函数的给值求值、给值求角例2(1)已知0<<<<，且cos，sin，求cos()的值；(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，求2的值思维启迪(1)拆分角：，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦(2)2()；().解(1)0<

5、;<<<，<<，<<，cos ，sin ，cos coscoscossinsin××，cos()2cos212×1.(2)tan tan()>0，0<<，又tan 2>0，0<2<，tan(2)1.tan <0，<<，<2<0，2.思维升华(1)解题中注意变角，如本题中()()；(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)

6、，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好巩 固 (1)若0<<，<<0，cos()，cos()，则cos()等于()A. B C. D(2)已知sin ，sin()，均为锐角，则角等于()A. B. C. D.答案(1)C(2)C解析(1)cos()cos()()cos()cos()sin()sin()，0<<，则<<，sin().又<<0，则<<，则sin().故cos()cos()cos()cos()sin()sin()××，故选C.(2)、均为锐角，<<.又sin()，cos().又si

7、n ，cos ，sin sin()sin cos()cos sin()××().题型三三角变换的简单应用例3已知函数f(x)sincos，xR.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos()，cos()，0<<，求证：f()220.思维启迪(1)可将f(x)化成yAsin(x)的形式；(2)据已知条件确定，再代入f(x)求值(1)解f(x)sincossinsin2sin，T2，f(x)的最小值为2.(2)证明由已知得cos cos sin sin ，cos cos sin sin ，两式相加得2cos cos 0，0<<，f()224s

8、in220.思维升华三角变换和三角函数性质相结合是高考的一个热点，解题时要注意观察角、式子间的联系，利用整体思想解题巩 固 (1)函数f(x)sin xcos(x)的最大值为()A2 B. C1 D.(2)函数f(x)sin(2x)2sin2x的最小正周期是_答案(1)C(2)解析(1)f(x)sin xcos ·cos xsin ·sin xcos xsin xsin(x)f(x)max1.(2)f(x)sin 2xcos 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin(2x)，T.综合题库A组1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)两角

9、和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的 ()(2)存在实数，使等式sin()sin sin 成立 ()(3)在锐角ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定 (×)(4)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立 (×)(5)存在实数，使tan 22tan . ()(6)当时，(1tan )(1tan )2. ()2 (2013·浙江)已知R，sin 2cos ，则tan 2等于 ()A. B. C D答案C解析sin 2cos ，sin24sin ·cos 4cos2.化简得：4si

10、n 23cos 2，tan 2.故选C.3 (2012·江西)若，则tan 2等于 ()A B. C D.答案B解析由，等式左边分子、分母同除cos 得，解得tan 3，则tan 2.4 (2012·江苏)设为锐角，若cos，则sin的值为_答案解析为锐角且cos，sin.sinsinsin 2cos cos 2sin sincos××.5 (2013·课标全国)设为第二象限角，若tan，则sin cos _.答案解析tan，tan ，即解得sin ，cos .sin cos .B组1 若，sin 2，则sin 等于 ()A. B. C. D.

11、答案D解析由sin 2和sin2cos21得(sin cos )21()2，又，sin cos .同理，sin cos ，sin .2 已知tan()，tan，那么tan等于()A. B. C. D.答案C解析因为，所以()，所以tantan.3 (2013·重庆)4cos 50°tan 40°等于 ()A. B. C. D21答案C解析4cos 50°tan 40°.4 若tan ，(，)，则sin(2)的值为 ()A B. C. D.答案A解析由tan 得，sin 2.(，)，2(，)，cos 2.sin(2)sin 2cos cos 2s

12、in ×().5 在ABC中，tan Atan Btan A·tan B，则C等于 ()A. B. C. D.答案A解析由已知可得tan Atan B(tan A·tan B1)，tan(AB)，又0<AB<，AB，C.6 若sin()，则cos 2_.答案解析sin()cos ，cos 22cos212×()21.7 若20°，25°，则(1tan )(1tan )的值为_答案2解析由tan()tan 45°1可得tan tan tan tan 1，所以(1tan )(1tan )1tan tan tan ta

13、n 2.8. _.答案4解析原式4.9 已知tan ，cos ，(，)，(0，)，求tan()的值，并求出的值解由cos ，(0，)，得sin ，tan 2.tan()1.(，)，(0，)，<<，.10已知，且sin cos .(1)求cos 的值；(2)若sin()，求cos 的值解(1)因为sin cos ，两边同时平方，得sin .又<<，所以cos .(2)因为<<，<<，所以<<，故<<.又sin()，得cos().cos cos()cos cos()sin sin()××.C组1 已知tan

14、()，且<<0，则等于 ()A B C D.答案A解析由tan()，得tan .又<<0，所以sin .故2sin .2 定义运算adbc，若cos ，0<<<，则等于()A. B. C. D.答案D解析依题意有sin cos cos sin sin()，又0<<<，0<<，故cos()，而cos ，sin ，于是sin sin()sin cos()cos sin()××，故，选D.3 设x，则函数y的最小值为_答案解析方法一因为y，所以令k.又x，所以k就是单位圆x2y21的左半圆上的动点P(sin

15、2x，cos 2x)与定点Q(0,2)所成直线的斜率又kmintan 60°，所以函数y的最小值为.方法二ytan x.x(0，)，tan x>0.tan x2.(当tan x，即x时取等号)即函数的最小值为.4 已知tan()，tan().(1)求tan()的值；(2)求tan 的值解(1)tan()，tan .tan().(2)tan tan().5 已知函数f(x)2cos(其中>0，xR)的最小正周期为10.(1)求的值；(2)设，f，f，求cos()的值解(1)由T10得.(2)由得整理得，cos ，sin .cos()cos cos sin sin ××.归纳总结方法与技巧1 巧用公式变形：和差角公式变形：tan x±tan ytan(x±y)·(1tan x·tan y)；倍角公式变形：降幂公式cos2，sin2，配方变形：1±sin 2,1cos 2cos2，1cos 2sin2.2 利用辅助角公式求最值、单调区间、周期由yasin bcos sin()(其中tan )有|y|.3 重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；