导数的基本概念及性质应用

1、导数的根本概念及性质应用考点：1、掌握导数的根本概念及运算公式，并能灵活应用公式求解2、能运用导数求解单调区间及极值、最值3、理解并掌握极值及单调性的实质，并能灵活应用其性质解题。 能力：数形结合方法：讲练结合新授课：知识点总结:导数的根本概念与运算公式1、导数的概念函数y = f(x)的导数f (x)，就是当厶X0时，函数的增量A y与自变量的增量A x的比黑的极限，即f (x)=limAx 0limAx 0f (x Ax)-f(x)Ax说明：分子和分母中间的变量必须保持一致2、导函数函数y = f(x)在区间(a, b )内每一点的导数都存在，就说在区f (x)间(a, b )内可导，其导

2、数也是(a ,b内的函数，叫做f (x)的导函数，记作f (x)或yx，函数f (x)的导函数f(X)在x x0时的函数值f (x0)，就是f (x)在x0处的导数。3、导数的几何意义设函数y = f (x)在点X。处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点M(X。，y° )处的切线斜率。4、求导数的方法(1)根本求导公式c 0/ mm 1(x ) mx (m Q)(sin x) cosx(cosx)si nxxx(e ) e(ax)ax lna(ln x) ±(loga)xkU(2)导数的四那么运算(v)営(v 0)(3)复合函数的导数设u g(x)在点x处可导

3、，y =在点f (x)处可导，那么复合函数 fg(x)在点x处可导，fx'( (x) f'(u) '(x)导数性质：1函数的单调性设函数y= f(x)在某个区间内可导，假设 f(X)>0，贝y f(x)为增函数；假设f (x) v 0那么为减函数。 求可导函数单调区间的一般步聚和方法。 确定函数f (x)的定义区间 求f (x)，令f (x) = 0,解此方程，求出它在定义区间内的一切实根。 把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成假设干个小区间。 确定f(X)在各小开

4、区间内的符号，根据f(X)的符号判定函数f(x)在各个相应小开区间内的增减性。说明：原函数单调性与导函数单调性无关，只与导函数正负号有关2.可导函数的极值极值的概念设函数f (x)在点x0附近有定义，且对x0附近的所有点都有 f(x) v f(x0)(或f (x) > f (x0), 贝y称f(X0)为函数的一个极大(小)值点。称X0为极大(小)值点。求可导函数极值的步骤。 求导数f (x) 求方程f(X)= 0的根 检验f(X)在方程f (x) = 0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y= f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么

5、函数=f(x)在这个根处取得极小值。说明：极值点的导数为0,导数为0的点不一定是极值点(隐含条件，说明某点是极值点，相当于给出了一个f (x) = 0的方程3 函数的最大值与最小值设y= f(x)是定义在区间a ,b 上的函数，y= f (x)在(a ,b )内有导数，求函数 y= f(x)在a ,b 上的最大值与最小值，可分两步进行。求y= f(x)在(a ,b )内的极值。将y= f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比拟，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。假设函数y= f(x)在a ,b 上单调增加，贝U f (a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；假设函数 y=

6、f (x)在a ,b 上单调减少，贝U f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值。说明：极大值小于等于最大值，极小值大于等于最小值二、例题讲解题型一导数的概念【例1】设f(x)在点xo处可导，a为常数，那么im f(x0a x) f(xoa x)等于()A.f/(xo)B.2af '(xo)C.af/(x o)D.o【变式】设f (x)在xo处可导limx 0f (xox) f (xo)x题型二导数的几何意义、物理意义【例2】2x(1)求曲线y 在点(1 , 1)处的切线方程;x 1(2 )运动曲线方程为 St2o2t，求t=3时的速度。y=f(x)在X。处的导数就是曲线y=f(

