一、二年级奥数知识点及分类试题[1]

1、关于如何学习小学奥数刘兵一、 为什么要学习奥数。 要不要学习奥数一直是困绕很多家长和学生的问题，其根本原因是很多家长和学生不知道奥数到底学什么，技能和思维是解决数学问题的两个重要条件，两者相辅相成，只有思维，没有技能解决不了数学问题，只有技能，没有思维也解决不好数学问题，小学教材注重的是学生数学技能的培养，而奥数注重的是学生思维能力的培养。数学是锻炼思维的体操，思维能力的培养是数学学习中不可缺少的部分，可见，奥数并不只是利益驱使下的产物。 奥数能够比较准确地反映孩子智力的水平。在小学阶段，如果奥数学不好，到了中学成绩就显出差别了。有的学生小学成绩拔尖，到了初中就平平，再到了高中就跟不上了。相反

2、，如果奥数学得好，即使其它课程成绩一般，到中学了成绩会一路飙升。那些名校小升初都要求考查奥数成绩，就是这个原因。奥数，它源于教材，高于教材。更能有效地开拓思路，启迪思维，提高知识的运用能力。奥数体现的是孩子的智力与潜力。对于逻辑思维的训练，对于日后选择理工科的学习很有必要。学奥数可以扩大学生的眼界，打破很多学生极易养成的思维定势，训练学生的思维，培养学生从多个视角去分析问题和解决问题的能力，也有利于学生更好的学习普通的数学，常常会让学生在“我怎么没想到”的感叹声中不断加深对数学的认识，在不知不觉中取得进步。很多家长常常提到这“奥数叫停”现象，目前，很多专家（专家未必是搞教育的）提到，学奥数的成

3、不了数学家，学奥数的学生只会做题，不会创造，回答这个问题其实很简单，学奥数的学生只会做题，不会创造，那么不学奥数的学生就会创造了么？事实上，恰恰相反，很多数学家，都学过奥数，其实这种现象是应试教育下的产物，而不应仅仅归结在奥数的学习上。正是因为传统应试教育的影响，缺乏思维能力是目前学生普遍存在的一个现象，因而，适当的思维能力的训练对目前的学生是很有必要的。 而学习奥数的真正的问题是如何学和何时学的问题。 二、何时学奥数？ 思维能力的发展，必须以基本技能作为基础，因而小学生的学习主要目标是培养学生基本的数学技能，过早学习奥数正如空中建楼，是不现实的，而思维能力的培养，是数学技能发挥的必要条件，适

4、当培养小学生的思维能力，也是必要的，因此，何时学习奥数，学什么内容不是决定于学生的年龄大小，而是决定学生数学技能的掌握情况。 三、如何学习奥数？ 小学生的数学学习目标是重点培养基本的数学技能，适当发展学生思维能力，更重要的是培养学生的学习兴趣。 学习兴趣是什么？如何培养学生的学习兴趣？也是家长和学生比较困惑的问题，其实，培养学习兴趣这个提法比较片面，准确说应该是激发学生的学习动机。影响学习动机的因素很多，比如教师，学习任务等外部因素，兴趣，自主性，自我效能感，归因等内部因素，我们说的学习兴趣只是学习动机的一个方面。 首先，如果学生感到能胜任，就会产生兴趣；如果学生感到无能为力，则会对任务兴趣索

5、然。不基于学生基本数学技能的奥数课程，许多学生是无法胜任的，这也是目前“奥数叫停”，“课程任务降低”的一个重要原因，其目的是为降低学习任务的难度，使学生能够胜任，提高学生学习的兴趣。 但注意，并不是学习任务越低，学生的学习兴趣越高。我们将学习任务的难度分为三类：一是，不经过思考就能解决；二是，经过一定的思考后能解决；三是，经过很长时间的思考也不会。第一类任务可能引起学生的枯燥感，第三类任务可能导致学生的挫败感，这都不利于引发学生的成就感，第二类任务更容易带给学生自我效能感，从而激发学习动机。所以，适当的学习难度，是可以激发学生的学习兴趣的，事实上，奥数能学好，即能胜任的学生，也会对数学产生更浓

6、厚的兴趣。小学奥数的学习切忌盲目增加难读。 其次，即使学生起初对某门学科或活动不感兴趣，但如果获得成功，他们也会产生兴趣。如果基于学生的所掌握的基本技能，成绩不好的学生，也可能因为获得成功而对奥数产生兴趣。因此奥数的学习，不只是适合于“怪才”，“偏才”，只要基于学生数学技能情况的学习，都是有益无害的。 引起兴趣和好奇心可以提高个体的唤醒水平。奥数内容中不乏有趣，新奇的内容，都可以引起学生的学习兴趣和好奇心。事实上，很多伟大的科学家，取得成功的最初都是因为对某个问题的好奇心或兴趣。 任务价值也是小学生学习奥数过程中，影响学习动机的一个不可忽视的因素，任务价值可分为以下三类： 1、成就价值，它表明

