2022届高三数学一轮复习（原卷版）第6节 双曲线 教案

1、1第六节第六节双曲线双曲线最新考纲1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用1双曲线的定义(1)平面内与两个定点 f1，f2(|f1f2|2c0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a0，c0.当 2a|f1f2|时，m 点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形性质范围xa 或 xa，yrya 或 ya，xr对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶

2、点a1(a，0)，a2(a，0)a1(0，a)，a2(0，a)渐近线ybaxyabx2离心率eca，e(1，)实、虚轴线段 a1a2叫做双曲线的实轴，它的长|a1a2|2a；线段 b1b2叫做双曲线的虚轴， 它的长|b1b2|2b； a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2a2b2(ca0，cb0)常用结论双曲线中的几个常用结论(1)焦点到渐近线的距离为 b(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线(3)双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率 e 2双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a(5)过双曲线焦点 f1的

3、弦 ab 与双曲线交在同支上，则 ab 与另一个焦点 f2构成的abf2的周长为 4a2|ab|(6)双曲线的离心率公式可表示为 e1b2a2一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到点 f1(0，4)，f2(0，4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线()(2)方程x2my2n1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线()(3)双曲线x2m2y2n2(m0，n0，0)的渐近线方程是x2m2y2n20，即xmyn0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编31若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦点到其渐近线的

4、距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()a. 5b5c. 2d2a由题意可知 b2a，eca1b2a2 5，故选 a.2以椭圆x24y231 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 ()ax2y231b.x23y21cx2y221d.x24y231a设所求的双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，由椭圆x24y231，得椭圆焦点为(1，0)，在 x 轴上的顶点为(2，0)所以双曲线的顶点为(1，0)，焦点为(2，0). 所以 a1，c2，所以 b2c2a23，所以双曲线标准方程为 x2y231.3若方程x22my2m11 表示双曲线，则 m 的取值范围是_(，2)(1，)因为方程x22m

5、y2m11 表示双曲线，所以(2m)(m1)0，即 m1 或 m2.4已知双曲线 x2y2161 上一点 p 到它的一个焦点的距离等于 4，那么点 p到另一个焦点的距离等于_6设双曲线的焦点为 f1，f2，|pf1|4，则|pf1|pf2|2，故|pf2|6 或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为 ca 171，故|pf2|6.考点 1双曲线的定义及其应用双曲线定义的主要应用4(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题(1)已知圆 c1：(x3)2y21 和圆 c2：(x3)2y29，动圆 m 同时与圆

6、 c1及圆 c2相外切，则动圆圆心 m 的轨迹方程为_(2)已知 f 是双曲线x24y2121 的左焦点， a(1， 4)， p 是双曲线右支上的动点，则|pf|pa|的最小值为_(3)已知 f1，f2为双曲线 c：x2y22 的左、右焦点，点 p 在 c 上，|pf1|2|pf2|，则 cosf1pf2_(1)x2y281(x1)(2)9(3)34(1)如图所示，设动圆 m与圆 c1及圆 c2分别外切于点 a 和 b.根据两圆外切的条件，得|mc1|ac1|ma|，|mc2|bc2|mb|.因为|ma|mb|，所以|mc1|ac1|mc2|bc2|，即|mc2|mc1|bc2|ac1|2，所

7、以点 m 到两定点 c1，c2的距离的差是常数且小于|c1c2|.根据双曲线的定义， 得动点 m 的轨迹为双曲线的左支(点 m 与 c2的距离大，与 c1的距离小)，其中 a1，c3，则 b28.故点 m 的轨迹方程为 x2y281(x1)(2)设双曲线的右焦点为 f1，则由双曲线的定义，可知|pf|4|pf1|，所以当|pf1|pa|最小时满足|pf|pa|最小由双曲线的图象，可知当点 a，p，f1共线时，满足|pf1|pa|最小，|af1|即|pf1|pa|的最小值又|af1|5，故所求的最小值为 9.(3)因为由双曲线的定义有|pf1|pf2|pf2|2a2 2，所以|pf1|2|pf2

