人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：圆锥曲线的性质与结论_20210103224735

1、圆锥曲线的性质与结论知识讲解一、直线与圆锥曲线的位置关系1.直线与椭圆的位置关系位置关系：相交、相切、相离判定条件：设直线：，椭圆方程：，由消去（或消去）得：，相交，直线与椭圆有两个交点；相离，直线与椭圆无交点；相切，直线与椭圆有一个交点2.直线与双曲线的位置关系位置关系：相交、相切、相离；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切；判定条件：设直线：，双曲线：，由消去（或消去）得：若，相交，直线与双曲线有两个交点；相离，直线与双曲线无交点；相切直线与双曲线有一个交点若，得到一个一次方程，与双曲线相交，有一个交点，与双曲线的渐近线平行 3.直线与抛物线的位置关系位置关系

2、：相交、相切、相离对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；判定条件：设直线：，抛物线：，由消去（或消去）得：若，相交；相离；相切若，得到一个一次方程，与抛物线相交，有一个交点，与抛物线的对称轴平行 4.圆锥曲线的弦：连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦求弦长方法：1）将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；2）如果直线的斜率为，被圆锥曲线截得弦两端点坐标分别为，则弦长公式为两根差公式：如果满足一元二次方程：，则（）注意：（1）讨论直线与圆锥曲线的位置关系一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立成方程组，消元（或），若消去得到，

3、讨论根的个数得到相应的位置关系，这里要注意的是：二次项系数可能有或两种情况，只有当，才能用判断根的个数；直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点，但有一个公共点不一定相切（2）在讨论直线与双曲线的交点时，要注意数形结合的方法，结合图象作出判断有时更方便快捷，要注意双曲线的渐近线的斜率，以及直线与渐近线的斜率比较（3）当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理”设而不求计算弦长；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍二、圆锥曲线的常用结论1.椭圆1）点处的切线

4、平分在点处的外角. 2）平分在点处的外角，则焦点在直线上的射影点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3）以焦点半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.4）若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.5）若在椭圆外 ，则过作椭圆的两条切线切点为、，则切点弦的直线方程是.6）椭圆 的左右焦点分别为，点为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.7）椭圆的焦半径公式：,( ，).8）是椭圆的不平行于对称轴的弦，为的中点，则，即。9）若在椭圆内，则被所平分的中点弦的方程是.10）若在椭圆内，则过的弦中点的轨迹方程是.2.双曲线1）点处的切线平分2在点处的内角.2）平分在点处的内角，则焦点在直线上的射

5、影点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3）以焦点半径为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：在右支；外切：在左支）4）若在双曲线上，则过的双曲线的切线方程是.5）若在双曲线外 ，则过作双曲线的两条切线切点为、，则切点弦的直线方程是.6）双曲线的左右焦点分别为，点p为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.7）双曲线的焦半径公式：( , )当在右支上时，,.当在左支上时，,8）是双曲线的不平行于对称轴的弦，为的中点，则，即。9）若在双曲线内，则被所平分的中点弦的方程是.10）若在双曲线内，则过的弦中点的轨迹方程是.3.抛物线1）基本性质标准方程：焦点：通径：准线：；焦半径：

6、，过焦点弦长：，2）抛物线切线性质性质1：过抛物线一弦的中点平行于对称轴的直线与抛物线交于点，若过的切线为，则 性质2：过抛物线上一点的切线交其对称轴于点，则性质3：过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在准线上 性质4：过抛物线的准线上任一点所作的两条切线必须相互垂直性质5：过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 性质6：切线交点与弦中点连线平行于对称轴 性质7：过抛物线准线上的一点引抛物线的两条切线，则准线上这点与焦点连线与准线的夹角被切线平分性质8：过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径 性质9：从抛物线的焦点向它的任意切线作垂线，则其垂

7、足必在抛物线顶点的切线上 性质10：过抛物线的焦点作直线与抛物线的任意切线垂直，则此直线与准线的交点和切线的连线必平行于此抛物线的对称轴 性质11：抛物线的三切线围成的三角形的垂心必在准线上 3）抛物线焦点弦性质已知：过焦点，为的中点，性质1：以为直径的圆与准线相切于性质2： 性质3：性质4：垂直平分，垂直平分平分，平分性质5： 性质6：性质7： 性质8：以为直径的圆分别与轴相切性质9：过原点，过原点性质10：过点作并延长交准线于，则平行于轴性质11： 性质12：经典例题一选择题（共16小题）1已知f1，f2是椭圆c的两个焦点，p是c上的一点，若pf1pf2，且pf2f1=60°，则