7、学生在任务中表现良好的重要性。成就价值与个体的需要及取得成功的意义相关，比如，一个人想使自己表现得很聪明，并且相信测验中的高分能表明其聪明，那么测验对其有很高的成就价值。 这也是很多学生在学习奥数后，成绩不上升反而下降的重要原因之一，很多学生，在学习基础课程时，有很高的成就感，在学习奥数后，由于老师和家长的急切心里，对学生的理解和支持不够，成为了奥数学习中的“笨学生”，使学生学习的成就感丧失，导致成绩下降，因此，好的学习环境也是学好奥数的一个重要条件，奥数题解决不了，不是基本技能出了问题，只是思维方法不够理想，不要因此给学生过分的指责。 2、内在价值或兴趣价值，它是指个体从活动本身获得乐趣，奥

8、数真正培养培养学生思维能力的，是奥数中原理，思维方法，大量重复的练习，可能导致学习任务增加，使学生失去学习的乐趣。因此，奥数的学习应该注重原理和方法的学习。 3、效用价值，即帮助个体达到一个短期或长期目标的价值，如学习外语能和外国朋友交流。对小学生来说，这方面概念较为模糊。正确的奥数学习是以培养学生的学习兴趣，培养学生的思维能力为目的的，以竞赛和升学为目的的奥数只是应试教育下的产物，一方面不能真正起到培养思维能力的作用，另一方面可能磨灭学生的成就感，导致学生的学习动机的丧失。 四、特色个性化奥数教育 有人问，为什么有的学生学了奥数变得很聪明，而有学生学了奥数成绩反而更不理想呢？根据学生所掌握的

9、数学技能的不同，因材施教，这是奥数学习最基本的前提。只有适当难得的学习任务，才能有效激发学生的学习动机，培养学生的思维能力，奥数的学习，更应该注意因材施教。 我们常常会看到这样一种现象：不少同学整天埋头学习，习题做了好几本，资料看了一大堆，但学习成绩总是提不高，竞赛成绩不理想，这是为什么？ 究其原因，就是因为没有吃透教材的基本原理，没有掌握解题的科学方法，吃透原理，是学好各门功课的基本保证；掌握方法，是攻克奥数难题的有力武器。学习奥数的目的是锻炼学生的思维能力，奥数的中数学原理，思维方法，才是培养学生思维能力的根本，只有注重原理和方法的奥数课程，不仅能减轻学生任务，更能有效地培养学生的思维能力

10、。 本中心就是期望为同学们提供最为全面、最为贴身、最为实用、最为有效的奥数个性化学习。以教育心理学为指导，结合学生的认识水平，以“突出思维训练、激发学习动机、培养解题技能，拓展实用知识”为宗旨，根据不同学生不同学习情况，贴身制订不同的课程和学习任务，以培养学生的学习兴趣的目的，着重数学原理，思维方法的讲解，在不增加学生的学习任务的同时，提高学生的思维能力。 本课程由本公司精心选拔的优秀奥赛教师主讲，讲课思路清晰顺畅，原理讲解透彻，注重方法点拨和思维开拓，方法灵活巧妙，启发恰到好处；既有例题分析，又有针对性训练，题型系统全面。附：一、学奥数到底有什么用 目前对于绝大部分学奥数的孩子和他们的家长来

11、说，目的只有一个，那就是通过各种竞赛获奖从而得到一个上重点中学试验班的机会，这个本身是无可厚非的，因为现在的升学制度决定了奥数已经成为升学的一个重要手段。通过和家长的一些接触我们也了解到很多家长认为现在学奥数是权谊之计，这个东西以后根本没用。我们认为这个观点是有失偏颇的，虽然我们目前学的某些内容，比如抽屉原理等，可能以后在初中甚至高中的课本里我们都根本不可能接触到的，但是我们学习的其实是一些思想方法，更具体的说，是培养数学的素养，培养一种解决问题的能力。实践证明，认真学过奥数的同学，对于学校的数学学习是非常轻松的，而且到中学的时候，至少在理科方面，那绝对是游刃有余的。 现在小学阶段在奥数班里认