8、|4 2，所以 cosf1pf25|pf1|2|pf2|2|f1f2|22|pf1|pf2|（4 2）2（2 2）24224 22 234.母题探究1将本例(3)中的条件“|pf1|2|pf2|”改为“f1pf260” ，则f1pf2的面积是多少？解不妨设点 p 在双曲线的右支上，则|pf1|pf2|2a2 2，在f1pf2中，由余弦定理，得cosf1pf2|pf1|2|pf2|2|f1f2|22|pf1|pf2|12，|pf1|pf2|8，sf1pf212|pf1|pf2|sin 602 3.2将本例(3)中的条件“|pf1|2|pf2|”改为“pf1pf20”，则f1pf2的面积是多少？解

9、不妨设点 p 在双曲线的右支上，则|pf1|pf2|2a2 2，pf1pf20，pf1pf2，在f1pf2中，有|pf1|2|pf2|2|f1f2|2，即|pf1|2|pf2|216，|pf1|pf2|4，sf1pf212|pf1|pf2|2.在“焦点三角形”中， 常利用正弦定理、 余弦定理， 结合|pf1|pf2|2a，运用平方的方法，建立与|pf1|pf2|的联系1.虚轴长为 2，离心率 e3 的双曲线的两焦点为 f1，f2，过 f1作直线交双曲线的一支于 a，b 两点，且|ab|8，则abf2的周长为()a3b16 26c12 2d24b由于 2b2，eca3，b1，c3a，9a2a21

10、，a24.由双曲线的定义知，|af2|af1|2a22，|bf2|bf1|22，得|af2|bf2|(|af1|bf1|) 2，又|af1|bf1|ab|8，|af2|bf2|8 2，则abf2的周长为 16 2，故选 b.2(2019洛阳模拟)已知双曲线 x2y24，f1是左焦点，p1，p2是右支上的两个动点，则|f1p1|f1p2|p1p2|的最小值是_8设双曲线的右焦点为 f2，|f1p1|2a|f2p1|，|f1p2|2a|f2p2|，|f1p1|f1p2|p1p2|2a|f2p1|2a|f2p2|p1p2|8(|f2p1|f2p2|p1p2|)8(当且仅当 p1，p2，f2三点共线时

11、，取等号)，|f1p1|f1p2|p1p2|的最小值是 8.考点 2双曲线的标准方程求双曲线标准方程的方法(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出 a2，b2，得双曲线方程(2)待定系数法：即“先定位，后定量”焦点位置不确定时，设 ax2by21(ab0)；与x2a2y2b21 共渐近线的设为x2a2y2b2(0)；与x2a2y2b21 共焦点的设为x2a2ky2b2k1(b2k0，b0)的左、右焦点，p 为双曲线上一点，pf2与 x 轴垂直，pf1f230，且虚轴长为2 2，则双曲线的标准方程为()7ax24y221bx23y221cx24y281dx2y221(2)根据下列条件，求

12、双曲线的标准方程：虚轴长为 12，离心率为54；渐近线方程为 y12x，焦距为 10；经过两点 p(3，2 7)和 q(6 2，7)；(1)d(1)由题意可知|pf1|4 3c3，|pf2|2 3c3，2b2 2，由双曲线的定义可得4 3c32 3c32a，即 c 3a.又 b 2，c2a2b2，a1，双曲线的标准方程为 x2y221，故选 d.(2)解 设双曲线的标准方程为x2a2y2b21 或y2a2x2b21(a0，b0)由题意知，2b12，eca54，b6，c10，a8.双曲线的标准方程为x264y2361 或y264x2361.设所求双曲线方程为x24y2(0)，当0 时，双曲线标准

13、方程为x24y21，c 5. 55，5；当0)89m28n1，72m49n1，解之得m175，n125.双曲线方程为y225x2751.(1)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点： 距离之差的绝对值；2a|f1f2|；焦点所在坐标轴的位置(2)求双曲线标准方程时，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论1.(2019荆州模拟)已知双曲线 c：x2a2y2b21(a0， b0)过点( 2， 3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，则双曲线 c 的标准方程是()a.x212y21b.x29y231cx2y231d.x223y2321c由双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)过