8、c的离心率为（）a132b23c3-12d31【解答】解：f1，f2是椭圆c的两个焦点，p是c上的一点，若pf1pf2，且pf2f1=60°，可得椭圆的焦点坐标f2（c，0），所以p（12c，32c）可得：c24a2+3c24b2=1，可得14e2+34(1e2-1)=1，可得e48e2+4=0，e（0，1），解得e=3-1故选：d2设椭圆c：x24+y2=1的左焦点为f，直线l：y=kx（k0）与椭圆c交于a，b两点，则|af|+|bf|的值是（）a2b23c4d43【解答】解：如图，设f2是椭圆的右焦点，o点为ab的中点，丨of丨=丨of2丨，则四边形afbf2是平行四边形，af

9、=bf2|af|+|bf|=丨bf丨+丨bf2丨=2a=4，故选：c3已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点f1，过点f1作倾斜角为30°的直线与圆x2+y2=b2相交的弦长为3b，则椭圆的离心率为（）a12b22c34d32【解答】解：椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点f1（c，0），过点f1作倾斜角为30°的直线y=33(x+c)与圆x2+y2=b2相交的弦长为3b，可得：(|33c|1+(33)2)2=b2-(3b2)2，可得：b=c，则a=2c，则椭圆的离心率为：22故选：b4已知f1，f2是椭圆e：x2a2+y2b2=1（ab0）的左右焦点，若

10、e上存在不同两点a，b，使得f1a=3f2b，则该椭圆的离心率的取值范围为（）a（31，1）b（0，3-1）c（23，1）d（0，23）【解答】解：延长af1交椭圆于a1，根据椭圆的对称性，则f2b=a1f1，f1a=3a1f1，设直线aa1的方程x=myc，a（x1，y1），a1（x2，y2），联立&x=my-c&x2a2+y2b2=1，整理得：（b2m2+a2）y22b2mcyb4=0，则y1+y2=2b2mcb2m2+a2，y1y2=b4b2m2+a2，由f1a=3a1f1，则y1=3y2，解得：y2=2b2mc(1-3)(b2m2+a2)，y1=-23b2mc(1-3)

11、(b2m2+a2)，由y1y2=-23b2mc(1-3)(b2m2+a2)2b2mc(1-3)(b2m2+a2)=b4b2m2+a2，整理得：m2=(2-3)a223c2-(2-3)b20，则23c2（23）b20，即c2a22-32+3=（23）2，椭圆的离心率e=ca23，椭圆的离心率的取值范围（23，1），故选：c5如图，f为椭圆x2a2+x2b2=1（ab0）的右焦点，过f作x轴的垂线交椭圆于点p，点a，b分别为椭圆的右顶点和上顶点，o为坐标原点，若oab的面积是opf面积的52倍，则该椭圆的离心率是（）a25或35b15或45c105或155d55或255【解答】解：设p（c，y0）

12、，则c2a2+y02b2=1，可得p（c，b2a）soab=12ab，sopf=12cb2a，oab的面积是opf面积的52倍，ab=52b2ca，2a2=5bc，cb=2，或12bc+cb=52，cb=2，或12e=c2a2=c2c2+b2=55或255故选：d6过双曲线m：x2y23=1的左焦点f作圆c：x2+（y3）2=12的切线此切线与m的左支、右支分别交于a，b两点，则线段ab的中点到x轴的距离为（）a2b3c4d5【解答】解：过双曲线m：x2y23=1的左焦点f（2，0），圆c：x2+（y3）2=12的圆心（0，3），半径为：22，双曲线m：x2y23=1的左焦点f作圆c：x2+（

