2022年2022年高一数学必修一知识点总结及经典例题分析

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载高一数学必修11.学问点总结一.集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：1 元素的确定性 、 2 元素的互异性 、 3 元素的无序性 、 3.集合的表示： 、 如： 我校的篮球队员 ,太平洋、大西洋 、印度洋 、北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合：a=我校的篮球队员 、b=1、2、3、4、5(2) 集合的表示方法：列举法与描述法；留意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： n正整数集n*或 n+ 整数集 z 有理数集 q 实数集 r1） 列举法： a、b、c、2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方

2、法x| x-3>23）语言描述法：例：不为直角三角形的三角形 4） venn 图:4.集合的分类：(1) 有限集含有有限个元素的集合(2) 无限集含有无限个元素的集合(3) 空集不含任何元素的集合例： x|x 2= 5二.集合间的基本关系1.包含关系子集留意： b 包含 a1）a 为 b 的一部分；（ 2） a 与 b 为同一集合；反之: 集合 a 不包含于集合b、或集合 b 不包含集合a、记作 a 不属于 b 或 b 不属于 a2相等 .关系： a=b55,且 55,就 5=5实例：设a=x|x2-1=0b=-1、1 .元素相同就两集合相等.即：即任何一个集合为它本身的子集；真子集 :

3、假如 a 属于 b、且 a 不属于 b 那就说集合a 为集合 b 的真子集；假如 a 属于 b、 b属于 c 、那么 ac 假如 a 属于 b 同时 b 属于 a ,那么 a=b3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为1.规定: 空集为任何集合的子集,空集为任何非空集合的真子集；2.特点有 n 个元素的集合,含有2n 个子集, 2n-1 个真子集精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三.集合的运算运算交集并集补集类型精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定由全部属于a 且义属于b 的元素所组 成 的 集 合 、 叫做 a、b 的交集记作 ab（读作a交 b）,即 ab=由全部属于

4、集合a或属于集合b 的元素所组成的集合, 叫 做a、b的 并集记作：ab（读作 a 并b）,即设 s 为一个集合, a为 s 的一个子集,由s 中全部不属于 a的元素组成的集合, 叫做 s中子集 a的补集（或余集）记作 cs a ,即精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x|xa,且 x b韦恩图示性质ab =x|xa,或 xb csa=x | xababa图1a=aa图 2a=acuac u ba=a=a= cu abab=baab=bacacbabaab= cuababbabbac ua=uac ua= us、且xau精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.函数基本学问点

5、总结1函数的概念：设a.b 为非空的数集,假如依据某个确定的对应关系f,使对于集合 a 中的任意一个数x,在集合 b 中都有唯独确定的数fx和它对应,那么精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就称 f：ab 为从集合a 到集合b 的一个函数记作：y=fx,xa其中, x叫做自变量, x 的取值范畴a 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合fx| x a 叫做函数的值域留意：1定义域 ：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域；求函数的定义域时列不等式组的主要依据为：1分式的分母不等于零；2偶次方根的被开方数不小于零；3对数式的真数必需大于零；4指数.

6、对数式的底必需大于零且不等于1.5假如函数为由一些基本函数通过四就运算结合而成的.那么,它的定义域为使各部分都有意义的x 的值组成的集合 .6指数为零底不行以等于零,7实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义. 2值域:先考虑其定义域(1) 观看法(2) 配方法(3) 换元法3映射一般地,设 a.b 为两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就f ,使对于集合a 中的任意一个元素x,在集合 b 中都有唯独确定的元素y 与之对应,那么就称对应f ： ab 为从集合a 到集合b 的一个映射；记作“f （对应关系）： a（原象）b（象）”对于映射 f ： a b 来说,就应满意：(1) 集合

7、a 中的每一个元素,在集合b 中都有象,并且象为唯独的；(2) 集合 a 中不同的元素,在集合 b 中对应的象可以为同一个；(3) 不要求集合b 中的每一个元素在集合a 中都有原象； 4函数的奇偶性（整体性质）（ 1）偶函数：一般地,对于函数fx的定义域内的任意一个x,都有 f x=fx,那么 fx就叫做偶函数（ 2）奇函数： 一般地, 对于函数fx的定义域内的任意一个x, 都 有 f x= fx,那么 fx就叫做奇函数（ 3）具有奇偶性的函数的图象的特点偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判定函数奇偶性的步骤： 1 第一确定函数的定义域,并判定其为否关于原点对称； 2

