弱耗散Fornberg-Whitham方程解的爆破

1、202x年11月安徵大学学报(a然科学皈)november 202x第 i i 卷第 6 期journal of anhui university (natural science edition)vol. 44 no. 6doi：10. 3969/j. issn. 1000-2162. 202x. 06. 001弱耗散fornberg-whitham方程解的爆破丁丹平，刘飞江苏大学理学院.江苏映江2120xx)揄 要：研究增派散fw< fornberg-whitham)方程的cauchy何明.利用kaio半群理论得到了弱袖收fw方 程初值问煎的村祢透定性站烬，研究弱秘收fw方程解的修破

2、性质,绐出爆破条件与爆破速率，结果表刖解 的爆破受耗散系数的彬而.但是k爆破速率勺耗故顼无关.关饿词：fornbcrg-whnham方程；成耗放；适定性；爆破中图分类号：o175. 29文itt标志码：a文章铝号：1000-2162(202xxx6-0001-07blow-up of solution to the fornberg-whitham equation with weak dissipationding danping. liu fui(faculty of science. jiangsu university. zhenjiang 2120xx. china)abstract

3、:in the paper, we studied the cauchy problem of fw (fornberg-whitham) equalion with weak dissipation. first, we obtained the local well-poncdncxs of the initial value problem by kaio*s theorem. we then studied the blow-up properties of the fw equation with weak dissipation* and gave the blow-up cond

4、ition and the blow-up rate. the results showed that the blow-up of the solution is affected by the dissipation coefficient. but the blow-up rate is independent of the dissipation term.keywords； fornberg-whitham equation; weak dissipation; wcll-poxcdncss; blow-up文献1首次给出了 fornberg-whithamcfw)方程9-33石八、

5、皿加 十十 yww r 十 =。,(1)其中£ r =u(x./)表示方向，时刻水波的流速或表示波的自由外表距离水平面的高度.文献0对fw方程进行研究，得到其尖峰孤子解为fw方程不仅有尖峰孤子解(2，还有光潜孤子解、周期尖角解、环形解和驼峰解“.关于fw方程 的局部适定性、解的稳定性和爆破性质也有许多研究成果川.fw方程是关于理想流体的浅水波方程.但是实际物理流体总会存在能妆耗散.论文研究弱枉散 fw方程的cauchy问题收稿日期：20xx 05-06基金工程：国家自然科学基金资助厄口137111)作者简介：丹平(1965).男.江苏丹阳人.江苏大学教授.硕士生导师.即t.e mai

6、l； .eom.933(3>(l>皿加 + yuw, + cc + 即“ =0*(占，0)=“，其中是耗敞项.。是耗散系数.xm耗散fw方程两端运用算子(1 一为可得到其等价形式3+ wur =al (膈" + u,其中：=(1 一弋t,且对于任葱的函数/ e l a ,/=ye |x, * /.论文主要研究弱耗fft fw方程的局部话定性以及解的爆破.研究结果说明弱耗散fw方程解的爆 破率不受弱耗散项的影响，但方程解的爆破条件却受到耗散系数的影响.1局部适定性应用kato半件理论研究弱耗散fw方程的局部适定性.与志拟线性开展方程dv+ a(v)v=/

7、(v). i >0. v(0)=vu.(5>设x和y是两个hilbert空间丫能连续h例密地取入x .从y到x有拓扑同胚q：yf x用 l(y.x)表示从丫到x的全体有界线性算子空间.假设(i>对vjr e y .aly) l(y.x)是拟r 增生算子,且对vj.z-w 6 v .存在常数为.使得ii <a(j) a(0)b | .v w") ii 3 0 ii x ii u» ii y.(ii) q八(y)q 1 =a(y) + b(y)，其中li(y) c以x,x)在丫的有界集上一致右界.旦对任意y, z 6 y.w e x .存在常数加使得ii

8、(b(j) b()u» ii x =cii y * ii y ii w ii ”(iii) /：y-y是有界的，且对于g 丫 .存在常数心 w使得ii /(')/(z) ii m 四 ii y 一 二 ii y ii / <j> 一/g) ii x c 4 ii y 一 z ii x-引理1( kato定理)在条件(而下对于©。g y .存在最大常数t( | u)ii r) >0.使得方程 (5)存在唯一解u .满足wp(.s)6 c(o-t)；y)n ci(co-t)；x).o为了应用引理1，在方程(4)中令a(w) = /(w)=1 一之)t(