13、y3）2=12的切线设切线方程为：y=k（x+2），可得|2k-3|1+k2=22，解得k=1或k=1773（舍去），所以切线方程为：y=x+2代入双曲线方程，化简可得：2x24x7=0，可得中点的横坐标为：x0=1，纵坐标y0=3则线段ab的中点到x轴的距离为：3故选：b7已知双曲线x2a2y2b2=1（a0，b0）的一条渐近线截椭圆x24+y2=1所得弦长为433，则此双曲线的离心率等于（）a2b3c62d6【解答】解：双曲线x2a2y2b2=1（a0，b0）的一条渐近线不妨为：bxay=0，则：&bx-ay=0&x24+y2=1，消去y可得：x=±2aa2+4b

14、2，y=±2ba2+4b2一条渐近线截椭圆x24+y2=1所得弦长为433，可得：4a2+4b2a2+4b2=43，可得2a2=b2=c2a2，解得e=ca=3故选：b8已知双曲线x2a2-y2b2=1（ab0）的左右焦点分别为f1（c，0），f2（c，0），过双曲线上一点p（c，y0）作y轴的垂线，垂足为m，若pf1mf2，则该双曲线的离心率为（）a2b2+3c2+62d2+32【解答】解：不妨设p在第一象限，则p（c，b2a），故m（0，b2a），kpf1=b2a2c=b22ac，kmf2=b2a-c=b2ac，pf1mf2，b22ac（b2ac）=1，即b2=2ac，b2a2=

15、2e，即e22e1=0，解得e=2+62或e=2-62（舍）故选：c9已知双曲线c：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为f1、f2，过f2作平行于c的渐近线的直线交c于点p，若pf1pf2，则c的渐近线方程为（）ay=±xby=±2xcy=±2xdy=±5x【解答】解：如图，设p（x，y），根据题意可得f1（c，0）、f2（c，0），双曲线的渐近线为：y=bax，直线pf2的方程为：y=ba（xc），直线pf1的方程为：y=ba（x+c），又点p（x，y）在双曲线上，x2a2y2b2=1，联立，可得x=a2+c22c，联立，可得x=b2

16、-a2a2+b2c=b2-a2c，a2+c22c=b2-a2c，a2+a2+b2=2b22a2，b2=4a2，b=2a，c的渐近线方程为y=±2x，故选：c10已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为f1，f2，点p在双曲线的右支上，且|pf1|=4|pf2|，则双曲线离心率的取值范围是（）a(53，2b(1，53c（1，2d53，+)【解答】解：根据题意，双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)中，点p在双曲线的右支上，则|pf1|pf2|=2a，又由|pf1|=4|pf2|，则|pf2|=2a3，则有2a3c-a，变形可得：23e1，即可得：e53，则双

17、曲线的离心率取值范围为(1，53故选：b11已知双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点分别为f1、f2，过点f1作圆c：x2+y2=a2的切线l，点m在直线l上，且|mf1|mf2|=2a，且f1mf2=45°，则双曲线的渐近线方程为（）ay=±xby=±2xcy=±3xdy=±2x【解答】解：|mf1|mf2|=2a，m在双曲线的右支上，设直线l与圆c：x2+y2=a2的切点为a，则oa=a，oaf1m，f1a=of12-oa2=c2-a2=b，直线l的斜率为tanaf1o=ab，直线mf1的方程为y=abx+acb，设l与y

18、轴交于b点，则b（0，acb），ym=2acb，把ym=2acb代入y=abx+acb可得xm=c，m（c，2acb），又f2（c，0），mf2x轴，f1mf2=45°，a1fo=45°，tanaf1o=ab=1，即a=b双曲线的渐近线方程为：y=±x故选：a12点p是双曲线x2a2-y2b2=1右支上一点，f1、f2分别为左、右焦点pf1f2的内切圆与x轴相切于点n若点n为线段of2中点，则双曲线离心率为（）a2+1b2c2d3【解答】解：pf1f2的内切圆与x轴相切于点n，设切点分别为n，a，b，并设pa=pb=x，bf1=nf1=y，af2=nf2=z，根据

19、双曲线的定义|pf1|pf2|=2a，（x+y）（x+z）=2a，y+z=2c，解得z=ca，点n为线段of2中点，z=12c，12c=ca，c=2a，e=2故选：b13等腰直角三角形abc中，a=90°，a，b在双曲线d的右支上，且线段ab经过双曲线的右焦点f，c为双曲线d的左焦点，则|af|fb|=（）a2-22b21c3-33d31【解答】解：设|af|=m，则|ac|=m+2a，|ac|=|ab|，|bf|=m+a，|bc|=m+3a，abc是等腰直角三角形，|bc|=2|ac|，即m+3a=2（m+2a），m=（21）a，|af|=（21）a，|bf|=2a，|af|bf|