8、 确 定 f x 与 fx的关系； 3 作出相应结论：如f x = fx或 fx fx= 0 ,就 fx为偶函数；如f x = fx或 fx fx = 0,就 fx为奇函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意：函数定义域关于原点对称为函数具有奇偶性的必要条件第一看函数的定义域为否关于原点对称,如不对称 就函数为非奇非偶函数. 如对称, 1 再依据定义判定 ;2由 f-x±fx=0 或 fx f-x=± 1 来判定 ; 3 利用定5.函数的解析表达式（ 1） . 函数的解析式为函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一为要求出它们之间的对应法就, 二为

9、要求出函数的定义域 .（ 2）求函数的解析式的主要方法有：1) 凑配法2) 待定系数法3) 换元法4) 消参法10函数最大（小）值（定义见课本p36 页） 1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 2利用图象求函数的最大（小）值 3利用函数单调性的判定函数的最大（小）值：假如函数y=fx在区间 a ,b 上单调递增,在区间b ,c上单调递减就函数y=fx在 x=b 处有最大值fb；假如函数 y=fx在区间 a ,b 上单调递减, 在区间 b ,c 上单调递增就函数y=fx在 x=b 处有最小值fb；6. 函数的单调性 局部性质 （ 1）增函数设函数 y=fx的定义域为i ,假如对于定

10、义域i 内 的某个区间d 内的任意两个自变量x1 ,x2,当x1<x2 时,都有 fx 1<fx2 ,那么就说fx在区间d 上为增函数 . 区间d 称为 y=fx的单调增区间 .假如对于区间d 上的任意两个自变量的值x1 ,x2,当 x1<x2时,都有fx 1 fx 2 ,那么就说fx在这个区间上为减函数. 区间 d 称为 y=fx的单调减区间 .留意：函数的单调性为函数的局部性质；（ 2）图象的特点假如函数y=fx在某个区间为增函数或减函数,那么说函数 y=fx在这一区间上具有 严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右为上升的,减函数的图象从左 到右为下降的 .3.

11、函数单调区间与单调性的判定方法(a) 定义法： 1任取 x1 ,x2d,且 x1<x2 ； 2作 差 fx 1 fx 2 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 3变形（通常为因式分解和配方） ； 4定号（即判定差fx 1 fx 2 的正负）； 5下结论（指出函数fx在给定的区间d上的单调性）(b) 图象法 从图象上看升降 (c) 复合函数的单调性复合函数f gx 的单调性与构成它的函数u=gx ,y=fu的单调性亲密相关,其规律： “同增异减”留意：函数的单调区间只能为其定义域的子区间、 不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.例题：1. 求以下函数的定义域：精品学习资料精

12、选学习资料 - - - 欢迎下载x22x15y y1 x12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x33x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. 设函数 f x 的定义域为 0,1 ,就函数 f x 2 的定义域为 _ _精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3. 如函数f x1 的定义域为 2, 3 ,就函数f 2 x1 的定义域为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4. 函数f xx2 x12x 1x2, 如 f(x) 3,就 x =精品学习资料精选学习资料

13、- - - 欢迎下载2x x25. 求以下函数的值域：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 yx 22x3 xr yx22x3x1、2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3yx12x42yx4x5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6. 已知函数f x1x24x ,求函数fx,f 2x1的解析式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7. 已知函数f x满意 2f xf x3x4,就f x =；精品学习资料精选学习资料 -

14、 - - 欢迎下载8. 设 f x为r 上的奇函数,且当x0、 时、f xx13 x 、 就 当 x、0 时精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x =fx在 r上的解析式为9. 求以下函数的单调区间：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yx22 x3 yx 22 x3yx26 x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载10. 判定函数 yx31x21的单调性并证明你的结论精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11. 设函数f x1x2判定它的奇偶性并且求证：f 1 xf x 精品学习资料精选学习资料 - -

15、- 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一.指数函数3. 基本初等函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（一） 指数与指数幂的运算1根式的概念： 一般地, 假如 xn方根,其中 n >1,且 n n *a ,那么 x 叫做 a 的n 次精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都为0,记作 n 00 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当n为奇数时,n a na,当n为偶数时,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n a n| a |aa0aa0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2分数指

