专题10 数列 10.1等差数列 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）

1、专题十 数列讲义10.1 等差数列知识梳理.等差数列1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an1and(nn*，d为常数) (2)通项公式：ana1(n1)dnd(a1d)当d0时，an是关于n的一次函数通项公式的推广：anam(nm)d(n，mn*)(3)等差中项：数列a，a，b成等差数列的充要条件是a，其中a叫做a，b的等差中项若mn2p，则2apaman(m，n，pn*)当mnpq时，amanapaq(m，n，p，qn*)(4)前n项和公式：sn snna1dn2n当

2、d0时，sn是关于n的二次函数，且没有常数项2.常用结论：已知an为等差数列，d为公差，sn为该数列的前n项和(1)sn，s2nsn，s3ns2n，也成等差数列，公差为n2d.(2)若an是等差数列，则也成等差数列，其首项与an首项相同，公差是an公差的.(3)若项数为偶数2n，则s2nn(a1a2n)n(anan1)；s偶s奇nd；.若项数为奇数2n1，则s2n1(2n1)an；s奇s偶an；.题型一. 等差数列的基本量1已知等差数列an满足a3+a412，3a2a5，则a611【解答】解：设等差数列an的公差为d，a3+a412，3a2a5，2a1+5d12，3（a1+d）a1+4d，联立

3、解得a11，d2，a6a1+5d11故答案为：112（2018新课标）记sn为等差数列an的前n项和若3s3s2+s4，a12，则a5（）a12b10c10d12【解答】解：sn为等差数列an的前n项和，3s3s2+s4，a12，3×(3a1+3×22d)=a1+a1+d+4a1+4×32d，把a12，代入得d3a52+4×（3）10故选：b3（2017新课标）记sn为等差数列an的前n项和若a4+a524，s648，则an的公差为（）a1b2c4d8【解答】解：sn为等差数列an的前n项和，a4+a524，s648，a1+3d+a1+4d=246a1+

4、6×52d=48，解得a12，d4，an的公差为4故选：c题型二. 等差数列的基本性质1在等差数列an中，已知a5+a1012，则3a7+a9等于（）a30b24c18d12【解答】解：等差数列an中，a5+a1012，2a1+13d12，3a7+a94a1+26d2（2a1+13d）24故选：b2在等差数列an中，若a4+a6+a8+a10+a12120，则a913a11的值为（）a17b16c15d14【解答】解：由a4+a6+a8+a10+a12（a4+a12）+（a6+a10）+a85a8120，解得a824a913a11=a1+8da1+10d3=23a1+143d=23（

5、a1+7d）=23a816故选：b3设等差数列an的前n项和为sn，若a310，s436，则公差d为2【解答】解：a310，s436，a1+2d10，4a1+4×32d36，解得d2故答案为：2题型三.等差数列的函数性质1下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：（1）数列an是递增数列；（2）数列nan是递增数列；（3）数列ann是递减数列；（4）数列an+3nd是递增数列其中的真命题的个数为（）a0b1c2d3【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差d0，则ana1+（n1）ddn+a1d，数列an是递增数列，故（1）正确；nan=dn2+(a1d)n，当nda12d时，数列n

6、an不是递增数列，故（2）错误；ann=d+a1dn，当a1d0时，数列ann不是递减数列，故（3）错误；an+3nd4nd+a1d，数列an+3nd是递增数列，故（4）正确真命题个数有2个故选：c2已知数列an的前n项和snn2（nn*），则an的通项公式为（）aan2nban2n1can3n2dan=1，n=12n，n2【解答】解：snn2，当n1时，a1s11当n2时，ansnsn1n2（n1）22n1，而当n1时也满足，an2n1故选：b3在数列an中，若an5n16，则此数列前n项和的最小值为（）a11b17c18d3【解答】解：令an5n160，解得n3+15则此数列前n项和的最小

7、值为s3=3×(11+1516)2=18故选：c题型四. 等差数列的前n项和经典结论1设等差数列an的前n项和为sn，若s39，s972，则s6（）a27b33c36d45【解答】解：等差数列an的前n项和为sn，若s39，s972，s3，s6s3，s9s6成等差数列，故2（s6s3）s3+s9s6 ，即 2（s69）9+72s6 ，求得s633，故选：b2等差数列an中，sn是其前n项和，a1=11，s1010s88=2，则s11（）a11b11c10d10【解答】解：sn=na1+n(n1)2d，得snn=a1+(n1)2d，由s1010s88=2，得a1+1012d(a1+81

8、2)d=2，d2，s1111=a1+(111)2d=11+5×2=1，s1111，故选：a3若两个等差数列an和bn的前n项和分别是sn和tn，已知sntn=n2n+1，则a7b7等于（）a1321b214c1327d827【解答】解：sntn=n2n+1，a7b7=2a72b7=132(a1+a13)132(b1+b13)=s13t13=132×13+1=1327，故选：c题型五. 等差数列的最值问题1已知等差数列an中，sn是它的前n项和，若s160，s170，则当sn最大时，n的值为（）a8b9c10d16【解答】解：等差数列an中，s160且s170a8+a90，a

