(完整word版)第一章线性系统的状态空间描述

1、第一章 线性系统的状态空间描述 1. 内容 系统的状态空间描述 化输入输出描述为状态空间描述 由状态空间描述导出传递函数矩阵 线性系统的坐标转换 组合系统的状态空间方程与传递函数矩阵 2. 基本概念 系统的状态和状态变量 状态：完全描述系统时域行为的一个 最小变量组 状态变量：构成系统状态的变量 状态向量 设系统状态变量为Xi(t), X2(t),，Xn(t)写成向量形式称为状态 向量，记为 _Xi (t) X2(t) a _Xn (t) 状态空间 状态空间：以状态变量为坐标轴构成的 n维空间 状态轨迹：状态变量随时间推移而变化，在状态空间中形成的一 条轨x(t)= 迹。 3. 状态空间表达式

2、 设系统r个输入变量：Ui(t),U2(t), ,Ur(t) m个输出：/小厂，ym(t) n个状态变量：右，X2(t), *(t) 例：图示RLC电路，建立状态空间描述 iL C 电容C和电感L两个独立储能元件，有两个状态变量, 方程为 普RiL心U 如图中所注, CdUc(t) dt L(t) Uc Xi(t)二 L(t), X2(t)二 Uc(t) 状态方程 二 Lxi(t) Rxi(t) X2(t)二 u(t) Cx2(t)二 Xi(t) x1(t) - R/L 殳门1/C “叩儿 0山一 O 输出方程 y(t) = %(t) = i 0；X(t)1 状态方程：状态变量与输入变量之间的

3、关系 d为(t) d = Xi(t)二 flXi(t),X2(t), ,Xn(t)；Ui(t),U2(t), ,Ur(t)；t 1 dX2(t);dt = X2(t)二 f2%(t),X2(t), ,Xn(t)；Ui(t),U2(t), ,Ur(t)；t 1 dXn(t) Pt = Xn(t) = fnXi(t), X2(t), , Xn(t)； Ui(t),U2 (t), , Ur(t)；t】 用向量表示，得到一阶的向量微分方程 x(t) = f LX(t),u(t), t1 其中 输出方程：系统输出变量与状态变量、输入变量之间的关系，即 yi(t)二 gi %(t), X2(t), ,Xn

4、(t)；Ui(t),U2(t), ,u(t)；t】 y2(t) = g2 Xi(t),X2(t), ,Xn(t)；Ui(t),U2(t), ,Ur(t)；t】 ym(t)二 gm Xi(t),X2(t), ,Xn(t)；Ui(t),U2(t), ,Ur(t)； t】 用向量表示为 y(t)二 gX(t),U(t),tX(t)： _Xi(t) I X2(t) R n,u(t): = Ui(t)1 ( Rr, f(*)： = f2(*) 4系统分类： 1) 非线性时变系统 ：x(t) = fx(t),u(t),t】 y(t)二 gx(t),u(t),tl 2) 非线性定常系统 x(t)二 f x(

5、t),u(t) y(t)二 gx(t),u(t)l 3) 线性时变系统 Xi = aii(t)xi + +am(t)Xn+bii(t)Ui + +bir(t)u /.=3丫住)人+ann(t)xn+bni(t)Ui+6住)山 写成向量形式即为 ；x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) 其中： A(t)二 c(t) aii(t) a2i(t) ai2(t) a22 (t) _ani (t) an2 (t) a1n小 a2n(t) ann(t) ,B(t) Mt) b2i(t) bi2(t) b22(t) _bnl(t) bn2(

6、t) 乙 G(t) Gn(t)1 _dn(t) C2i(t) - 。 C2n (t) D(t)二 d2i(t) - di2(t)dijt) d22(t)d2r(t) br(t) b2r(t) a bnr(t) 4) 线性定常系统_Cmi(t)血 Cmn(t) Pmi(t) dm2(t)dmr(t) X(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) 5状态空间表达式的系统结构图 状态和输出方程可以用结构图表示，形象地表明系统中信号传递关 线性时变系统结构图 6根据物理机理建立状态空间表达式 对不同控制系统，根据其机理，即相应的物理或化学定律，可建立系 统的状态空

