大学数学：ch3-1(1) 定积分的定义和可积条件

1、2012年12月19日南京航空航天大学 理学院 数学系1第第3章章 一元函数积分学及其应用一元函数积分学及其应用第第1节节 定积分的概念，存在条件与性质定积分的概念，存在条件与性质第第2节节 微积分基本公式与基本定理微积分基本公式与基本定理第第3节节 两种基本积分法两种基本积分法第第4节节 定积分的应用定积分的应用第第5节节 反常积分反常积分第第6节节 几类简单的微分方程几类简单的微分方程2第第1 1节节 定积分的概念，存在条件与性质定积分的概念，存在条件与性质1.1 1.1 定积分问题举例定积分问题举例1.2 1.2 定积分定义定积分定义1.3 1.3 定积分存在条件定积分存在条件1.4 1

2、.4 定积分的性质定积分的性质3实例实例1 1 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线设曲边梯形是由连续曲线( ) ( ( )0)yf xf xx轴，轴，及及以及两直线以及两直线,xaxb所围成所围成 , ,求其面积求其面积 A . .矩形面积矩形面积ahah ahb梯形面积梯形面积()2hab?AbaOxy( )yf x 1.1 1.1 定积分问题举例定积分问题举例4xbaoyxbaoy用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形

3、）（九个小矩形）5xabyo1xix1ix解决步骤解决步骤 : :（1)分割分割.在区间在区间 a , b 中中任意任意插入插入 n 1 个分点个分点bxxxxxann1210用直线用直线ixx 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形个小曲边梯形;2) 近似代替近似代替.,1,2,in i1,iiixx 在在每每个个小小区区间间上上任任取取一一点点 ，曲曲边边梯梯形形面面积积用用小小矩矩形形面面积积:)(,(1近近似似为为高高为为底底，以以iiifxx iiixfA )(1()iiixxx ：611()nniiiiiAAfx 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为01lim()n

4、iidiAfx 12,max,(0)ndxxxd当分割无限加细 即小区间的最大长度当分割无限加细 即小区间的最大长度趋近于零时，趋近于零时，曲边梯形面积为曲边梯形面积为（3）求和）求和（4）取极限）取极限7设一物质非均匀设一物质非均匀分布的长为分布的长为l的细棒上各点的线的细棒上各点的线密度为密度为r r (x),试求该细棒的质量试求该细棒的质量m (见图）见图）.实例实例2 2 物质物质非均匀分布的细棒质量非均匀分布的细棒质量xl01ix ix1x2x思路思路：把：把细棒分割成若干小段细棒分割成若干小段， 每小段上线密度每小段上线密度看作不变，求出看作不变，求出各小段的质量再相加各小段的质量

5、再相加，便得到，便得到细棒质量的近似值，最后通过对细棒的细棒质量的近似值，最后通过对细棒的无限细无限细分分过程求得细棒质量的精确值过程求得细棒质量的精确值8（1）分割）分割01210nnxxxxxl 1iiixxx ()iiimxr r 第第i小段质量小段质量某点的线密度某点的线密度（3）求和）求和1()niiimxr r （4）取极限）取极限12max,ndxxx01lim()niidimxr r 细棒质量细棒质量（2）近似代替）近似代替9实例实例3 3 求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程思路思路：把：把整段时间分割成若干小段整段时间分割成若干小段，每小段上，每小段上速度看作不变，求出

6、速度看作不变，求出各小段的路程各小段的路程再相加，便再相加，便得到得到路程的近似值路程的近似值，最后通过对时间的，最后通过对时间的无限细无限细分分过程求得路程的精确值过程求得路程的精确值10（1）分割）分割212101TtttttTnn 1 iiittt()iiisvt 部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（3）求和）求和1()niiisvt （4）取极限）取极限12max,ndttt01lim()niidisvt 路程的精确值路程的精确值（2）近似代替）近似代替11如如果果不不论论对对,babxxxxxann 12101 iiixxx，), 2 , 1( i，作作乘乘积积iixf )

7、( ), 2 , 1( i定义定义1.1（定积分）（定积分）1.2 1.2 定积分定义定积分定义怎怎样样的的分分法法，12被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量 , a b 积区间积区间分分点点i 怎样的取法，怎样的取法，和和S总趋于总趋于记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和式积分和式也称也称Riemann和和13定义定义1.1 ,R.fa bI设是定义在上的函数，设是定义在上的函数， 001:,naxxxb 00,若若，对对任任意意分分割割 ,fa b则则称称在在上上可可积积，并称并称 I 为为 f 在在 a, ,b上的上的1,1,2, ,iiixxin 及及任意任意