16、数幂正数的分数指数幂的意义,规定：m*m精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a nnmaa0、 m、nn 、 n1,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载amn11aanma n0、 m、 nn 、 n1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载*0 的正分数指数幂等于0, 0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载rrr（ 1） a· aa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载rs（ 2） a asa rs a0、 r 、 s0、 r 、 sr ；r ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载r

17、（ 3） aba r a s a0、 r 、 sr) 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（二）指数函数及其性质1.指数函数的概念 ：一般地,函数ya x a0、 且a1) 叫精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载做指数函数,其中x 为自变量,函数的定义域为r留意：指数函数的底数的取值范畴,底数不能为负数.零和 12.指数函数的图象和性质a>10<a<166554433221 11 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载-4-22460-4-22460精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载-1-1定义域 r定义域 r值 域 y 0值 域 y

18、0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在r 上单调递增在 r 上单调递减精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载非奇非偶函数非奇非偶函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载函数图象都过定点（ 0, 1）函数图象都过定点（ 0,1）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意：利用函数的单调性,结合图象仍可以看出：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）在a ,b 上, fxa x a0且a1) 值域为 f a、 f b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载或f b、 f a ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2） 如 x0

19、 ,就f x 1 ； f x 取遍全部正数当且仅当精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xr ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）对于指数函数二.对数函数（一） 对数f xa x a0且a1 ,总有f 1a ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1对数的概念 ：一般地,假如a xn a0、a1 ,那么精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数 x 叫做以a 为底n 的对数,记作：xlog an（ a 底数,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n 真数,log a n 对数式）精品学习资料精选学习

20、资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载说明： 1留意底数的限制a0 ,且 a1 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 2a xnlog a nx ；loga n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 3留意对数的书写格式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载两个重要对数： 1常用对数：以10 为底的对数lg n ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 2自然对数：以无理数e2.71828为底的对数的对数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ln n指数式与对数式的互化幂

21、值真数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aab nlogn b底数指数对数（二）对数的运算性质精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如 a0 ,且 a1 , m0 , n0 ,那么：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 1log a m· n log a m log a n ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载m 2log anlog a m log a n ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n 3log a mn log a mnr 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

22、留意： 换底公式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载log a blog c b（ alog c a0 ,且 a1 ；c0 ,且 c1 ；b0 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载利用换底公式推导下面的结论精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nn（1） ） log m blogb ；（2） logb1a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载am（二）对数函数alog b a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.对数函数的概念： 函数 ylog ax a0 , 且 a1 叫做对精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数函数,其中x 为自变

23、量,函数的定义域为（0,+）留意： 1对数函数的定义与指数函数类似,都为形式定精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载义,留意辨别；如：y2 log 2 x , yxlog 55都不为对数函精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数,而只能称其为对数型函数 2对数函数对底数的限制：a2.对数函数的性质：0 ,且 a1 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a>10<a<1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载32.521.51 132.521.51 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0.50-1-0 .5-1-1 .5-2-2 .51

24、234567810.5-10-0 .5-1-1 .5-2-2 .51 12345678精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定义域 x 0定义域 x0值域为 r值域为 r在 r 上递增在 r上递减函数图象都精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载过定点（ 1, 0）函 数 图象 都 过 定点（ 1,0）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（三）幂函数1.幂函数定义：一般地,形如y函数,其中为常数2.幂函数性质归纳xar 的函数称为幂精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）全部的幂函数在（ 0,+）都有定义并且图

25、象都过点（ 1, 1）；（2） ）0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 0、上为增函数特殊地,当1 时,幂函数的图象下凸；当01时,幂函数的图象上凸；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3） ）0 时,幂函数的图象在区间0、 上为减函数在第一象限内,当x 从精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地靠近y 轴正半轴,当x 趋于时,图象在 x 轴上方无限地靠近x 轴正半轴例题：1. 已知 a>0 ,a0,函数 y=a x 与 y=log a-x 的图象只能为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. 运算： log2;4lo

26、g3 =；1 log 5 272 log 5 2 =;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载34log 27 6422253精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 0 .064 17 08 23 316 0.751=0.012精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3. 函 数 y=log1 2x2-3x+1 的递减区间为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载24. 如函数f xloga x0a1 在区间 a、2a上的最大值为最小值的3 倍,就 a=精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