2019-2020学年福建省厦门一中高二上学期10月月考数学试题(解析版)

1、2019-2020学年福建省厦门一中高二上学期10月月考数学试题一、单选题1已知命题“”为假，为假，则下列说法正确的是（）a.真，真b.假，真c.真，假d.假，假【答案】b【解析】先由“”为假，得到至少有一个为假；再由为假，得到为真，进而可得出结果.【详解】因为命题“”为假，所以至少有一个为假；又为假，所以为真，因此为假.故选b【点睛】本题主要考查由复合命题的真假判断原命题的真假，熟记复合命题真假的判定条件即可，属于常考题型.2抛物线的焦点坐标是（）a.b.c.d.【答案】c【解析】先将抛物线方程化为标准方程，进而可得出焦点坐标.【详解】因为可化为，所以，且焦点在轴负半轴，因此焦点坐标为故选c

2、【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点问题，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.3曲线方程的化简结果为（ ）a.b.c.d.【答案】d【解析】根据题意得到给出的曲线方程的几何意义，是动点到两定点的距离之和等于定值，符合椭圆定义，然后计算出相应的得到结果.【详解】曲线方程，所以其几何意义是动点到点和点的距离之和等于，符合椭圆的定义. 点和点是椭圆的两个焦点.因此可得椭圆标准方程，其中，所以，所以所以曲线方程的化简结果为.故选d项.【点睛】本题考查曲线方程的几何意义，椭圆的定义，求椭圆标准方程，属于简单题.4命题，命题或，则命题是命题的（ ）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充

3、分也不必要条件【答案】a【解析】【详解】命题，命题或，反之不成立，例如所以非p是非q的必要不充分条件，因此命题是命题的充分不必要条件故选a5已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过，与双曲线的左支交于两点，若，且双曲线的实轴长为，则的周长是（）a.b.c.d.【答案】d【解析】根据双曲线的定义得到，再由题中条件，即可求出结果.【详解】因为直线过，与双曲线的左支交于两点，且双曲线的实轴长为，由双曲线的定义可得，所以的周长.故选d【点睛】本题主要考查双曲线中焦点三角形的周长问题，熟记双曲线的定义即可，属于常考题型.6若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为a.b.c.d.【答案】a【解析】【详解】椭圆

4、的离心率，即，所以双曲线的渐近线为故选a【考点】椭圆与双曲线的几何性质7如图，过抛物线焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若|，则此抛物线的方程为 a b c d【答案】a【解析】设a(x1,y1),b(x2,y2)，作am、bn垂直准线于点m、n，则|bn|=|bf|，又|bc|=2|bf|，得|bc|=2|bn|，ncb=30°，有|ac|=2|am|=6，设|bf|=x，则2x+x+3=6x=1，而,由直线ab: ，代入抛物线的方程可得， ，即有，故： ，故抛物线的标准方程为： .本题选择a选项.8双曲线的右焦点为，为双曲线上的一点，且位于第一象限，直线分别交于曲线于两点，若

5、为正三角形，则直线的斜率等于（）a.b.c.d.【答案】d【解析】记双曲线左焦点为，根据题中条件，结合双曲线定义，得到；再设，得到，由点差法求出，得到，进而可求出结果.【详解】记双曲线左焦点为，因为为正三角形，所以，即，则有，由双曲线定义可得：，设，则，所以，两式作差可得，即，即，又，则故选d【点睛】本题主要考查双曲线中的直线斜率的问题，熟记双曲线的定义与简单性质即可，属于常考题型.二、多选题9已知为等腰直角三角形，其顶点为，若圆锥曲线以焦点，并经过顶点，该圆锥曲线的离心率可以是（）a.b.c.d.【答案】abd【解析】根据题中条件，分别讨论圆锥曲线是椭圆，与圆锥曲线是双曲线两种情况，结合椭圆

