2022年2022年历年全国高中数学联赛二试几何题汇总

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载历年全国高中数学联赛二试几何题汇总2007 联赛二试类似九点圆如图,在锐角abc中, ab<ac, ad为边 bc上的高, p 为线段 ad内一点；过p 作 peac,垂足为 e,作 pfab,垂足为f； o1 . o2 分别为bdf.cde的外心；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求证：o1 . o2 .e.f 四点共圆的充要条件为p 为abc的垂心；（官方解答）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aefpo1o2bcd精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明：连bp.cp. o1o2 .eo2 .ef.f o1 ；精品

2、学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 pdbc, pfab,就 b. d.p.f 四点共圆,且bp 为该圆的直径；又由于o1 为bdf精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的外心,故o1 在 bp 上且为 bp 的中点；同理可证,c.d.p.e 四点共圆,且o2 为 cp的中精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点；于为,o1 o2 平行于 bc,就po2o1 =pcb；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 af*ab

3、 = ap*ad = ae*ac,所以 b.c.e.f 四点共圆；充分性： 设 p 为abc的垂心, 由于 peac,pfab,所以 b.o1 .p.e 四点共线, c.o2 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p.f 四点共线,f o2 o1=fcb =feb =feo1 ,故o1 . o 2 .e.f 四点共圆精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载必要性：设o1 . o2 .e.f 四点共圆,就o1 o2 e +efo1 =精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意到po

4、 2o1 =pcb=acb -acp ,又由于o2 为直角cep 的斜边中点,也就为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cep的外心,所以po2 e=2acp；由于 o1 为直角bfp 的斜边中点,也就为bfp 的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载外心,从而pfo1 =-bfo1 =-abp22由于 b. c.e.f 四点共圆,所以afe =acb,pfe =2- acb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于为,由o1 o2 e +efo1=得：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（acb -acp+ 2a

5、cp） + -abp +22- acb =,即abp =acp；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又由于 ab<ac, adbc,故 bd<cd；设 b 为点 b 关于直线 ad的对称点,就b 在线段 dc上且 b d = bd；连结 a b .p b ；由对称性,有a b p =abp,从而a b p=acp,故 a.p. b .c 四点共圆；由此可知,p b b =cap=-acb ；又由于pbc=p b b ,故pbc+acb=,22即 bpac又 apbc,故 p 为abc的垂心 2006 联赛二试精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载以 b0 和b1

6、为焦点的椭圆与ab0 b1 的边abi 交于ci i=0、1；在ab0 的延长线上任取点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p0 ,以b0 为圆心,b0 p0 为半径作圆弧p0q0 交 c1b 0 的延长线于q0 ；以c1 为圆心,c1q0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为半径作圆弧q0 p1 交b1 a 的延长线于p1 ；以b1 为圆心,b1 p1 为半径作圆弧p1q1 交b1c 0 的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

7、延长线于q1 ；以c0 为圆心,c 0 q1 为半径作圆弧q1p0 交ab0 的延长线于p0 ；试证：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1） 点 p0与点 p0 重合,且圆弧p0q0 与 p0q1 相内切于p0 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2） 四点p0 , q0 , q1 , p1 共圆；（官方解答）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明：（ 1）由题设的四段圆弧有：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b0 p0 = b0q0 ；c1 b0 +

8、 b0 q0 = c1 p1 ；b1c1 +c1 p1 = b1c 0 + c 0 q1 ；c 0q1 =c 0 b 0 + b0 p0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载以上四个式子相加,整理得：b0 p0 + c1b0 + b1c1 = b1c 0 + c0 b0 + b0 p0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又由题设的椭圆有：b1c1 + c1 b0 = b1c 0 + c 0 b0 于为,b0 p0 = b 0 p0,即点 p0与点 p0 重合；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料