14、点( 2， 3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，可得2a23b21，ba 3，解得a1，b 3，双曲线c 的标准方程是 x2y231，故选 c.2已知双曲线的渐近线方程为 3x4y0，焦点坐标为(5，0)，则双曲线的方程为_x216y291将 3x4y0 化为x4y30，设以x4y30 为渐近线的双曲线方程为x216y29(0)，因为该双曲线的焦点坐标为(5，0)，所以 16925，解得1，即双曲线的方程为x216y291.考点 3双曲线的几何性质9双曲线的渐近线求双曲线的渐近线的方法求双曲线x2a2y2b21(a0，b0)或y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线方程的

15、方法是令右边的常数等于 0，即令x2a2y2b20，得 ybax；或令y2a2x2b20，得 yabx.反之，已知渐近线方程为 ybax，可设双曲线方程为x2a2y2b2(a0，b0，0)1.一题多解(2018全国卷)双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为3，则其渐近线方程为()ay 2xby 3xcy22xdy32xa法一：(直接法)由题意知，eca 3，所以 c 3a，所以 b c2a22a，即ba 2，所以该双曲线的渐近线方程为 ybax 2x.法二：(公式法)由 eca1ba2 3，得ba 2，所以该双曲线的渐近线方程为 ybax 2x.2(2019揭阳一模)已知双曲线 mx

16、2y21 的一条渐近线方程为 2xy0，则 m 的值为()a14b1c2d4d因为 m0，则双曲线为： y2x21m1，渐近线方程为： mxy0，所以 m2，解得 m4，故选 d.3(2019郑州模拟)设 f1，f2分别是双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点， p 是 c 上一点， 若|pf1|pf2|6a， 且pf1f2的最小内角的大小为 30，10则双曲线 c 的渐近线方程是()ax 2y0b. 2xy0cx2y0d2xy0b假设点 p 在双曲线的右支上，则|pf1|pf2|6a，|pf1|pf2|2a，|pf1|4a，|pf2|2a.|f1f2|2c2a，pf1f2最

17、短的边是 pf2，pf1f2的最小内角为pf1f2.在pf1f2中，由余弦定理得4a216a24c224a2ccos 30，c22 3ac3a20，e22 3e30，e 3，ca 3，c23a2，a2b23a2，b22a2，ba 2，双曲线的渐近线方程为2xy0，故选 b.4(2019江苏高考)在平面直角坐标系 xoy 中，若双曲线 x2y2b21(b0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_y 2x双曲线 x2y2b21(b0)经过点(3， 4)， 3216b21， 解得 b22，即 b 2.又 a1，该双曲线的渐近线方程是 y 2x.双曲线的离心率求双曲线的离心率或其范围的方法(1)

18、求 a，b，c 的值，由c2a2a2b2a21b2a2直接求 e.(2)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2c2a2消去 b，然后转化成关于 e 的方程(或不等式)求解(1)已知点 f 是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点，点 e 是该双曲线的右顶点，过 f 作垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 a，b 两点，若abe 是11锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是()a(1，)b(1，2)c(2，1 2)d(1，1 2)(2)(2019全国卷)已知双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为f1， f2， 过 f1的直线与 c 的两条渐近线分别交于 a， b 两点 若f1aab， f1b f2b0，则 c 的离心率为_(1)b(2)2(1)若abe 是锐角三角形，只需aef45，在 rtafe中，|af|b2a，|fe|ac，则b2aac，即 b2a2ac，即 2a2c2ac0，则e2e20，解得1e2，又 e1，则 1e2，故选 b.(2)如图，由f1aab，得 f1aab.又 of1of2， 所以 oa 是三角形 f1f2b 的中位线，即 bf2/oa，bf22oa.由f1bf2b0，得 f1bf2b，oaf1a，则 obof1，所以aobaof1，又 oa 与 ob 都是渐近线，得bof2aof1，又bof