高三一轮专题复习基本不等式及其应用

1、学习必备欢迎下载§7.3基本不等式及其应用1.基本不等式aba b 21 基本不等式成立的条件：a>0， b>0.2 等号成立的条件：当且仅当a b 时取等号 . 2.几个重要的不等式a1 2 b2 2aba， b r .ba2 a 2a，b 同号 . b(3) abab 22 a， b r.a2 b242a b 22 a，b r.3.算术平均数与几何平均数设 a>0 ， b>0 ，就 a， b 的算术平均数为a b2，几何平均数为ab，基本不等式可表达为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.4.利用基本不等式求最值问题已知 x>0， y>0

2、，就1 假如积 xy 是定值 p，那么当且仅当xy 时， x y 有最小值是2p.简记：积定和最小p22 假如和 x y 是定值 p，那么当且仅当x y 时， xy 有最大值是4 . 简记：和定积最大1.判定下面结论是否正确请在括号中打“”或“×”11 函数 yx x 的最小值是2.×a b 2 ab 22 成立的条件是ab>0.×学习必备欢迎下载3 函数 fx cos x4cos x， x 0，的最小值等于24.×x(4) x>0 且 y>0 是yy 2 的充要条件 .×x25 如 a>0，就 a3 1 的最小值为2a

3、.× a6 a2 b2 c2 abbc caa， b， c r .2.当 x>1 时，关于函数fx x1，以下表达正确选项x 1a. 函数 fx有最小值2b. 函数 fx有最大值2c.函数 fx有最小值3d. 函数 f x有最大值3答案c3.如 a， b r，且 ab>0 ，就以下不等式中，恒成立的是a. a2 b2>2 abb. a b 2ab1 12bac.ab>d. 2abab答案d解析 a2 b2 2ab a b2 0， a 错误 .对于 b 、c，当 a<0， b<0 时，明显错误.对于 d ， ab>0ba 2b a2.，

4、3;aba bxy114.设 x， y r， a>1， b>1，如 a b 3， ab 23，就 x y的最大值为31a.2b. 2c.1d. 2答案c解析由 ax by3，得：x log a3，y log b3，由 a>1，b>1 知 x>0，y>011log3a log 3b log3ab log3a b 22 1，当且仅当ab3时“ ” 成立，就 1x，x y1y 的最大值为1.1 |a|5.2021天·津 设 a b 2， b>0，就当 a 时， 2|a|取得最小值 .b答案 2解析由于 a b 2，所以1|a |a b|a|a b

5、|a|，由于 b>0，|a|>0，所以 b 2|a|b4|a|b4|a|4|a|b4|a |a|b|a|1|a |151|a|b 2· 1，因此当 a>0 时，的最小值是 1 ； 当 a<0 时，的最4|a| b2|a|b442|a|b学习必备欢迎下载b |a|小值是13 1 . 故1|a|的最小值为3，此时4|a|b ，即 a 2.442|a |b4a<0，题型一利用基本不等式求最值例 11 已知 x>0， y>0，且 2xy 111 ；2 当 x>0 时，就 fx 2x，就 x y的最小值为的最大值为 .x2 1思维启发利用基本不等

6、式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第 1 问把 11x y 中的“ 1”代换为 “2x y” ，绽开后利用基本不等式；第2 问把函数式中分子分母同除“ x”，再利用基本不等式.答案13 2221解析1 x>0， y>0，且 2x y 1，112x y2x y x yxy 3y2x 322.当且仅当 y 2x.x y2x2xy 时，取等号 22 x>0， fxx2 11x x1，2，即当且仅当x1xx 1 时取等号 .思维升华1利用基本不等式求函数最值时，留意“ 一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小 ”.2 在求最值过程中如不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配