20、=2-12=2-22故选：a14已知点a是抛物线c：x2=2py（p0）的对称轴与准线的交点，过点a作抛物线c的两条切线，切点分别为p，q，若apq的面积为4，则p的值为（）a12b1c32d2【解答】解：设过点a与抛物线相切得直线方程为y=kxp2）由&y=kx-p2&x2=2py得x22pkx+p2，=4k2p24p2=0，可得k=±1，则q（p，p2），p（p，p2），apq的面积为s=12×2p×p=4，p=2故选：d15若抛物线c：y2=2px（p0）的焦点在直线x+2y2=0上，则p等于（）a4b0c4d6【解答】解：根据题意，抛物线c

21、的方程为y2=2px（p0），其抛物线的焦点在x轴的正半轴上，其焦点坐标为（p2，0），又由抛物线的焦点在直线x+2y2=0上，则有p22=0，解可得p=4，故选：a16已知抛物线y2=4x，过焦点f的弦ab（点a在一象限），p（0，6），o为坐标原点，则四边形opab面积的最小值为（）a74b94c3d4【解答】解：设a（x1，y1），b（x2，y2）且x1，y10，易知f（1，0），设直线ab：x=my+1由&x=my+1&y2=4xy2-4my-4=0，所以y1y2=-4y2=-4y1，sopab=sopa+sofa+sofb=3y124+12y1+2y1(y10)，设f

22、（x）=34x2+12x+2x，x0，f（x）=32x+122x2=(x-1)(3x2+4x+4)2x2，易知f（x）在（0，1）减，（1，+）增，所以当y1=1时，(sopab)min=94，故选：b二填空题（共2小题）17已知f1，f2是双曲线c：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左右焦点，a，b是双曲线的左右顶点，m是以f1，f2为直径的圆与双曲线的渐近线的一个交点，若amb=45°，则该双曲线的离心率是5【解答】解：双曲线c：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的一条渐近线方程玩：bxay=0，以f1，f2为直径的圆：x2+y2=c2，可得&bx-ay=0&

23、;x2+y2=c2，不妨设m（a，b），可知mbx轴amb=45°，所以mab=45°，kma=b-0a-(-a)=1，可得b=2a，可得c2a2=4a2，解得e=5故答案为：518设双曲线y2a2-x2b2=1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为y=±2x【解答】解：双曲线y2a2-x2b2=1(a0，b0)的虚轴长为2，a=1，c=3，则b=2，双曲线的渐近线方程为：y=±2x故答案为：y=±2x三解答题（共5小题）19已知点m，n分别是椭圆c：x2a2+y2b2=1(ab0)的左右顶点，f为其右焦点，|mf|与|

24、fn|的等比中项是3，椭圆的离心率为12（1）求椭圆c的方程；（2）设不过原点o的直线l与该轨迹交于a，b两点，若直线oa，ab，ob的斜率依次成等比数列，求oab面积的取值范围【解答】解：（1）解：|mf|=a+c，|bn|=ac，3是|mf|与|fn|的等比中项（a+c）（ac）=3，b2=a2c2=3又e=ca=12，解得a=2，c=1，椭圆c的方程为x24+y23=1（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0故可设直线l：y=kx+m（m0），a（x1，y1），b（x2，y2），联立直线和椭圆&3x2+4y2-12=0&y=kx+m，消去y可得，（3+4k2）x2+8k

25、mx+4m212=0，由题意可知，=64km4（4k2+3）（4m212）=48（4k2m2+3）0，即4k2+3m2，且x1+x2=-8km3+4k2，x1x2=4m2-123+4k2，又直线oa，ab，ob的斜率依次成等比数列，所以y1x1y2x2=k2，将y1，y2代入并整理得m2（4k23）=0，因为m0，k=±32，0m26，且m23，设d为点o到直线l的距离，则有d=2|m|7，|ab|=1+k2|x1-x2|=7318-3m2，所以soab=12|ab|d=133m2(6-m2)3，所以三角形面积的取值范围为(0，3)20已知椭圆c：x2a2+y2b2=1(ab0)过抛