9、90，a80，数列的前8项和最大故选：a2在等差数列an中，已知a120，前n项和为sn，且s10s15，求当n为何值时，sn取得最大值，并求出它的最大值【解答】解：等差数列an中s10s15，s15s10a11+a12+a13+a14+a155a130，a130，数列的前12项为正数，第13项为0，从第14项开始为负值，当n12或13时，sn取得最大值，又公差d=a13a1131=53，s1212×20+12×112（53）130sn的最大值为1303（2014·江西）在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为sn，当且仅当n8时sn取得最大值，则d的取值范

10、围为（1，78）【解答】解：sn7n+n(n1)2d，当且仅当n8时sn取得最大值，s7s8s9s8，即49+21d56+28d63+36d56+28d，解得：d1d78，综上：d的取值范围为（1，78）题型六. 证明等差数列1已知数列an满足a1=35，an=21an1(n2，nn)，数列bn满足bn=1an1(nn)（1）求证数列bn是等差数列；（2）求数列an中的最大项和最小项【解答】解：（1）由a1=35，an=21an1(n2，nn)，得an+121an（nn）bn+1bn=1an+111an1=121an11an1=1 （4分）又b1=52，所以bn是以52为首项，1为公差的等差数

11、列 （6分）（2）因为bnb1+（n1）n72，所以an=1bn+1=22n7+1 （9分）1n3时数列an单调递减且an1，n4时数列an单调递减且an1所以数列an的最大项为a43，最小项为a31（14分）2已知数列an中，a21，前n项和为sn，且sn=n(ana1)2（1）求a1；（2）证明数列an为等差数列，并写出其通项公式；【解答】解：（1）令n1，则a1s1=1(a1a1)2=0（2）由sn=n(ana1)2，即sn=nan2，得 sn+1=(n+1)an+12，得 （n1）an+1nan于是，nan+2（n+1）an+1+，得nan+2+nan2nan+1，即an+2+an2a

12、n+1又a10，a21，a2a11，所以，数列an是以0为首项，1为公差的等差数列所以，ann1课后作业. 等差数列1设等差数列an的前n项和为sn，若s972，则a1+a5+a9（）a36b24c16d8【解答】解：由等差数列的求和公式可得，s9=92（a1+a9）72，a1+a916，由等差数列的性质可知，a1+a92a5，a58，a1+a5+a924故选：b2设等差数列an的前n项和为sn，s84a3，a72，则a10（）a8b6c4d2【解答】解：等差数列an中，前n项和为sn，且s84a3，a72，则8a1+28d=4a1+8da1+6d=2，解得a110，d2，a10a1+9d8故

13、选：a3已知等差数列an的前n项和为sn，且a10，2a5+a110，则下列说法错误的为（）aa80b当且仅当n7时，sn取得最大值cs4s9d满足sn0的n的最大值为12【解答】解：2a5+a110，2a1+8d+a1+10d0，a16d，a10，d0，an为递减数列，ana1+（n1）d6d+（n1）d（n7）d，由an0，（n7）d0，解得n7，数列前6项大于0，第7项等于0，从第8项都小于0，a80，当n6或7时，sn取得最大值，故a正确，b错误；s44a1+6d24d+6d18d，s99a1+36d28d+36d18d，s4s9，故c正确；snna1+n(n1)d2=d2（n213n

14、）0，解得0n13，满足sn0的n的最大值为12，故d正确故选：b4若等差数列an满足a7+a8+a90，a7+a100，则当n8时，an的前n项和最大；当sn0时n的最大值为15【解答】解：a7+a8+a93a80，a7+a10a8+a90，a80，a90，n8时，an的前n项和最大；s15=15(a1+a15)2=15a80，s16=16(a1+a16)2=8（a8+a9）0，当sn0时n的最大值为15故答案为：8；155在数列an中，a28，a52，且2an+1an+2an（nn*），则|a1|+|a2|+|a10|的值是（）a210b10c50d90【解答】解：2an+1an+2an（nn*），即2an+1an+2+an（nn*），数列an是等差数列，设公差为d，则a1+d8，a1+4d2，联立解得a110，d2，an102（n1）122n令an0，解得n6sn=n(10+122n)2=11nn2|a1|+|a2|+|a10|a1+a2+a6a7a102s6s102（11×662）（11×10102）50故选：c6已知在正整数数列an中，前n项和sn满足：sn=18（an+2）2（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=12an30，求数列bn的前n项和的最小值【解答】解：（1）sn=18（an+2）2，当n1时，a1=18(