7、凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式.·1已知正实数x， y 满意 xy 1，就 xy yyx的最小值为 . xxy2 已知 x，y r，且满意 1，就 xy 的最大值为 .34答案1423学习必备欢迎下载xyy2x2y2x2解析1依题意知， y yx x 1 x y 1 2 2× 4，当且仅当x y1 xyx时取等号，故 yy ·y x的最小值为4. x2 x>0， y>0 且 1xy 2xy， xy 3.当且仅当x y 时取等号 .341234题型二不等式与函数的综合问题例 21 已知 fx 32x k13x 2，当 x r 时

8、， fx恒为正值，就k 的取值范畴是 a. ， 1b. ， 221c. 1,22 1d. 22 1,221x2 ax112 已知函数 f x 是 .x 1a r，如对于任意x n* ，fx 3 恒成立，就a 的取值范畴思维启发对不等式恒成立问题可第一考虑分别题中的常数，然后通过求最值得参数范畴.答案1b28 ， 3解析1由 f x>0 得 32 x k 1 ·3x 2>0，解得 k 1<3 x 2 ，而 3x 2 22当且仅当3x 2 ，3x3x3x即 xlog 32时，等号成立 ， k1<22，即 k<22 1.2 对任意 x n *， f x 3 恒

9、成立，即x2 ax11 x 13 恒成立，即知a x8x 3.设 g x x8， x n* ，就 g2 6， g317.x g2> g3 ， gx31788. x 3 ，min3x3 a 8，故 a 的取值范畴是 38， . 3思维升华1a>fx恒成立 . a>fx max ，a<fx恒成立 . a< fx min；2求最值时要留意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性.2如不等式 x2 ax 10 对于一切x 0， 1成立，就a 的最小值是学习必备欢迎下载a.0b. 2c.5 2d. 3答案c解析方法一设 fx x2ax 1，a就对称轴

10、为x 2.a1当 ，即 a 1 时，221152fx 在0 ，2上是减函数，应有f2 0. a ， 5 a 1.2a1当 0，即 a 0 时， f x在0， 上是增函数，22应有 f0 1>0 恒成立，故a 0.a 1当 0< 2<2，即 1<a<0 时，2应有 f a a2422a 1 1 a 24 0 恒成立，故 1< a<0.5综上， a 2，应选 c.方法二当 x0， 1时，不等式x2 ax 1 0 恒成立转化为a x 1恒成立 .2x11又 x x x在0， 2上是减函数， xmin 1 5，22 max， x 1 5x2. a 52题型三基

11、本不等式的实际应用例 3某单位打算投资3 200 元建一仓库 长方体状 ，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40 元，两侧墙砌砖，每米长造价45 元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积s 的最大答应值是多少？为使s 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？学习必备欢迎下载思维启发把铁栅长、砖墙长设为未知数，由投资3 200 元列等式，利用基本不等式即可求解 .解设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，就顶部面积s xy，依题设，得40x 2× 45y 20xy3 200 ，由基本不等式得3 200 240x·90y 20xy 120

12、xy 20xy 120s 20s，就 s 6s160 0，即s 10s 16 0，故 0<s 10，从而 0< s 100，所以 s 的最大答应值是100 平方米，取得此最大值的条件是40x 90y 且 xy 100，解得 x 15，即铁栅的长应设计为15 米.思维升华对实际问题，在审题和建模时肯定不行忽视对目标函数定义域的精确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必需为正，由此可得自变量的范畴，然后再利用基本不等式求最值 .1某车间分批生产某种产品，每批的生产预备费用为800 元.如每批生产x 件，就平均仓储时间为x 天，且每件产品每天的仓储费用为1 元.为使平均到每件产品的生产

13、准 8备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品a.60 件b.80 件c.100 件d.120 件2 某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，其次次提价q%；方 p q案乙：每次都提价答案1b2乙2%，如 p>q>0，就提价多的方案是 .解析1设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y800 x 2800x 20.8x8x ·800x当且仅当x 8x>0 ，即 x 80 时 “ ”成立，应选b.2 设原价为 1，就提价后的价格为方案甲： 1 p%1 q% ，方案乙： 1p q22% ，由于1 p%1 q% 1 p%21 q%2 1p q2%，学习必