8、01( )dlim().nbadiIf xxfxii 定积分定积分, ,记作记作maxidx 当时,必有当时,必有1(),niiifxI d细度（模）细度（模）14几点说明：几点说明：（1） 定定积分积分是是一个一个数数值值，它它仅与被积函数及积仅与被积函数及积分区间有关，分区间有关， badxxf)( )bafdtt ( )bafduu ., )(,)( 2的的取取法法无无关关的的分分法法及及的的和和式式的的极极限限与与所所表表示示上上可可积积，则则在在区区间间若若）（ibabadxxfbaxf （3）定积分的定义定积分的定义1.11.1，是，是RiemannRiemann首先提出，所以首先

9、提出，所以被称为被称为RiemannRiemann积分积分.a, ,b 上可积上可积 的函数全体所成的的函数全体所成的集合记作集合记作 , a b 15(4) 0.dn 极限过程和的区别极限过程和的区别(5) .积积分分和和的的极极限限和和函函数数的的极极限限的的区区别别.x函函数数对对每每个个 来来说说，对对应应的的函函数数值值唯唯一一确确定定,.即即使使确确定定了了细细度度（d d确确定定）积积分分和和并并不不唯唯一一确确定定(,)i 同一细度，分割无限的选择无限同一细度，分割无限的选择无限定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限16 实例实例1-1-曲边梯形的面积曲边梯形

10、的面积实例实例3 3质点作变速直线运动的路程质点作变速直线运动的路程实例实例2 2 物质物质非均匀分布的细棒质量非均匀分布的细棒质量0( )lmx dxr r ( )baAf x dx 21( )TTsv t dt 17, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形面积的负值曲边梯形面积的负值定积分的几何意义定积分的几何意义（）（）（）（）xbaoyA( )yf x xoabA )(xfy 18abyx1A2A3A4A5A12345( )dbaf xxAAAAA 各部分面积的代数和各部分面积的代数和 ,)(变号时变号时在区间在区间b

11、axf（）（）19Z. 思考思考40202cosxdx201.3 1.3 定积分存在条件定积分存在条件1.1 , a b（可积的必要条件）（可积的必要条件） 区间上的可积函数一区间上的可积函数一定理定理定有界.定有界.提示提示: : 用反证法证明！用反证法证明！ 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo研究狄利克雷研究狄利克雷 (Dirichlet)函数函数注意注意 有界函数未必一定可积。有界函数未必一定可积。0 1x ，21 ( ),f xC a b ( ),f xa b 定理定理1.3 如果函数如果函数 则则 定理定理1.3

12、的函数连续性条件可稍微放宽一的函数连续性条件可稍微放宽一点，点，还有结论：还有结论： f x, a b定理定理1.4 如果函数如果函数 在区间在区间 上有界上有界 并且除去有限个间断点外处处连续并且除去有限个间断点外处处连续 ( ),f xa b则则单调且有界，则单调且有界，则 ( )f x , a b ( ),f xa b 定理定理1.5 如果函数如果函数 在区间在区间 则则 注意：单调函数可以有无穷个间断点！注意：单调函数可以有无穷个间断点！22ni例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.d102xx解解将将 0,1 0,1 n 等分等分, , 分点为分点为niix (0 ,1

13、, )in 1nix,ini 取取(1,2 , )in 2xy 2()iiiifxx则则23in 1()niiifx 2311niin 311(1)(21)6n nnno1 xy111(1)(2)6nn注注1222010 , dlimniidixC a bxxx 23o1 xyin1()niiifx 2311niin 311(1)(21)6n nnn111(1)(2)6nn122001dlimniidixxx limn 13 111(1)(2)6nn2xy 注意注意 这里利用了连续函数的可积性这里利用了连续函数的可积性. .因为可积因为可积, ,所所.iin 以可取以可取特殊特殊的分割的分割(

14、 (等分等分) )和和特殊特殊的点的点 24注注 利用,133) 1(233nnnn得133) 1(233nnnn1) 1( 3) 1( 3) 1(233nnnn1131312233两端分别相加, 得1) 1(3n)21 ( 3nn即nnn3323nii12332) 1( nnnnii1261) 12)(1(nnn)21 ( 3222n隐藏隐藏25原式原式nnnnnn111211111lim ninnni1111lim.1110 dxxix i 例例2 将下列和式极限表示成定积分将下列和式极限表示成定积分. nnnnn12111lim解解21019?dxdx2601xn1n2nn 1思考与练习思考与练习1. 用定积分表示下述极限用定积分表示下述极限 :12(1)limsinsinsinnnInnnn 解解:10sinlimnknnkI1n0dsin1xxnn2nn) 1( 0 x或)(sinlim10nknnkIn110dsinxxiixiix27思考思考:如何用定积分表示下述极限如何用定积分表示下述极限 12(1)limsinsins