9、- - - 欢迎下载又由于圆弧p0q0 与 p0q1 对应的圆心b0 . c0 和点p0 三点共线,且点p0 在线段c 0 b0 的延精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载长线上,所以圆弧p0 q0 与p0 q1 相内切于 p0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）过点p0 .p1分别引相应圆弧的公切线p0t和 p1t交于点t；再过点q1 引相应圆弧的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载公切线 rs,分别交p0 t. p1t于

10、 r.s；得到等腰三角形p0q1 r 和 p1q1s ；基于此, 我们有：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载-p0 q1 p1 =p0 q1r +p1q1s = tp0 p1 -q1p0 p1 +tp1 p0 -q1 p1 p0 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又-p q p =q p p +q p p,从而有：p q p =- 1 tp p +tp p 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0111011 1001120110精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

11、下载同理可得p q p =- 1 tp p +tp p 所以,p , q , q , p 四点共圆；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载001201100011精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2005 联赛二试如图,在abc中,设 ab>ac ,过 a 作abc 的外接圆的切线l；又以 a 为圆心, ac为半径作圆分别交线段ab 于 d；交直线l 于 e.f；证明：直线de .df 分别通过abc 的内心与一个旁心； （官方解答）证明：（ 1）先证 de 通过abc 的内心；连结 dc . de ,作bac 的平分线,交dc 于 g,交 de 于 i ；1精品学习

12、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 ad=ac ,就gac 与gad 全等,即有iac=iad=2dac精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 d .c. e 在以 a 为圆心的圆上,就1dac=iec2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故iac=iec ,即 a .i .c.e 四点共圆；于为,aci=aei1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 f. d.e 在以 a 为圆心的圆上,就aei =2fad精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又由于相切有fad=acb ,故aci=1acb 所以, i 为内心；2精品学习资料精选学习资料 - -

13、 - 欢迎下载2df 通过abc 的一个旁心；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 fd 与 ai 的所在直线交于i,连 b i, bi ；就bi i=bacabc ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2aaa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载而bdi a =adf ,又 ad=af ,就adf=afd=dae=2bac2cae ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又由于相切有abc=cae ,故bi i a=bdi a ,即 i. d. b. i a 四点共圆；精品学习资料精选学习资料 - - -

14、欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于为,i bi a =idi a = 90 ,又由于abc 的平分线与其外角平分线相互垂直,故 b i a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为其外角平分线；所以,i a 为abc 的 bc 边外的旁心；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2004 联赛二试在锐角三角形abc 中, ab 上的高 ce 与 ac 上的高 bd 相交于点h,以 de 为直径的圆分别交 ab .ac 于 f.g 两点, fg 与 ah 相交于点k ,已知bc 25, bd=20 ,be 7,求ak

15、 的长；2415720*+*=4252525255解：在直角bce中, bc=25 ,be=7 ,就 ce=24 ； 同理,在直角bcd中, bc=25 , bd=20 ,就 cd=15 ；sina = sinb+c = sinbcosc+cosbsinc =精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于为, ac=ce=30 ,就 ad=15 ；同理, ab=bd=25 ,就 ae=18 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin asin a留意到： ab=bc ,就a=c由于cdb=ceb= 90, c. d. e.b 四点共圆,就c=aed ；于为,a =aed , 就

16、de=ad ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载连 fd,就 dfae ,于为 af=1ae=9 ,就 ag=af *ae = 54 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于s a2=s afkad5+s agk,即精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1af*agsina=21af*aksinfak+271ag*aksingak215精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其中, sinfak=sinbce=, singak =sincbd=2525精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载将数据代进去,运算得：ak=21625精品学习资料精选学习资

17、料 - - - 欢迎下载（这里实际上使用了张角公式,而官方解答留意到gf 与 bc 平行的关系）2003 联赛二试精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载过圆外一点p作圆的两条切线和一条割线,切点为a, b；所作割线交圆于c. d 两点,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c在p. d 之间,在弦cd 上取一点q,使daq pbc,求证：dbqpac.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载简证： 连 ab ,留意到：aqp=daq+qda=pbc+abc=abp于为, p.a .q.b 四点共圆；那么,pab=pqb即pac