7、间表达式，步骤如下： 1） 确定系统输入、输出和状态变量； 2） 列出方程； 3） 消去中间变量； 4） 整理成标准的状态和输出方程。 7化输入-输出描述为状态空间描述 设单输入单数出线性定常连续系统的微分方程有下列一般形式= y(t) 系。对线性系统，结构图如下: yC)+a nyC)+a n/yC)+aiy+aoy=B n uO+B n/u(n)十+%u+$ou 严2严 o N s sn an_Sn-1 an 2sn-2 . qs a0 = D s 当选取不同的状态变量时，可以得到不同的状态空间形式 1 1）能控规范性（P11P11） 写成向量形式 X2 i 0 i 10 1 0 0 X

8、= ,Ac = a : 9 a + a bc = 9 Xn -4 0 1 卫 0 t 1 0 - Xn _ i _一 _ a1 -a2 一 an/ i i 1 一 x = Ax Bu - 0 0 1 0 0 Xi 丁）+叫器2 i +迢=口 选状态变量Xi = z, XZ(1) , (n_2) ，Xn/ 二 Z , Z（n ） X1 X2 Xn Xn =Xn = z(n) 二 -anX1 _anx2 - a% +u ： 必2 ：0Xi i =1 输出方程 y 二？oX . 一： 1X2 泪営？ nXn _ I - 0 - 1 2)2) 能观规范性 (P10P10) ” Xn = y Xi =X

9、i+aiy -u i =1,，n-1 能控与能观两种规范型的系数矩阵存在下列关系 Ac = A。 bc = co cc = b0 这种关系称为对偶原理。 3 3）对角型 当系统含相异实极点时，可化为 A是对角型的状态空间方程 G（s）二四八亠 D （s） im S - 丸i Cj 二 Sim (s - i)G(s), i = 1,2, ,n 定义 -n_2 _i】X=CcX 0 0 1 0 代=0 1 a * 卫0 0 a0 0 - a, 0 - a? a a 1 _and 一 b。=卩 2 0 T 0 c = 0 J 一 i =1 jXj u n 気 ci X iXi 0 4 4）约当型 系

10、统含重极点时 -2 + b = 1 c = C2 m - 打一 1 1_ 1 1 On A = G（s）（s） Gi C12 _ ITJ + D(s) (s- Jk (s- J C1k (s _ 1) G =lim (s - i)G(s), i =k 1,r 2, , n .1 djJL C1j 二 lim -y s j (j 1)!dsj (s-j)rG(s)】 i 01 0 cn C12 Gk Ck* n 例：已知为传递函数 0 cii G(s) 一 (s 1)2(s 2) (s 1)2 C3 C1 lim(s 1)2G(s) =5 c12 = lim 一 (s 1)2G(s) 5 s+d

11、s clim (s 2)G(s) -5 8从状态空间表达式求传递函数矩阵 已知线性定常系统状态空间模型为 x= Ax + Bu y 二 Cx Du sX(s) - X(0) = AX(s) BU(s) Y(s)二 CX(s) DU (s) 令 X(0)=0X(0)=0，则 sX(s)二 AX(s) BU (s)二 X(s)二(si - A) _1 BU (s) 二 Y (s)二 C(sl - A)，B D U (s)n G(s)U (s) G(s) =C(s A)JB D 系统的传递函数矩阵。 9线性系统的线性变换 1 1)概念介绍 状态变量的不同选取，其实是状态向量的一种线性变换， 为坐标变

12、换。 设有一个 n n 阶控制系统，两组不同状态变量分别是 : : ： Xi，X2， ,X n “，X2， ,x n 则两组变量间存在非奇异线性变换关系: _ Pii 1 Pin 1 或者称 y = 5 -1 X = Px = X = P _1x, P = 1 : 1 1 1 IP ni P nn 于是，有如下线性方程: X = p111 + p122 + + Pin n X2 = P21 1 + P22 2 + 1 + P2n n 丘=PM1 + Pn22 + + Pnn n 即一组状态变量是另一组的线性组合，且这种组合具有唯一的对 应关系，均能完全描述同一系统的行为。 状态向量的这种变换称