7、x)分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数在点P(xo,y。)处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。题型三利用导数求单调区间【例3】求以下函数单调区间(1) yf(x) x3 -x2 2x 52(2) y(3) yk2(k0)2(4) y 2x In题型四：利用导数求函数的最(极)值【例4】求函数f(x) x3 3x 1在闭区间-3，0上的极值、最大值、最小值题型五：原函数图像与导函数图像【例5】1设f '( x)是函数f(x)的导函数，y=f '( x)的图象A)(B)(C)(D)如右图所示，那么y=f(x)的图象最有可能的是2、函数f(x)的定

8、义域为开区间(a,b)，导函数f (x)在(a,b)内的图象如下图，贝U函数f (x)在开区间(a,b)内有极小值点()A. 1个B. 2个C. 3个D .4个题型六：利用极值的本质及单调性求解析式【例6】函数f(x) ax3 bx2 3x在x1处取得极值。(I)讨论f(1)和f( 1)是函数f(x)的极大值还是极小值;(II)过点A(0,16)作曲线y f (x)的切线，求此切线方程。0),( 2，0)如下图求：(1) x0 的值；(2)a、b、e 的值.【例8】函数f(x)=x3+a)+bx+c，当x= 1时，取得极大值7；当x=3时，取得极小值.求这个极小值及a、b、e的值【例9】f(x

9、) ax4 bx2 e的图象经过点(0,1)，且在x 1处的切线方程是y x 2 (1)求y f(x)的解析式；(2)求y f (x)的单调递增区间题型七：含参数的讨论( )A.(0,+ )B.0,+ )C.(3,+ )D.3,+)(2 )如果函数f(x)=x3+ ax的图象上有平行于x轴的切线，那么实数a的取值范围是4)上是减函数(1)求b的值；(2)求a的取值范围题型八：综合应用r厂【例12】平面向量a (、3, 1),b (丄，一3)，假设存在不同时为0的实数k和t,使2 2r r 2 r r r r rrx a (t 3)b, y ka tb,且x y，试确定函数kf (t)的单调区间

10、例题答案:【例11】函数f xax3 x2 bx 2 a, b, c R且a 0 在区间,0上都是增函数，在(0,【例1】解:f(x°a x)f(x° a x)xlim f(x° a x) f(x°) f(x°) f (冷 a x)x 0x f (x0 a x) f(x。) a lima x 02af /(x0)【变式】:-1【例2】(1)y'2(x：y'|x21因此曲线(2)S'tt2S'|t3【例3】(1)y3x2应选C2y1 .xx19227241) 2x1)2【例4】2x(2)(3)(4)【例5】1、Cl

11、im f(x0 ax) f(x。)x 02 2x20,即曲线在点1, 1处的切线斜率2xx2 1(2t2)'k=0在1,1 处的切线方程为2t 2t(t 1)t44ty=14t122611- o27(3x 2)(x1)23)(1,)时 y 0(|,1)|)(1,(I")x212 xk22x,0),(0,(,k)(k：,)y 0 x ( k,k),(k,)(k,0) , (0,k)4x -x4x21定义域为0,x10,：y01x ( ,) yx(yx略，注意强调学生的步骤完整性,0)(0,k) y 02、 A【例6】分析：(1)分析x= ± 1处的极值情况，关键是分析

12、x= ± 1左右f (x)的符号(2)要分清点 A (0, 16)是否在曲线上.解：(1) f ( x)=3aX2+2bx- 3,依题意,(1) = f(-1) =0，即3a 2b 33a 2b 30,0.解得 a=1 , b=0. f (x) =x3- 3x, f (x) =3x2- 3=3 (x+1)( x- 1)令 f (x) =0 ,得 x= 1, x=1.假设 x( g, 1)U( 1, + g),那么 f (x)> 0,故f (x)在( g,1) 上是增函数，f (乂)在(1, + g)上是增函数.假设 x ( 1, 1),那么 f (x)v 0,故 f (x)在(

