2022届高三数学一轮复习（原卷版）考点10 函数的单调性（解析版）

1、考点10 函数的单调性【命题解读】考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；【基础知识回顾】 1. 函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)(2)如果函数yf(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)

2、单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间2. 函数单调性的图像特征对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减3. 复合函数的单调性对于函数yf(u)和ug(x)，如果当x(a，b)时，u(m，n)，且ug(x)在区间(a，b)上和yf(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数yf(g(x)在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减4. 函数单调性的常用结论(1)对x1，x2d(x

3、1x2)，>0f(x)在d上是增函数；<0f(x)在d上是减函数(2)对勾函数yx(a>0)的增区间为(，和，)，减区间为(，0)和(0，)(3)在区间d上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数(4)函数f(g(x)的单调性与函数yf(u)和ug(x)的单调性的关系是“同增异减”5.常用结论1若函数f(x)，g(x)在区间i上具有单调性，则在区间i上具有以下性质：(1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)g(x)是增(减)函数；(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；(3)函数yf(x)(

4、f(x)>0)在公共定义域内与yf(x)，y的单调性相反；(4)复合函数yfg(x)的单调性与yf(u)和ug(x)的单调性有关简记：“同增异减”2增函数与减函数形式的等价变形：x1，x2a，b且x1x2，则(x1x2)f(x1)f(x2)>0>0f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)<0<0f(x)在a，b上是减函数1、函数yx25x6在区间2，4上是()a递减函数b递增函数c先递减再递增函数 d先递增再递减函数【答案】c【解析】作出函数yx25x6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x，在2，4上先减后增故选c.2、函数y在2，3上的最小

5、值为()a2b.c.d【答案】b【解析】因为y在2，3上单调递减，所以ymin.故选b.3、已知函数f(x)是定义在区间0，)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x1)<f的x的取值范围是()a. b. c. d.【答案】d【解析】因为函数f(x)是定义在区间0，)上的增函数，满足f(2x1)<f.所以02x1<，解得x<.故选d.4、设函数f(x)在r上为增函数，则下列结论一定正确的是(d )a. y在r上为减函数 b. y|f(x)|在r上为增函数c. y在r上为增函数 d. yf(x)在r上为减函数【答案】d.【解析】如f(x)x3，则y的定义域为(，0)

6、(0，)，在x0时无意义，a、c错；y|f(x)|是偶函数，在r上无单调性，b错故选d.5、对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象不可能是abcd【答案】【解析】：若，则对数函数在上单调递增，二次函数开口向上，对称轴，经过原点，可能为，不可能为若，则对数函数在上单调递减，二次函数开口向下，对称轴，经过原点，可能为，不可能为故选：6、函数y|x22x1|的单调递增区间是 ；单调递减区间是 【答案】(1，1)，(1，)；(，1)，(1，1)【解析】作出函数y|x22x1|的图像如图所示由图像可知，函数y|x22x1|的单调增区间为(1，1)，(1，)；单调递减区间是(，1)，(1，1)故应分别考

7、向一函数单调性的证明与判断例1、判断函数f(x)在区间1，)上的单调性并证明你的结论【解析】函数f（x）在区间1，）上是单调减函数，证明如下：设x1、x21，），且x1<x2，则f（x1）f（x2）.x1、x21，），且x1<x2， x1x2<0，1x1x2<0.又（1x）（1x）>0， f（x1）f（x2）>0，即f（x1）>f（x2）. f（x）在1，）上为减函数.变式1、试讨论函数f(x)x(k>0)的单调性【解析】法一：由解析式可知，函数的定义域是(，0)(0，)在(0，)内任取x1，x2，令x1<x2，那么f(x2)f(x1)(x

8、2x1)k(x2x1)因为0<x1<x2，所以x2x1>0，x1x2>0故当x1，x2(，)时，f(x1)<f(x2)，即函数在(，)上单调递增当x1，x2(0，)时，f(x1)>f(x2)，即函数在(0，)上单调递减考虑到函数f(x)x(k>0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(，)上单调递增，在(，0)上单调递减综上，函数f(x)在(，)和(，)上单调递增，在(，0)和(0，)上单调递减法二：由解析式可知，函数的定义域是(，0)(0，)f(x)1令f(x)>0得x2>k，即x(，)或x(，)，故函数的单调增区间为(

9、，)和(，)令f(x)<0得x2<k，即x(，0)或x(0，)，故函数的单调减区间为(，0)和(0，)故函数f(x)在(，)和(，)上单调递增，在(，0)和(0，)上单调递减变式2、试讨论函数f(x)(a0)在(0，)上的单调性，并证明你的结论【解析】(方法1)设x1，x2(0，)且x1x2，则f(x1)f(x2).x1x2，x2x1>0，又a>0，(x1)(x1)>0.当x1，x2(0，1)时，x1x21<0，从而<0，即f(x1)f(x2)<0f(x1)<f(x2)，此时f(x) (a0)单调递增；当x1，x2(1，)时，x1x21&g

10、t;0，从而>0，即f(x1)f(x2)>0f(x1)>f(x2)，此时f(x) (a0)单调递减函数f(x)在(0，1)上为增函数，在(1，)上为减函数方法总结：1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等考向二 函数的单调区间例1、求下列函数的单调区间（1）yx22|x|