6、与双曲线的特征，即可得出结果.【详解】因为为等腰直角三角形，其顶点为，圆锥曲线以焦点，并经过顶点，所以（）若该圆锥曲线是椭圆，当时，离心率，当时，离心率（）若该圆锥曲线是双曲线，根据双曲线的特征可得，则只有，此时，离心率.故答案为abd【点睛】本题主要考查双曲线或椭圆的离心率，熟记椭圆与双曲线的简单性质即可，属于常考题型.10已知点是抛物线的焦点，是经过点的弦且，的斜率为，且，两点在轴上方.则下列结论中一定成立的是（）a.b.若，则c.d.四边形面积最小值为【答案】ac【解析】先由的斜率为，得到，设，的方程为，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理得到再由抛物线的焦点弦公式求出，最后根据题意，逐项

7、判断，即可得出结果.【详解】因为的斜率为，所以，设，的方程为，由可得，所以，同理可得则有，所以a正确；与无关，同理，故，c正确；若，由得，解得，故b错；因为，所以四边形面积当且仅当，即时，等号成立；故d错；故选ac【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，熟记抛物线的简单性质，以及直线与抛物线的位置关系即可，解决此类题型，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，弦长公式等求解，属于常考题型.三、填空题11双曲线的焦距为_【答案】【解析】将双曲线方程化成标准方程,所以,根据可得.【详解】由得:,所以,所以,所以,所以焦距.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质,属基础题.12抛物线的焦点到双曲线

8、的渐近线的距离为_【答案】【解析】分析：由题意求得抛物线的焦点为（2,0），再求得双曲线的渐近线为，根据点到直线的距离公式可得所求详解：由抛物线可得其焦点为（2,0），又双曲线的渐近线方程为，所求距离为点睛：本题考查抛物线的焦点坐标、双曲线渐近线方程的求法和点到直线的距离，主要考查学生的运算能力，属容易题13命题“”为假命题，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析：由题意可得命题:,为真命题.所以,解得.【考点】命题的真假.14如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.【答案】2米【解析】【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，将a（2

9、，-2）代入，得m=-2，代入b得，故水面宽为米，故答案为米【考点】抛物线的应用15设为椭圆的两个焦点，为上一点，且在第一象限，若为等腰三角形，则的坐标为_【答案】【解析】先由题意设，得到，且有，分，和两种情况讨论，即可求出结果.【详解】因为为椭圆的两个焦点，为上第一象限内的点，设，且有若，则，解得，代入椭圆方程可得，所以；若，则，显然不满足题意，舍去.故答案为【点睛】本题主要考查椭圆中满足条件的点的坐标，熟记椭圆的简单性质即可，属于常考题型.16已知为椭圆上一个动点，直线过圆的圆心与圆相交于两点，则的最大值为_【答案】【解析】先由题意得到圆的圆心为，再由题意，结合向量运算得到，再求出椭圆上的

10、动点与圆心距离的最大值，即可求出结果.【详解】记圆的圆心为，因为直线过圆的圆心与圆相交于两点，所以，设，因为为椭圆上一个动点，则，所以，当时，因此的最大值为.故答案为【点睛】本题主要考查向量数量积的运算，熟记平面向量数量积的运算法则，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.四、解答题17已知椭圆的中心在原点，其中一个焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，（l）求椭圆的方程：（2）若直线的倾斜角为度，求.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据题中条件，得到，再由离心率求出，进而得到的值，从而可求出椭圆方程；（2）由题中条件，得到直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理，以及弦长公式，即

11、可求出结果.【详解】（1）由条件知，又由离心率知，椭圆的方程为.（2）由条件知，直线的方程为，联立椭圆方程，得到，易知，设，则由韦达定理，故.【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及求椭圆的弦长，熟记椭圆的标准方程，以及弦长公式即可，属于常考题型.18已知命题，命题：方程表示焦点在轴上的双曲线.（1）命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“”为真，命题“”为假，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意得到，求解，即可得出结果；（2）先由题意，得到一真一假，分别讨论真假，假真，两种情况，即可求出结果.【详解】解：（1）若为真命题，则方程中，解得；（2）若命题“”为真，“