26、物线m：x2=4y的焦点f，f1，f2分别是椭圆c的左、右焦点，且f1ff1f2=6（1）求椭圆c的标准方程；（2）若直线l与抛物线m相切，且与椭圆c交于a，b两点，求oab面积的最大值【解答】（本题满分12分）解：（1）f（0，1），b=1，又f1ff1f2=6，2c2=6，c=3又a2b2=c2，a=2，椭圆c的标准方程为x24+y2=1（2）设直线l与抛物线相切于点p（x0，y0），则l：y-x024=x02(x-x0)，即y=x02x-x024，联立直线与椭圆&y=x02x-x024&x24+y2=1，消去y，整理得(1+x02)x2-x03x+14x04-4=0由=1

27、6(x02+1)-x040，得0x028+45设a（x1，y1），b（x2，y2），则：x1+x2=x031+x02，x1x2=x04-164(1+x02)则|ab|=1+x024|x1-x2|=1+x024(x1+x2)2-4x1x2=4+x02216(x02+1)-x041+x02原点o到直线l的距离d=x022x02+4故oab面积s=12d|ab|=18x0216(x02+1)-x041+x02=1816(x02+1)-x04x041+x021+x021+x02=1，当且仅当16(1+x02)-x04=x04，即x02=4+26取等号，故oab面积的最大值为121在平面直角坐标系xoy

28、中，已知椭圆c：x2a2+y2b2=1（ab0）的离心率为22，椭圆c截直线y=1所得线段的长度为22（）求椭圆c的方程；（）动直线l：y=kx+m（m0）交椭圆c于a，b两点，交y轴于点m点n是m关于o的对称点，n的半径为|no|设d为ab的中点，de，df与n分别相切于点e，f，求edf的最小值【解答】解：（）椭圆c的离心率为22，a2-b2a2=12，a2=2b2，椭圆c截直线y=1所得线段的长度为22，椭圆c过点（2，1），2a2+1b2=1，b2=2，a2=4，椭圆c的方程为x24+y22=1（）设a，b的横坐标为x1，x2，则a（x1，kx1+m），b（x2，kx2+m），d（x1

29、+x22，k2(x1+x2)+m），联立&x24+y22=1&y=kx+m可得（1+2k2）x2+4kmx+2m24=0，x1+x2=4km1+2k2，d（2km1+2k2，m1+2k2），m（0，m），则n（0，m），n的半径为|m|，|dn|=(m1+2k2+m)2+(-2km1+2k2)2=|2m|1+2k2k4+3k2+1，设edf=，sin2=endn=ondn=m2m1+2k2k4+3k2+1=1+2k22k4+3k2+1，令y=1+2k22k4+3k2+1，则y=12k(4k2+1)k4+3k2+1(k4+3k2+1)，当k=0时，sin2取得最小值，最小值为12

30、edf的最小值是60°22已知抛物线c1：x2=2py（p0）过点a（2，1），且它的焦点f也是椭圆c2：y2a2+x2b2=1（ab0）的一个焦点，椭圆上的点到焦点f的最小值为2（）求抛物线c1和椭圆c2的标准方程；（）设m，n是抛物线c1上的两个动点，且omon=4求证：直线mn必过定点，并求定点q坐标；直线mn交椭圆c2于r、s两点，当sfns最大时，求直线mn的方程【解答】解：（i）把a（2，1）代入抛物线c1可得：4=2p，p=2抛物线c1的方程为x2=4y故f（0，1），又f（0，1）是椭圆c2：y2a2+x2b2=1的焦点，且椭圆上的点到焦点f的最小值为2，&a2-b2=c2&a-c=2&c=1，解得a=3，b=22，椭圆c2的标准方程为：y29+x28=1（ii）直线mn与抛物线交于m，n两点，直线mn斜率必存在设直线mn的方程为y=kx+b，m（x1，y1），n（x2，y2），联立方程组&y=kx+b&x2=4y，消去y可得：x24kx4b=0，x1x2=4b，y1y2=x124x224=b2，omon=x1x2+y1y2=b24b=4，即b=2直线mn的方