18、+bac =bdc+dbq又由于bac =bdc,所以pac =dbq2002 联赛二试如图,在abc中,a=60 , ab>ac,点 o为外心；两条高be.cf交于 h 点；点 m. n 分别在线段bh.hf 上,且满意bm=cn；求mhnh的值；oh机械解法：设外接圆半径为r,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载引理 1：ah=cos abh=cos bchcosc= 2r 锐角三角形 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载引理 2： oh = oa +ob + ocbf引理 1 的证明： bh=a cosb=2rcos

19、b,同理有： ah=2rcosa, ch=2rcosc；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cosabhsin a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载引理 2 的证明：设h 满意 oh= oa + ob +oc,就 ah= ob +oc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ah* bc = oc + ob *oc - ob = oc 2 - ob 2 = 0,所以 a hbc同理, b hac,所以 h与 h重合；题目的证明： 图中 h 在三角形内部,可以判定abc为锐角三角形；a=60 , ab>ac,就 c&g

20、t;b；于为可设b=60 -,c=60 +,其中 0<< 30 ；由于 bm=c,n 就mh+nh =bh-bm+cn-ch = bh-ch = 2rcosb-cosc = 2rcos60 -cos60 +=23 rsin而 oh2 = oa + ob + oc 2 = 3r 2 +2r2 cos2a+cos2b+cos2c= 3r 2 +2r2 cos 120 +cos 120 -2+cos 120 +2 = 2r2 1-cos2= 4r 2 sin 2,即 oh=2rsin精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载mhnh故=oh23r sin=32 r sin精品学习资料

21、精选学习资料 - - - 欢迎下载2001 联赛二试如图,abc中, o为外心,三条高ad.be.cf交于点 h,直线 ed和 ab交于点 m,fd和 ac交于点 n；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求证：（ 1）obdf , ocde（ 2） ohmn(1) a. c.d.f 四点共圆 bdf bac又 obc180 ° boc90° bacobdf同理 ocde(2) 引理： oh = oa +ob + oc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载引理的证明： 设 h满意 oh=oa + ob + oc, 就 ah=ob + oc精品学习资料精选学习

22、资料 - - - 欢迎下载ah* bc = oc + ob *oc - ob = oc 2 - ob 2 = 0,所以 a hbc同理, b hac,所以 h与 h重合；题目（ 2） ohmn的证明：由于 oa + obab ,就 oa + obam ,所以（ oa +ob ） * am = 0同理有,（ oa +oc ） * an = 0再结合第一问的结论有：oh * mn = oa +ob + oc *an - am =ob * an -oc * am= ob * dn - da -oc * dm- da = -ob * da +oc * da = da * bc = 02000 联赛二试

23、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如图、 在锐角abc的bc边上有两点e.f,满意baecaf,作 fmab、 fnac精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 m.n为垂足 ,延长 ae交abc的外接圆于d点,证明四边形amdn与abc的面积相等精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三角证法： 记bae=caf=,eaf=,就am=afcos+ , an=afcos精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s=s+ s=1ad*amsin+1ad*ansin+精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载amdn1amdadn221精品学习资料精选学习资料 -

24、- - 欢迎下载=ad* afcos+sin+221=ad* afsin+2ad* afcossin+精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载而 s abc =1ab* acsin2+2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载连结 bd ,留意到：adb=acb,又题设bae=caf ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就adb 与acf 相像,于为有：adac=abaf精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即： ad* af = ab* ac, 所以samdn=s abc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

25、载1999 联赛二试在四边形abcd中,对角线ac平分bad；在 cd上取一点 e , be与 ac相交于 f ,延长 df交 bc于 g；求证：gac =eac解析证法 ：如图建立直角坐标系,令a0、0,fm、o, cn、o , bp、kp, m.n.p.k 均为正数；就直线 ab为 y = kx；ybp、kpgafm、ocn、oxedq、-kq由于 ac平分bad,就直线ad 为 y = - kx；可设 dq、 -kq,q>0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于为,直线bc为 y=kpx - n,直线 df为 y=kqx - m,于为交点g为精品学习资料精选学习资料 -

