北师大版初中数学九年级下册《二次函数最值问题》学案

1、精品初三数学二次函数的最值问题解析 例1. 二次函数的图象与x轴交于A2，0，B3，0两点，且函数有最大值是2， 1求：二次函数图象的解析式 2设此二次函数图象的顶点为P，求：ABP的面积 分析：与几何知识结合的函数问题，要注意几何量的大小与点的坐标间的关系。 解：1二次函数的图象与x轴交于点A2，0，B3，0 设解析式为 即 所求解析式为 另解：图象过2，0，3，0 对称轴为 顶点为 设，把代入即可 2， AB边上的高即P到x轴的距离，为函数最大值2 例2. 如图，在矩形ABCD中，BD20，ADAB，设ABD，sin是方程的一个实数根，点E、F分别是BC、DC上的点，ECCF8，设BEx，

2、AEF的面积等于y 1求y与x之间的函数关系式； 2当E、F两点在什么位置时，y有最小值？并求出最小值 解：1解方程可得 在RtABD中，ADBD·sin 设BE为x，那么有， 2 当时，y有最小值是46 故当BE10，CF2时，y有最小值是46 例3. 如图，ABC中，BC4，B45°，M、N分别是AB、AC上的点，MNBC，设MN为x，MNC的面积为S。 1求出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。 2是否存在平行线段MN，使MNC的面积等于2，假设存在，求出MN的长；假设不存在，请说明理由。 解：1过点A作ADBC，垂足为D， 那么有 设MNC的MN上的高

3、为h MNBC 2假设存在这样的平行线段MN，使那么方程必有实数解，即方程必有实数解，但该方程的判别式，说明它没有实解，矛盾，所以不存在这样的平行线段MN，使 例4. 某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商场决定提高销售价格，经试验发现，假设按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，假设按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y件是价格x元/件的一次函数。 1试求y与x之间的关系式 2在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少元？ 解：1设，依题意，得 解得： 2设月利润为

4、w，那么 ，w有最大值。 当时，w最大，最大利润为1920元。 例5. 心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y随着时间t的变化规律有如下关系式： 1讲课开始后，第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比拟，何时学生的注意力更集中？ 2讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ 3一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低到达180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力到达所需的状态下讲解完这

5、道题目？ 解：1当时，当时， 讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟更集中 2当时，该图像的对称轴为，在对称轴左侧，y随t的增大而增大，所以，当时，y有最大值240，当时，y随t的增大而减小，所以，当时，y有最大值240 所以，讲课开始后10分钟时，学生的注意力最集中，能持续10分钟 3当时，令 当时，令， 所以，学生注意力在180以上的持续时间为分钟 所以，老师可经过适当安排，能在学生的注意力到达所需的状态下讲解完这道题目。 例6. ，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点C0，4，与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，求：此抛物线的解析式。 解：1当A、B两点在原点

6、同侧时，如图1图1 ， C0，4，OC4，OB1 B1，0 A5，0 设二次函数解析式，由于抛物线过点C ， 即二次函数解析式 2当A、B两点在原点异侧时，如图2图2 又C0，4，OC4，OB1，B1，0 由 即AB4，A3，0 设二次函数解析式为，由于抛物线过点C 即二次函数解析式为 例7 一次函数 1根据表中给出的x值，计算对应的函数值，并填在表格中： 2观察第1问表中有关数据，证明如下结论：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立。 3试问：是否存在二次函数，其图象经过点5，2，且在实数范围内，对于同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立，假设存在，求出函数的解析式

7、，假设不存在，请说明理由。 解：1 2证明： 当自变量x取任意实数时，均成立。 3由经过5，2，得 依题意，有 由、可得 恒大于0， 那么满足： 令恒大于0，那么： 满足 综上，可得 解析式为 例8 二次函数的图象经过点A3，6，并与x轴交于点B1，0和点C，顶点为P 1求这个二次函数的解析式 2设D为线段OC上一点，满足DPCBAC，求：点D的坐标 3在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标，假设不存在，请说明理由。 解：1将A3，6，B1，0代入 得 2过A作AEx轴，垂足为E， 设抛物线的对称轴交x轴于F， 那么AEC、CFP

8、均为等腰直角三角形 那么EACFPC DPCBAC，EABFPD AEBPFD ，易求 3存在：过M作MHAC，MGPC垂足分别为H、G，设AC交y轴于S，CP的延长线交y轴于T SCT是等腰直角三角形，M是SCT的内切圆圆心 MGMHON，且OMMCOC ，得， 在x轴的负半轴上，存在一点M'， 同理： 得 ，即在x轴上存在满足条件的两个点。【模拟试题】一、填空题： 1抛物线的顶点坐标是_ 2抛物线的对称轴是_，有最_值是_ 3有一个抛物线形桥拱，有最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图1所示，那么此抛物线的解析式为_图1 4二次函数的图象如图2所示，那么函数值时，对应x的取值范围是_图2 5二次函数的图象与x轴交于A、B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且ABC的面积等于10，那么C点的坐标为_ 6二次函数的图象与x轴交点的横坐标是2和6，图象与y轴交点到原点的距离是3，那么这个二次函数是_ 7把配方成的形式是_ 8抛物线与x轴只有一个交点，那么m为_二、选择题： 1二次函数的图象如图3所示，那么以下结论正确的选项是 图3 A. B. C. D. 2二次函数的图象与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象可能是 图4 3把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，那么有 A. B. C. D. 三、解答题：