13、一1, 1) 上是减函数.所以f ( 1) =2是极大值，f (1) = 2是极小值.(2)曲线 y=x3 3x,点 A (0, 16)不在曲线上，设切点 M (xo, yo),那么 yo=x。3 3x. f (x°) =3x°2 3,切线方程为 y y°=3 (x)2 1)( x x°).代入 A (0, 16)得 16 x°3+3x0=3 (X02 1)( 0 x°).解得 X0= 2,. M ( 2, 2),切线方程为 9xy+16=0.评述：过点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键【例7】解：函数f x的增减变

14、化如下表：x,111,222,f x+0-0+f x/极大、极小(1)fx在x=1处由增变减，故f 1为极大值，即x0=1(2)由于fx3ax2 2bxc ,f103a 2b c 0a 2f2012a 4b c 0b 9f15a b c 5c 122a3b3-a= 一 3, b= 一 9 f (x) =x3 3x2 9x+cT f (一 1) =7 , c=2极小值 f ( 3) =33 3 X32 9 X 3+2= 25【例9】解：(1) f (x) ax4 bx2c的图象经过点0,1，那么c 1 ,'3'f (x) 4ax 2bx,k f (1)4a 2b 1,切点为(1,

15、 1)，那么f (x) axbx2c的图象经过点1,1)极小值为25, a= 3, b= 9, c=2f(x)【例10】【例11】(2)f (x)10x39x 0,3.1010单调递增区间为学,0),(103.1010(1) A (2)(-解：由条件知x0是函数的极值点.2x 3ax2x b,0 ,得 b 0.已求b 0, f3ax 2x.令 f x 0，得 x0佥由条件知x 0为极大值点，那么应为极小值点又知曲线在区间0, 4上是减函数. 3a【例12】解：由a(3,6a13a0,得 a 0,161),b,1、3(,_2 2)得 agD 0, a2,ba (t23)bc(ka tb)0, k

16、a2 tag2I 1k(t2 3)acbt(t23)b201 33t 0,k-(t34f'(t)3t2 -0,得 t444k t3133t), f (t)-(t3 3t)41,或 t1;3t2 30,得 144所以增区间为(,1),(1,);减区间为(1,1)。三、课堂演练:1.假设曲线y=f (x)在点(Xo, f (Xo)处的切线方程为2xy仁0,那么A. f'( Xo) >0(Xo) <oC. f'( Xo) =0f'( Xo)不存在2.函数f(x) 2X2x3在区间0,6上的最大值是(332C. 12A. 0B. 1C .2D . 44.函数

17、f(x)x3 ax2 3x 9 在 x3时取得极值，那么实数a的值是()A. 2B. 3C . 4D .55.在函数y3X8x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中,4坐标为整数的点的个数是A. 3B . 2C . 1D .06.三次函数y=f (x) =ax3+x在 x( 8,+8)内是增函数，那么A. a>0B . a<0C . a=1D .1 a= _37.与直线2x6y+仁0垂直，且与曲线y=x3+3x2 1相切的直线方程是.8.a为实数,2f(x) (X 4)(xa)。3函数求导数f (x);()y=x3 3x的极大值为 m，极小值为n,那么m+n为假设f ( 1) o，求f

18、 (X)在2, 2上的最大值和最小值;假设f (X)在(8, 2)和2, +8 上都是递增的，求a的取值范围1-6AAADAA , 7.3x+y+2=03 2 28.解：由原式得 f(x) x ax 4x 4a, /. f (x) 3x 2ax 4.由f ( 1)0得a1此时有2f(x)(x24)(x12),f(x)由 f ( 1)0得x或 x=-1 ,34 又 f(-)350,f(2791)芽(22)0,f(2)0,3x2x 4.950所以f(x"跆上的最大值为刁，最小值为27解法一 ：f (x) 3x2 2ax 4的图象为开口向上且过点(0-4)的抛物线，由条件得 f ( 2)0, f (2) 0,即 8a4：0 2w aw 2.所以a的取值范围为-2,2.解法二：令f (x)0即3