26、- - 欢迎下载pnmq精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yg =kpxg - n =kqxg - m（ 1）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pnmq精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 pxg =q mnmn pqygk ag =kpq nm精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pmqn2qpxg pq mnmn pq精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载同理,直线cd 为 y=kqx - n,直线 bf为 y=kpx - m,于为交点e 为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nqpm

27、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y e =kppmxe - m =kqnqx e - n（ 2）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（直接对调m与 n 的位置得出运算结果）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 pxe =q mnmn pqyek ae =kpqmn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pnqm2qpxe pq mn mn pq精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故 k ag = -k ae,所以gac =eac精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1998 联赛二试如图,

28、o.i 分别为abc外心和内心, ad为 bc边上的高, i 在线段 od上,求证：abc的外接圆半径等于bc边上的旁切圆半径；注：abc的 bc边上的旁切圆为与边ab.ac的延长线以及边bc都相切的圆；纯几何证法：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bc边上的旁切圆半径：2sra =bca2s = a*ad精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载作 in ab ,垂足为 n,就 b+c a = 2an故r= a * ad精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载要证明r=ra =r,即证明：adaa 2 an2 an精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载连 ai

29、并延长交处接圆于k,连结 ko.kb；就 k .m 分别为弧bc 及弦 bc 的中点且ok精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bc 于为 ok ad ,又 ki=kb ,就r=ok=adadki=bkaiai精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故只要证明：a=2 anbk,亦即aia=an 2 bkai精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载而 a = 2bm、 故只要证明：abm=anbkai精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于nai=mbk=2,ani 与bmk相像,所以上式成立；故ra =r精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1997 联

30、赛二试如图,已知两个半径不相等的圆o1和圆 o2 相交于 m .n两点,且圆o1.圆 o2 分别与圆 o精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载内切于 s.t两点,求证： ommn的充分必要条件为s.n.t三点共线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明：充分性；设s. n.t 三点共线；在s.t 所作的两公切线相交于k,就 ks=kt,且 k精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在圆 o1 和圆o2 的根轴 mn上；设 st 交 ko于 d,由 os=ot及 ks=kt有： okst ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - -

31、 欢迎下载又 ossk ,那么kds 与kso 相像,即有kd * koks 2 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 kn * kmks 2 、所以kn * kmkd *ko ,即 o.d.n. m四点共圆；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故omnodn90 , 即 ommn ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载必要性；设 ommn ；类似地,设在s.t 所作的两公切线相交于k,就 ks=kt,且精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载k在圆o1 和圆o2

32、 的根轴 mn上；设 st分别交 ko.km于 d.n, 就 okst , 又 ommn,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故 o.d. n.m四点共圆,于为k n * kmkd * koks 2 ；又kn * kmks 2 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故 knkn ,即 n与 n重合,因此s. n.t 共线；1996 联赛二试精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如图,圆o1和圆 o2 与abc的三边所在的三条直线都相切,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载e.f.g.h 为切点,并且eg.fh

33、的延长线交于p点,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求证直线pa与bc垂直精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载梅氏定理证法：延长 pa与 bc交于点 d；pge截acd,由梅氏定理有：ag *cgce *deddp= 1ap精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 ce.cg均为圆o1 的切线,就ce = cg于为,ag *dedp= 1 1ap精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载同理, phf截abd,由梅氏定理有：ahbfdp*= 1bhdfap精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料

34、精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 bh.bf 均为圆o2 的切线,就bh = bf精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于为,ahdp*dfap= 1 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由（ 1）和（ 2）得：ag=deah,亦即dfde =dfag（ 3）ah精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载连 结 ao .ao. o g . oh,就gao = 1gab=hao,o .a. o 三点共线；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载121212212精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又ago1 =aho 2 ,所以ago1 与aho2