11、1；（2）、.函数y|x|(1x)的单调递增区间是_.【解析】（1）由即画出函数图像如图所示，单调增区间为(，1，0，1，单调减区间为1，0，1，)（2）y|x|(1x)函数的大致图象如图所示.由图易知函数的单调递增区间是.变式1、（2019·河北石家庄二中模拟）函数f(x)|x23x2|的单调递增区间是()a.b.和2，)c(，1和 d.和2，)【答案】b【解析】y|x23x2|=如图所示，函数的单调递增区间是和2，)变式2、 函数f(x)的单调减区间为_【答案】 ，【解析】 因为f(x)，且定义域为，所以函数f(x)的单调减区间为(，)，(，)方法总结：求函数的单调区间的常用方法

12、与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等值得引起高度重视的是：(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域；(2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解考向三 复合函数的单调区间 例3、求下列函数的单调区间(1)f(x)； （2）【解析】(2)f(x)的定义域为(，13，)令tx22x3，tx212x3在x(，1上是减函数，在x3，)为增函数，又y在t(0，)上是增函数，函数f(x)的单调减区间是(，1，单调递增区间是3，)(2)令ux23x2，则原函数可以看成与ux23x2的复合函数由x23x20，解得x1或x

13、2.函数的定义域为(，1)(2，)又ux23x2的对称轴x，且开口向上ux23x2在(，1)上是减函数，在(2，)上是增函数而在(0，)上是减函数，的单调减区间为(2，)，单调增区间为(，1)变式1、函数f(x)log(x24)的单调递增区间为（ ） a b c d【答案】d【解析】根据复合函数的单调性判断因为ylogt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数tx24的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(，2)变式2、函数f(x)2的单调递增区间为()a. b.c. d.【答案】b【解析】令t，由xx20，得0x1，故函数的定义域为0，1因为g(t)2t是增函数，所

14、以f(x)的单调递增区间即t的单调递增区间利用二次函数的性质，得t的单调递增区间为，即原函数的单调递增区间为.故选b.方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。考向四 函数单调性中的含参问题例4、已知函数f(x)的值域为r，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】：当x1时，f(x)2x11，函数f(x)的值域为r，当x1时，(12a)x3a必须取遍(，1)内的所有实数，则解得0a.变式1、如果函数f(x)满足对任意x1x2，都有>0成立，那么a的取值范围是_.【答案】【解析】对任意x1x2，都

15、有>0，所以yf(x)在(，)上是增函数.所以解得a<2.故实数a的取值范围是.变式2、设函数f(x)在区间(2，)上是增函数，那么a可能的值为() a2 b0 c1 d2【答案】 cd【解析】f(x)a，函数f(x)在区间(2，)上是增函数，即即a1.例5、(2019·安徽皖南八校第三次联考)已知函数f(x)则满足f(2x1)f(3x2)的实数x的取值范围是()a(，0 b(3，)c1，3) d(0，1)【答案】b【解析】法一：由f(x)可得当x1时，f(x)1，当x1时，函数f(x)在1，)上单调递增，且f(1)log221，要使得f(2x1)f(3x2)，则解得x3

16、，即不等式f(2x1)f(3x2)的解集为(3，)，故选b.法二：当x1时，函数f(x)在1，)上单调递增，且f(x)f(1)1，要使f(2x1)f(3x2)成立，需或解得x3.故选b.变式1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则x的取值范围是_【答案】【解析】根据已知条件：当时，有恒成立，得函数是定义在上的减函数，又因为函数是定义在上的奇函数，所以，故等价于，所以，即.故答案为：.变式2、已知函数f(x)为r上的减函数，则满足f<f(1)的实数x的取值范围是()a(1，1) b(0，1)c(1，0)(0，1) d(，1)(1，)【答案

17、】c【解析】(1)由f(x)为r上的减函数且f<f(1)，得即所以1<x<0或0<x<1.故选c.方法总结：:1.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f”.2.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组)或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.1、(2015北京)下列函数中，定义域是且为增函数的是a b c d【答案】b【解析】四个函数的图象如下显然b成立2、（2017北京）已知函数，则a是奇函数，且在r上是增函数 b是偶函数，且在r上是增函数c是奇函数，且在r上是

18、减函数 d是偶函数，且在r上是减函数【答案】a【解析】，得为奇函数，所以在r上是增函数选a3、（2019北京理13）设函数 (a为常数)，若为奇函数，则a=_； 若是上的增函数，则a的取值范围是 _【答案】 【解析】根据题意，函数，若为奇函数，则，即 ，所以对恒成立又，所以函数，导数若是上的增函数，则的导数在上恒成立，即恒成立，而，所以a0，即a的取值范围为4、(2018北京)能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是_【答案】（不答案不唯一）【解析】这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足对任意的都成立，且函数在上不是增函数即可，如，答案不唯一5、（2017山东）若函数(e=271828，是自然对数的底数)在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是 【答案】【解析】在上单调递增，故具有性质；在上单调递减，故不具有性质；，令，则，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，故不具有性质；，令，则，在上单调递增，故具有性质6、(2012安徽)若函数的单调递增区间是，则=_【答案】【解析】