14、备欢迎下载且 p>q>0 ，所以1 p%1 q% <1 p q2%，即1 p%1 q%<1 pq22% ，所以提价多的方案是乙.忽视基本不等式等号成立的条件致误典例： 10 分12021 浙·江 如正数 x，y 满意 x 3y 5xy，就 3x 4y 的最小值是 a. 245b. 285c.5 d.632 函数 y1 2x xx<0 的最小值为 .易错分析1对 x3y 运用基本不等式得xy的范畴，再对3x 4y 运用基本不等式，利用不等式的传递性得最值；2 没有留意到x<0 这个条件误用基本不等式得2x解析1由 x 3y 5xy 可得 1 3 1，

15、3 26.x5y5x13所以 3x 4y 3x4y 5y 5x94 3x 12y 13 23x 12y· 13125，555y5x55y5x55当且仅当x 1，y1时取等号，故23x 4y 的最小值是5.2 x<0， y 1 2x 3 1 2x 31 2 2x3 1 26，当且仅当x·xx x6 2 时取等号，故y 有最小值1 26.答案1c21 26温馨提示1利用基本不等式求最值，肯定要留意应用条件；2 尽量防止多次使用基本不等式，如必需多次使用，肯定要保证等号成立的条件一样.学习必备欢迎下载方法与技巧1.基本不等式具有将“ 和式 ” 转化为 “积式 ” 和将 “

16、积式 ” 转化为 “ 和式 ” 的放缩功能，经常用于比较数 式的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，挑选好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且仍要把握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如： aba b 22a2 b2 2，aba b2a2 b2 2a>0， b>0等，同时仍要留意不等式成立的条件和等号成立的条件.失误与防范1.使用基本不等式求最值，“ 一正、二定、三相等” 三个条件缺一不行.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一样.学习必备欢迎下载a 组专项基础训练时间： 40 分钟 一、挑选题1.已知 0<

17、; x<1，就 x3 3x取得最大值时x 的值为1132a. 3b. 2c. 4d. 3答案b解析 0<x<1， 1 x>0. x3 3x 3x1 x 3 x 1x22 3.41当且仅当x 1x，即 x2时取等号 .12.如函数 fx xxx>2 在 x a 处取最小值，就a 等于 2a.1 2b.13c.3答案cd.4解析fx x1 x 21 2.x 2x 2 x>2， x 2>0. fx x 21 2 2x 2 · 12 4，x 2当且仅当x 21x 2x 2，即 x 3 时， “ ”成立 .又 fx在 x a 处取最小值 . a 3.3

18、.小王从甲地到乙地来回的时速分别为a 和 b a<b，其全程的平均时速为v，就a. a<v<abb. vabc.ab<v<答案aa b2d.v a b 2，解析设甲、乙两地相距s，就小王来回两地用时为s sab学习必备欢迎下载2s2ab从而 v sas a .bb 0<a<b， ab<a b2，2ab>ab2ab2b a，2 ab<1，即 2ab abab<ab， a<v<ab.4.如 a>0， b>0，且 ln a b 0，就111的最小值是baa. 4b.1c.4d.8答案c解析由 a>0， b

19、>0， ln a b 0 得a b 1 a>0.b>0故11a b1 1 1 4.abababa b1 2222当且仅当ab1时上式取 “ ”.25.2021 福·建 以下不等式肯定成立的是2 1a. lgx4 >lg xx>01b. sin xsin x 2xk， k z c.x21 2|x|x r1d.x2 1>1 x r答案c解析应用基本不等式：x， y r ，x y2xy当且仅当xy 时取等号 逐个分析，留意基本不等式的应用条件及取等号的条件.当 x>0 时， x2 12·x 1x，·424所以 lg x 21 l