35、相像；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于为有ag=ahao1 ao24由（ 3）和（ 4）得：de =dfao1 ao2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载连结 eo1 .f o2 、 就 eo1ef ,f o2ef , eo1 平行于 f o2 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又由于de =dfao1 ao2,所以 ad平行于 eo1 ；故 pabc；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1995 联赛二试精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

36、如图,菱形abcd 的内切圆o与各边分别切于e.f.g.h ,在弧 ef 与弧gh 上分别作圆o的切线交 ab于m ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载交 bc于n,交 cd于p,交 da于q,求证： mq / np分析：这个问题需要倒过来想,从结论动身；第一要加强对mq 平行于np 的懂得,连结 mp ,将会发觉证题目标转化为：amq=cpn ,于为,问题转化为求证：amq 与cpn 相像,考虑到a=c,也就为求证：am*cn=aq*cp；这样,只要考虑对称的左边的“am*cn ”,再将其转化为“公共的量”即可；1994 联赛二试设abc的外接圆o半径为 r,内心为i ,b=60

37、 ,a <c,a 的外角平分线交圆o于 e,证明：（1）io = ae；（2）2r < io + ia + ic < 1+3 r .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载机械证法：引理： ia = 4rsinb sin2c , ic = 4rsin2a sin2b ,内切圆半径r= 4rsin2a sin2b sin c 22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载引理的证明： 在aci 中,应用正弦定理：b=ia=ic,其中 b=2rsinb ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin 90b sin c22sin a2精品学习资料精选学习资料 -

38、 - - 欢迎下载故 ia=4rsin题目的证明：b sin2c , ic=4rsin2a sin2b ,于为, r=aisin2a =4rsin2a sin2b sinc 22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）b=60 ,a <c,于为可设a= 60 -,c=60 +,其中 0<<60 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载那么abe=2,ae= 2rsin60；由引理知： r = 2rsin2260sin21= r（ cos-）2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由 euler 定理知： io 2 = rr-2r= 2r 2 （ 1

39、-cos） = 4r 2 sin 22故 io = ae = 2rsin2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）由引理知：ia = 2rsin602, ic = 2rsin602精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故 io + ia + ic = 2r（ sin+ sin6022= 22 rsin+ 45 2+ sin602） = 2r（ sin+cos）22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 0<< 30 , 就 45 <+ 45 < 75 ,所以 sin 45 <sin+ 45 <sin7522222 rsin 4

40、5 <io + ia + ic<22 rsin 75即 2r < io + ia + ic < 1+3 r精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1993 联赛二试.水平直线 m通过圆 o的中心,直线 lm,l 与m相交于 m,点m 在圆心的右侧,直线l上不精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载同的三点a. b.c在圆外,且位于直线m上方, a点离 m点最远, c点离m 点最近, ap.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bq.cr为圆 o的三条切线, p.q.r为切点,试证：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) l 与圆 o相切

41、时, ab cr 2l 与圆o相交时, ab cr3l 与圆o相离时, ab crbcapbcapbcapac bq; ac bq; ac bq;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载官方证明 ：设圆半径为r , om=x, am=a,bm=b, cm=c a>b>c>0 ,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ap 2ao 2r 2a 2x2r 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令x2r 2t,那么ap 2a 2t ,即apa 2t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习

42、资料 - - - 欢迎下载同理bqb2t,crc2t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令g ab * crbc *ap 2 ac *bq 2,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载g ab) c2tbca 2t 2 ac 2 b2t 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 ab) c 2tbc) a 2t 2 abbc 2 b2t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab 2

43、 c2tbc 2 a 2t 2ab bcc 2ta 2t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2ab 2 b 2t bc2 b 2t2ab bc b 2t 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22abcb bcab 2abbc ct at bt 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载222222abbcabbcbcab2c2t a2t 2b22t 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2abbc act c2t a 2t 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精

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