专题09 平面向量 9.1线性运算、基本定理和坐标运算 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原卷版）

1、专题九 平面向量讲义9.1 线性运算、基本定理和坐标运算知识梳理.线性运算、基本定理和坐标运算一向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量（没有方向上的规定）(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行或共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量二向量的线性运算（一）加法：求两个向量和的运算1.三角形法则：首尾连，连首尾2.平行四边形法则：起点相同连对角3.运算律交换律：结合律：()()（

2、2） 减法：共起点，连终点，指向被减（三）数乘：求实数与向量的积的运算1.数乘意义：| |，当>0时，与的方向相同；当<0时，与的方向相反；当0时，02.运算律（1）()()（2）()（3）()3向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得.4平面向量基本定理如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数1，2，使12.其中，不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底三平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y

3、2)，a(x1，y1)，|a|. (2)向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，则abx1y2x2y10.题型一. 线性运算1（2018新课标）在abc中，ad为bc边上的中线，e为ad的中点，则eb=（）a34ab14acb14ab34acc34ab+14acd14ab+34ac2（2015新课标）设d为abc所在平面内一点，bc=3cd，则（）aad=13ab+43acbad=13ab43accad=43ab+13acdad=4

4、3ab13ac3（2014新课标）设d，e，f分别为abc的三边bc，ca，ab的中点，则eb+fc=（）aadb12adcbcd12bc4已知a，b，c三点不共线，且点o满足16oa12ob3oc=0，则（）aoa=12ab+3acboa=12ab+3accoa=12ab3acdoa=12ab3ac题型二. 共线向量基本定理1设a，b是不共线的两个平面向量，已知ab=a2b，bc=3a+kb(kr)，若a，b，c三点共线，则k（）a2b2c6d62已知p是abc所在平面内的一点，若cbpb=pa，其中r，则点p一定在（）aac边所在的直线上bbc边所在的直线上cab边所在的直线上dabc的内

5、部3在abc中，ab=c，ac=b若点d满足cd=2db，则ad=（）a23b+13cb13b+23cc23b13cd13b23c4abc内一点o满足oa+2ob+3oc=0，直线ao交bc于点d，则（）a2db+3dc=0b3db+2dc=0coa5od=0d5oa+od=0题型三. 三点共线定理1（2007全国卷）在abc中，已知d是ab边上一点，若ad=2db，cd=13ca+cb，则（）a23b13c13d232（2010大纲版）abc中，点d在边ab上，cd平分acb，若cb=a，ca=b，|a|1，|b|2，则cd=（）a13a+23bb23a+13bc35a+45bd45a+35

6、b3（2008广东）在平行四边形abcd中，ac与bd交于点o，e是线段od的中点，ae的延长线与cd交于点f若ac=a，bd=b，则af=（）a14a+12bb23a+13bc12a+14bd13a+23b4（2009安徽）给定两个长度为1的平面向量oa和ob，它们的夹角为120°如图所示，点c在以o为圆心，以1半径的圆弧ab上变动若oc=xoa+yob，其中x，yr，则x+y的最大值是 5（2017新课标）在矩形abcd中，ab1，ad2，动点p在以点c为圆心且与bd相切的圆上若ap=ab+ad，则+的最大值为（）a3b22c5d26（2006湖南）如图，omab，点p在由射线o

7、m，线段ob及ab的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且op=xoa+yob，则x的取值范围是 ；当x=12时，y的取值范围是 题型四. 坐标运算1已知向量a=（3，2），b=（x，y1）且ab，若x，y均为正数，则3x+2y的最小值是（）a24b8c83d532已知a（3，0），b（0，2），o为坐标原点，点c在第二象限内，|oc|=22，且aoc=4，设oc=oa+ob(r)，则的值为（）a1b23c12d233如图，正方形abcd中，e为ab上一点，p为以点a为圆心，以ab为半径的圆弧上一点，若ac=xde+yap（xy0），则以下说法正确的是： （请将所有正确的命题序号填上）若点e和

8、a重合，点p和b重合，则x1，y1；若点e是线段ab的中点，则点p是圆弧db的中点；若点e和b重合，且点p为靠近d点的圆弧的三等分点，则x+y3；若点e与b重合，点p为db上任一点，则动点（x，y）的轨迹为双曲线的一部分课后作业. 线性运算、基本定理和坐标运算1在平行四边形abcd中，e为ab中点，bd交ce于f，则af=（）a23ab+13adb34ab+14adc12ab+14add23ab+12ad2设xr，向量a=（x，1），b=（1，2），且ab，则|a+b|（）a52b102c5d53已知o是abc所在平面内一点，且满足|oboc|=|ob+oc2oa|，若|ab|2，|ac|=3，则abc的外接圆的面积为 4在abc中，点o是bc的中点，过点o的直线分别交直线ab，ac与不同的两点m，n，若ab=mam，ac=nan，m0，n0，则1m+4n的最小值为（）a