20、g xx>0 ，应选项 a 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，学习必备欢迎下载而当 x k， k z 时， sin x 的正负不定，应选项b 不正确；由基本不等式可知，选项c 正确；2当 x0 时，有1 1，应选项d 不正确 .x 1学习必备欢迎下载二、填空题2 1126.设 x， y r，且 xy 0，就 x答案9y2 x2 4y的最小值为 .解析x2 11212 2 5 212 2 92 21y2 x2 4y 5 x2y2 4x yx2y2·4x y，当且仅当xy 时“ ”2成立 .p7.已知函数fx x x 1p 为常数，且p>0，如 fx在1， 上的最

21、小值为4，就实数p的值为 .答案94解析由题意得x 1>0 ， fx x 1p 1 2p 1，当且仅当xp 1 时取等号，x19由于 fx在 1， 上的最小值为4，所以 2p 1 4，解得 p4.8.某公司一年需购买某种货物200 吨，平均分成如干次进行购买，每次购买的运费为2 万元，一年的总储备费用数值单位：万元 恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总储备费用之和最小，就每次购买该种货物的吨数是 .答案20解析设每次购买该种货物x 吨，就需要购买200次，就一年的总运费为200× 2 400，一x年的总储备费用为x，所以一年的总运费与总储备费用为400xx 2400x

22、x 40，当且仅x x ·当400x x，即 x 20 时等号成立，故要使一年的总运费与总储备费用之和最小，每次应购买该种货物20 吨.三、解答题29.1已知 0<x< ，求 y2x 5x2 的最大值；5822 已知 x>0， y>0 ，且 x y 1，求 x y 的最小值 .·5x·2 5x.解1 y2x 5x2 x2 5x 15， 0<x<255x<2,2 5x>0， 5x25x5x 2 5x22 1，学习必备欢迎下载 y1，当且仅当5x 2 5x，即 x1y 1 时，55max.52 x>0， y>

23、0，且 x y1， 8282x y x yx y 10 8y 2x10 28y2x 18，xyx ·y8y2x21当且仅当x y ，即 x 3，y时等号成立，3 82x y的最小值是18.10.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162 平方米的三级污水处理池，池的深度肯定平面图如下列图，假如池四四周墙建造单价为400 元 /米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80 元/平方米，水池全部墙的厚度忽视不计.1 试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；2 如由于地势限制，该池的长和宽都不能超过16 米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最

24、低总造价.解1 设污水处理池的宽为x 米，就长为 162米.x总造价 f x 400× 2x2× 162x 248× 2x 80× 162 1 296x1 296× 100x 12 960 1 296x100x 12 960 1 296× 2x10012 96038 880元 ，· x当且仅当x100 x>0 ，即 x 10 时取等号 .x 当污水处理池的长为16.2 米，宽为10 米时总造价最低，总造价最低为38 880 元.2 由限制条件知0<x 16162 81 x 16.0< 16，8x设 g x

25、x10081 x 16，x8gx在818 ， 16上是增函数，学习必备欢迎下载 当 x 81时此时 162 16，8xgx有最小值，即fx 有最小值，即为811 296× 8 80081 12 960 38 882元. 当污水处理池的长为16 米，宽为 81米时总造价最低，总造价最低为38 882 元.8b 组专项才能提升时间： 30 分钟 1.已知 a>0， b>0，如不等式m 3a b3a1 0 恒成立，就m 的最大值为 ba.4b.16c.9d.3答案b解析由于 a>0，b>0 ，所以由m3ab 3 a10 恒成立得m 3 ba13a b 103b ba3a恒b成立 .3b3a3b由于 23a 6，baba ·当且仅当ab 时等号成立，所以10 3b 3a 16，ab所以 m16，即 m 的最大值为16，应选 b.2.2021山·东 设正实数x，y，z 满意2 3xy4y2 z 0，就当 xy212xz 取得最大值时，x y z的最大值为9a.0b.1c. 4d.3