北航2010-2015年研究生数值分析期末模拟试卷与真题

1、 数值分析模拟卷a一、填空（共30分，每空3分）1 设，则a的谱半径_，a的条件数=_.2 设，则_, _.3 设，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=_,c=_.4 设是区间0，1上权函数为的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则_，_.5 设，当_时，必有分解式，其中l为下三角阵，当其对角线元素满足条件_时，这种分解是唯一的.二、（14分）设,（1）试求在上的三次hermite插值多项式使满足，.（2）写出余项的表达式.三、（14分）设有解方程的迭代公式为，（1） 证明均有（为方程的根）；（2） 取，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代的收敛阶是多少？

2、证明你的结论.四、(16分) 试确定常数a，b，c和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为gauss型的？五、（15分） 设有常微分方程的初值问题，试用taylor展开原理构造形如的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项.六、（15分） 已知方程组，其中，（1） 试讨论用jacobi迭代法和gauss-seidel迭代法求解此方程组的收敛性.（2） 若有迭代公式，试确定一个的取值范围，在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛.七、（8分） 方程组，其中，a是对称的且非奇异.设a有误差，则原方程组变化为，其中为解的误差向量，试证明.其

3、中和分别为a的按模最大和最小的特征值.数值分析模拟卷b填空题（每空2分，共30分）1. 近似数关于真值有_位有效数字；2. 设可微，求方程根的牛顿迭代格式是_；3. 对，差商_；_；4. 已知 ，则_，_ ；5. 用二分法求方程在区间0,1内的根，进行一步后根所在区间为_，进行二步后根所在区间为_；6. 求解线性方程组的高斯赛德尔迭代格式为_；该迭代格式迭代矩阵的谱半径_；7. 为使两点数值求积公式：具有最高的代数精确度，其求积节点应为_ , _,_.8. 求积公式是否是插值型的_，其代数精度为_。二、（12分）(1)设，其中为下三角阵，为单位上三角阵。已知，求，。(2)设为矩阵，将进行三角分

4、解：，为单位下三角阵，为上三角阵，试写出中的元素和中的元素的计算公式。三、（12分）设函数在区间0,3上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式，满足 ，并写出插值余项。四、（12分）线性方程组 （1） 请写出解此方程组的赛德尔迭代法的迭代格式，并讨论收敛性。（2） 设，给定松弛因子，请写出解此方程组的sor方法的迭代格式，并讨论收敛性。五、（7分）改写方程为的形式，问能否用迭代法求所给方程在1,2内的实根？六、（7分）证明解方程求的牛顿迭代法仅为线性收敛。七、（12分）已知（1）推导以这3个点作为求积节点在0,1上的插值型求积公式；（2）指明求积公式具有的代数精度；（3） 用所求公式

5、计算。八、（8分）若互异，求的值，这里数值分析模拟卷c一、 填空题（每空3分，共30分）1 设，则差商 ；2在用松弛法(sor)解线性方程组时，若松弛因子满足，则迭代法 ；3设要使求的newton迭代法至少三阶收敛，需要满足 ；4. 设,用newton迭代法求具有二阶收敛的迭代格式为_ ；求具有二阶收敛的迭代格式为_；5已知 ，则_,_6. 若，改变计算式=_，使计算结果更为精确；7过节点的插值多项式为_ ；8. 利用抛物(simpson)公式求= 。二、（14分）已知方阵，(1) 证明： a不能被分解成一个单位下三角阵l和一个上三角阵u的乘积；(2) 给出a的选主元的doolittle分解，

6、并求出排列阵；(3) 用上述分解求解方程组，其中。三、（12分）设函数在区间0,3上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式，满足 ，并写出插值余项。四、 （10分）证明对任意的初值，迭代格式均收敛于方程的根，且具有线性收敛速度。五、 （12分） 在区间-1,1上给定函数，求其在中关于权函数的最佳平方逼近多项式。（可用数据：）六、 (12分)(1)试导出切比雪夫(chebyshev)正交多项式的三项递推关系式：（2）用高斯切比雪夫求积公式计算积分，问当节点数取何值时，能得到积分的精确值？并计算它。七、（10分）验证对为2阶格式.2013年期末考试真题参考答案a一、1，=6.2=3，=0.3b=2，c=3.4；.5二、(1) (2) 三、（1）;（2）;（3）线性收敛.四、;求积公式具有5次代数精度，是gauss型的.五、；截断误差主项为.六、（1）因此两种迭代法均收敛.（2）当时，该迭代公式收敛.参考答案b一、12231, 047, 56. 7. ; 18. 是, 1二、(1) (2) 三、