12、”为假，则一真一假，1）若真假，则，2）若假真，则，综上，【点睛】本题主要考查由命题的真假求参数的问题，会根据或且非的真假判断原命题真假即可，属于常考题型.19已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点，（1）求双曲线的方程，并写出其离心率与渐近线方程；（2）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的取值.【答案】（1）双曲线的方程为，离心率，其渐近线方程为.（2）【解析】（1）先由题意设双曲线的方程为，根据，求出，即可得双曲线方程；进而可求出离心率与渐近线方程；（2）联立直线与双曲线的方程，设，由中点坐标公式，韦达定理，以及题中条件，即可求出结果.【详解】（1）双曲线与双曲线有相

13、同的渐近线，设双曲线的方程为，代入，得，故双曲线的方程为.由方程得，故离心率其渐近线方程为.（2）联立直线与双曲线的方程，经整理得，设，则的中点坐标为，由韦达定理，的中点坐标为，又在圆上，.【点睛】本题主要考查求双曲线的方程、离心率与渐近线方程，以及直线与双曲线位置关系，熟记双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质即可， 属于常考题型.20如图，设点，直线，点在直线上移动，是线段与轴的交点，.（1）求动点的轨迹的方程；（2）直线过点，与轨迹交于两点，过点的直线与直线交于点，求证：轴.【答案】（1）（2）详见解析【解析】（1）先设，由题中条件得到，根据，得到，进而可得出结果；（2）先由题意设，得到

14、直线的方程为，进而求出；再由点坐标，得到直线的方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理，求出点纵坐标，进而可证明结论成立.【详解】（1）由题中条件，设，且，又与轴交于，故，故轨迹的方程为.（2）设点为直线与轨迹的交点，由（1）设，则直线的方程为，故直线与的交点为，又，直线的方程为，即，联立抛物线，得：，由韦达定理，两点纵坐标乘积为，故点纵坐标为，与点纵坐标相同，又，轴.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，以及直线与抛线位置关系，熟记求轨迹方程的一般步骤，以及直线与抛物线的位置关系即可，属于常考题型.21如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.（）求的值；（）过点的直线

15、与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.【答案】(); ().【解析】试题分析：（1）由上半椭圆和部分抛物公共点为，得，设的半焦距为，由及，解得；（2）由（1）知，上半椭圆的方程为，易知，直线与轴不重合也不垂直，故可设其方程为，并代入的方程中，整理得：，由韦达定理得，又，得，从而求得，继而得点的坐标为，同理，由得点的坐标为，最后由,解得，经检验符合题意，故直线的方程为.试题解析：（1）在方程中，令，得在方程中，令，得所以设的半焦距为，由及，解得所以，（2）由（1）知，上半椭圆的方程为，易知，直线与轴不重合也不垂直，设其方程为代入的方程中，整理得：（）设点的坐标由韦达定理得又，得，从而求得所以

16、点的坐标为同理，由得点的坐标为，,即，解得经检验，符合题意，故直线的方程为【考点】椭圆和抛物线的几何性质；直线与圆锥曲线的综合问题.22如图（1），平面直角坐标系中，的方程为，的方程为，两圆内切于点，动圆与外切，与内切.（1）求动圆圆心的轨迹方程；（2）如图（2），过点作的两条切线，若圆心在直线上的也同时与相切，则称为的一个“反演圆”（）当时，求证：的半径为定值；（）在（）的条件下，已知均与外切，与内切，且的圆心为，求证：若的“反演圆”相切，则也相切。【答案】（1）（2）（）详见解析（）详见解析【解析】（1）设的半径为，根据题意得到，根据椭圆定义，即可判断出点轨迹，从而求出轨迹方程；（2）（）设，得到的半径为，设，由题意得到，过点的的切线方程为，由点到直线距离公式，得到到切线的距离以及到切线的距离，再由，即可证明结论成立；（）由的圆心为，得到在轨迹上，此时的半径为，其反演圆圆心为，半径为，再由题意，得到与相切的反演圆的圆心为，或，半径为；分别讨论的圆心为，以及的圆心为两种情况，即可证明结论成立.【详解】（1）由题意，设的半径为，与内切，与外切，由椭圆的定义，点在椭圆上运动，其轨迹方程为.（2）