9、七一房“，并令q =(i 杯 .y = ，xm>号.显然q是丫到x的微分同外.类似文献10,13中的证明，诃 证a(u) jm)满足条件(iii),于是有弱耗散fw方程的局部适定性定理，即定理1.定理1给定心 ir -v>t .存在一个能大时间t >。使得问题(3)存在唯一解 =“(.")6 c<0,t)；h ) n并且解连续依赖于初值，即映射m *，.")：汁-*c<0-t)；h > a c'<0-t>；h ')是连续的.2爆破引理2对于任意函数/ 6 /和有ii a'1/ ii 11/11 ii a

10、"lf ii ic =11/11 " iiii 俨 c ii j ii 叶.<6)引理3假设“是初值问题(3)对应于心£ h，的一个解,那么对于适当的1>0.淌足11“ ii /| 小 | 孔(7)证明 对。式两端同乘以并在r上积分.有由于(1 一毋)-，"=一衣+(1 t)t(8)应用(6).(8)式、holder不等式及sobolev嵌入理论.得 |u,u<lr = 两-",dz = £w ( u + a'u >d.r < ii w ii j? +e ii u ii j? ii al u ii

11、 注 c£ ii u | jp +e ii ii ii w ii n» c 2c ii u ii 小，up| ii*.(10>对问题(3)第一个方程两端同乘以，并在r上积分.有(11>+utiu,aj =y 泌 +"孔<1"应用分部枳分、(6)式.holder不等式及sobolev嵌入理论.有- u(ldr < ii 七 iil 1« 假 < 11 i"jwjxsdz = y mzu;zd.r c y ii w | 命，< | u | ii m, ii r? ii u,r ii r? c ii &q

12、uot; ii h2，ufw.dx < ii m, ii f? ii f ii t2 < ii " ii /，wl dx < ii utj ii f? ii ult ii(? w ii w ii 很.有y 备+ ”孔)* =c ii w ii a- +( 1 + )ii w ii if-， 结合(10),(12)式.得£ll m ii w < v ii w ii 刑+(2 + 6qllll 引， atl由(13)式.得 .i - 4(l+3e)"心、(4(1+3。+27 | 心 ii e “s27|"| * 选择适当的z .有ii

13、 « ii hz < c </)ii wn ii(12)(13)(bl)引理，打 令t > 0- w c,<0.t)；h(r).那么对于任意的t 6 0-t)，至少存在一点6 r 使得/?</)： = n(u ,(.rw)=y(f(/),l)并且函数在区间(0,t)上几乎处姓可导.即)="(£(/)“，a. e. , / e (0/d.下而给出问题(3)的解爆破的一个充分必要条件.2定理2设心e /'（5 >y）.最大存在时间t>0是有限的那么问题（3的解在t内爆破当旦仅当liminf infur (/，/ )j

14、= oo. r-*t z6r证明 仅就$=2绐出证明.对于一般情况5>| .利用倒密性定理可得到相同的结论. 对方程3）两端同乘以“并在r上积分，有(15)jwwlr = f ej w.4-1 uja d.r +对何题（3）第一个方程的端同乘以”“并在r上积分，有uu r< 1(d-r + yjww .w/zd.r(16>£ j (n2 + w； + 吃)d.t =2cj 妒 dr 2euaj udx 9“,以 dz 3uuxjujjj2 ii.it t,d.r2e hrclrd.r 2)uru, dj* 2c |ut1 u d.r - ? *," w&l

15、t;lr ypculdr -yju d.r + j妃 d.r + jw 八 d.r m ,r<lt2e hrd.r -(17>(18)(19)2< fw* dr + 顼 m | u dr +jl j'八35.1“ j '2(3152t m + 1，云肘 + 1 2e由不等式19) .得嘏设存在m>o.使得对所有的(/.z) 0.txr .有u , (/，t )参一m 将（18）式代入（17）式,得+ 4 )d.t w"!>mju:clr + |w;dvt + juldj- 2e uldr w 2e | u<lr + (-ym + 1

16、 d.r + (§m 4-1 2t) | u,d.r < a ju，+ 妃 + u,(20)ii m | 律 < ii u0 | r cv.z 6 0/d, 因此.假设，（，）有界那么问题（3）的解“（r,）在有限时间内不会发生爆破.反之，假设1iminfinf-h,h）=-8成立.假设解整体存在那么对任意丁 >0,存在n（t）>0,» t “r使得 成立.由sobolev ifea理论可得ii e ii l <c| w im <cn(t).这与假设矛盾,因此方程的解会在有限时间内爆破.定理3如果w1. 6 iv且存在点&6r.满