13、为状态的 线性变换或等价变换。 状态的线性变换或等价变换，实质是状态空间的基底变换，也即 坐标变换。 状态变换后，状态空间表达式发生变化： x = Ax + Bu 原系统：.y = Cx Du 线性变换：x = Px,x = P_1x x = PAPx + PBu Ax + Bu 二 厂CP Du =（ Du 由此，有 A= PAP,B = PBC = CP,=D 变换前后系统矩阵相似，故具有相同的基本特性，如行列式相同、秩 相同、迹相同、特征多项式相同和特征值相同等。 对于线性定常系统 x 二 Ax Bu y = Cx 系统的特征多项式为： I - A = detl - A)=切 + a,*

14、1 + a?切一2 + a._, + an 系统的特征方程为： det( I - A) = 0 特征方程的根，称为系统的特征值。 系统特征值的不变性：线性变换后 det(sl - A) =det(sl - PAP) = detP_1(s A)P 二 det(P*)det(sl - A)det(P) 二 det( si - A) 2 2)化为对角线标准型 对线性定常系统，若系统的特征值两两互异， 则必存在非奇异变 换，将状态方程化为对角线标准型。实际上 P = Pi B PRn n, AR = P AP=【AR AR APnR k2B LP 0 0 0人2 0 =lR P2 Pn匕 .0 0入n

15、 一 3 3）化为 JordanJordan 标准型 如果系统矩阵 A A 有重根，且 A A 的线性独立的特征向量数等于系 统的阶数 n n，则可将其化为对角线标准型。 当 A A 有重根时，经线性变换一般可将 A A 化为约当标准型 J J，矩阵 J J 是主对角线上均为约当块的准对角型矩阵，即 PAP 二 J 二 diag J1J2, , JM , Ji R :j *2*M =n,二是,的代数重数 Ji1 I Ji = I 匕 ,Jj Rn,门山+ % i 1 JiQ . 约当块具有形式 人1 1 | 人1 Jij = J I 人1 I 0人 10组合系统的状态空间方程与传递函数矩阵 设

16、有两个系统： xi = Ax + BjUj 二： y 二 Gx Du 它们的传递函数矩阵为 Gi(s) =G(sl - A)Bi Di 1并联 Ui yi u U2 龙2 y2 i 72 其状态空间模型和传递函数为 Xi A1X1 BiU Al Xi Bi -| - | | + | u x2 _ A2X2 + B2u - A2 x2_ IB?- y = Cixi Diu C2X2 D2U = C1 C2 (Di G(s)二C(sl -A)B D Ci CJsl0Ai 0 _i Bi si - A2 - B2 D2)u + (Di + D2) i i = Ci(sAi) Bi D C2(sl -

17、 A2) B2 D2 9(s) G2(s) 并联系统 y y = C2x2 D2u2 二 C2x2 D2(C1x D1u) =lD2C1 C2 lx D2D2u 传递函数矩阵 丫 (s)f(s)=G2 (s) U2(sG2(s)(s) 二 G2(s)G1(s)U1(s G2 (s)G1(s)U (s) G(sG2 (s) Gi(s) 3 3 反馈连接 假设 D D 仁 D2=0D2=0昇昇1鼻鼻 J yi Jy $ * I U2 y2 i 2 u 反馈连接 u=u 1 - HI yi=u 2 A I y2=y - - 1 2 其状态空间模型为 一 A1x1 + B1u 1 A2X2 + B2C1x B2D1u Ai B2Ci 0 Xi Bi 2串联 串联系统 A1x1 B1u A2X2 + Bzy xi 二=Aixi BiUi =Aixi Biu - BIC2x2 X2 = =A2x2 B2u2 =A2X2 B2CIXI y 二 =Cixi 写成向量形式 I AiXi BiU - BC2X2 I x = I A2X2 + B2 Ci Xi 传递函数矩阵 Y(s)二Y(s)二 G(s)Ui(s)二 G(S)U(S)-Y2(S)1