17、足«（u）v b ,其中：h=j§- + §£+2c(f| y | ,r 那么问题(3)对应的解u(.r.z)会在有限时间0 v 丁 <t 内发生爆破其中丁将在下文给出.证明 对问题(3)的第一个方程关于.r求导.有3 .3hr + u：t + uutt =./ ea n r w + a it,(21)应用引理4并注意到m(t)是局部lipschiiz的，因此有叽(q =0,得1o寺+ 3疽一e/t'is) 一“八£)+、(/，*，(22)因为对于“ hl右a =y c 11 u(j)dy c ii h ii l" c

18、ii w ii ffg c 0)ii «> ii r2 (23)=y|e 1 fy 1 sgn(.r '( )dy < | |< ii u ii / <r(/) | u. | h：.(24将(23).(24)式带入(22)式得+ w2 w em + eut ?> |+ x(f ,)| + alu(t $> |em +(£ + 2c ii wo ii 护,(25)令 k =(+2)c(r) ii wo ii “那么(25式变为< mi + cm + k = (m b)(nt + h )(26>由定理3的假设知<y-

19、b .现在证明对于所有的？ 6 0/d，都有不等式/!</)<蝉v。.由于"是局部ye-fi成立.事实上.如假设存在o.t），使得对于所有的f 6 0”q，有；/（/） ye-b，但是m/0）-那么由（26式可知在区间0./o上几乎处处有lipschitz的,因此在上是绝对连续的可得)n(l)> v m (。)v £ b . 5这与m （，u）n ：£ b矛盾.有3(27)<0.(28)f/t (t) < b f £ 0 . t).因此.由(26).(27)式知")在o.t)上单调递减.由不等式26),有3m (0

20、) + 3b e 皿 <3m <0) 3/j £右 ' 3!(i) 3b 乂因为0v："黑+驾 § vl,那么由(28式，有3?r (0) 3n £t*3?w(0) -3b -e= 3b，n(3w(0)+3b-e使得liminfm (/ > = 8, i丁°因此cauchy问题(3)的解住有限时间内爆破.定理4假设问题对应初值奴6 h2的解(，/)在有限时间t <8内发生爆破，有2 lim (t / )(infwz (/ ,.r )=. i *tm3证明由(26)式仰得% j<k,dz 2j蝉+ 河皿一#w

21、k+#,3, /、1 / i z 上命3, /、1/1, e ) k e “ w :w (m( /) e ) + k + e ,236d/z36再由定理2知liminf/n (/ ) = 8,那么存在点h 6 0.t) .使得对于任意的8 6 (0-1) .有由于m(t)住0.丁上单调递祓有i *' + ky v j，/ e i】，丁，将(32)式代入(30)式.有j - 8 m §(6 口 |,丁,/«< /) s对(33)式关tf积分且注意到linv;i(/) =有(号s)(t <- v + )(t /)ml)£ < </ -

22、t >(m(/ > - -e,f di.t),g+a"f22因为8 £ (0.1)是任意的.有12lim( (t t )(;w (/) )= ,«-*t33(29>(30)(31)(32)(33)(34)2lim< (t z)( infw, (/ ,x>)=.i *7er3定理3绐出r弱衫散fw方程解爆破的i个充分条件.说明初值问题(3)解的爆破受耗散系数£的 影响.定理4说明初位问题(3)解的爆破速率与弱饪散项无关.弱耗散fw方程的爆破速率与fw方程 的爆破速率一样.参考文菰：1 whitham g k variation

23、al methods and applications to water wavcsj. proc r soc a、1967. 299 (14： 6-25.2 fornberg g* whitham g b. .a numerical and theoretical study of certain nonlinear wave phenomena j. philcw tnms r soc lend (ser a), 1978, 289 (3)| 373-401.zhou j b tian i. x. soli ions pcakons and periodic cup wnvr icolii

24、tions fur the* eornlxtg-whithnm c<|utionj, non-linear analysis. 20|0. ii c1 > 356-363.4 j zhou j b. tian l x. periodic and solitary wave solutions <o the fornberg-whitham equationj mathcnuitical problems in engineering. 20xx (3): 1-10.5 holmes j. welkposedness of the fomberg-whitham equatio

25、n on the circlet j. j inferential equations. 20xx. 260 (12)； 8530-8549.hoi.mes j. thompson r c. well posedness ?ind conlinuily propertick of ihu eonilwrg whiiham equation in liesov spaccsj. j differ equ» 20xx« 263： 1355-4381.h.aziot s. wave breaking for the fornberr-whit ham cquationj. j differential equations, 20xx 263 s 8178-8185.8 wu x l. z