12、真学习的同学基本上都考进了本市最好的中学，而且在班上大部分都是拔尖的，这里我们所说的拔尖不是单单数学一科，而是综合成绩，因此学奥数学得比较好的同学基本上都去了名牌大学。为什么呢？因为小学奥数学得好，初中的数理化基本上不用下任何功夫，因为知识虽然是新的，但学起来的难度比我们的奥数简单的多，而那些没学过奥数的同学可能就比较吃力，初中里理科占三门课，学生们省下这三门课的时间去多背些英文单词，多看看语文等等，学习成绩当然会比较好，学习起来也比较轻松。 当然，刚才说的问题可能比较长远一点，为的是让大家明白学奥数对将来的发展是有用的，而且并不会因此而耽误你其他科目或者兴趣的发展，奥数不是苦差事，关键是学习

13、的方法。下面说一下关于该怎么学奥数的问题。 二、怎样学好奥数 经常有家长问我们：“我们的孩子刚开始接触奥数，怎么样能快速提高？”我们想大家都知道欲速则不达的道理，想一举把所有内容用短短的时间全学会，囫囵吞枣的结果是：各个内容你可能都见过，老师提到什么方法你可能也知道，但是给你出几个题你可能就做不出来了，这也就是为什么总有一部分同学在做综合测试的时候一塌糊涂的原因啦。 学奥数最佳的起步时间应该是三四年级，这个时期的启蒙教育特别重要，能不能尽快入门，或者说“开窍”，就看这两年啦。学奥数有诀窍吗？根据成功同学的经验，答案是没有。但如果非要我们说一个的话，那就是在学奥数的时候，力求通过多做题，从而把每

14、一个专题的解题规律理解透彻，并熟练掌握其解题技巧，进而能举一反三，触类旁通。现在让我们一起分享一下卢辉同学（2006年全国华罗庚金杯赛二等奖获得者，华师附中，先烈东小学2006届毕业生）的经验：“学奥数没有捷径，唯一能提高成绩的方法就是多做题，及时总结方法，然后要活学活用。世界上没有笨人，只有懒人。又想偷懒又想提高成绩的人，是不可能成功的。我的经验是：星期一到星期五每天腾出一小时学习奥数，半小时复习以前的知识，半小时学新的方法，然后做一些有关的练习题。上奥数课时，要认真听讲，老师讲解的题回家后要自己再做一遍。因为经常老师讲解的时候听得很明白，到了自己做，能否做出来是另一回事。这样坚持下来，奥数

15、成绩就会提高。” 既然做题这么重要，那么应该抱着怎样的态度去做题呢？有的同学把做题当作一项繁重的任务来看，家长要求每天做多少自己就掰着指头做多少道题来达到家长的要求，这样是不可取的。最正确的做题方法应该是抱着找出自己哪块知识有问题的想法去做，通过做练习找出自己问题所在，再集中的有针对性的加强这方面的练习，达到差漏补缺的目的。 三、家长怎样帮助孩子学好奥数。 家长都知道孩子学习奥数是很辛苦的,但大多数家长都不知道怎样帮助孩子。有的家长面对很陌生的奥数题目一筹莫展；有的家长则面对似曾相识的奥数题目苦苦思索；有的家长则为孩子买了大量的奥数的书籍等等。让孩子学好奥数，这是我们老师、学生和家长共同的目标

16、。其实为了能实现这个很难达到的目标，我们的家长也有很多事情要做。 （一）只要您有心，您一定能帮上自己的孩子。 有的家长自己是学文科的，根本就没有接触过奥数，不知道怎样帮助自己的孩子学习，所以就撒手不管了，结果可想而知。 （二）帮助孩子树立目标，并激励他去实现。 首先我们看一看黄阳（今年全国华罗庚金杯赛三等奖获得者，华师附中初一级新生，现先烈东小学六年级毕业生）的成功经验：“首先要明确目标。我从小就对数学有兴趣，兴趣是最好的学习动力，所以在一年级时父母和老师就帮我明确了考上华师附中的目标。而要达到这个目标，最好先考上广州市奥校，这样考上华师附中的机会将会大很多。因为市奥校是一所专门在业余时间培训

17、奥数的学校，我从中获益良多。”从以上例子我们可清楚地意识到目标对于学生来说是非常重要的。 学生有了目标之后，我们的家长还有一个非常重要的任务，就是激励学生、帮助学生去努力实现目标。在整个奥数紧张的学习中，学生难免会疲倦，甚至会产生厌倦的情绪。当学生疲倦的时候，让孩子休息固然重要，但家长更应该鼓励他，激励他坚持下去。当学生厌倦的时候，反复的单一的说教和批评往往很难奏效。根据我们的经验，这时，给孩子将一些名人成功成长的经验和学生认识的前几届学生（亲戚朋友的孩子）升学的经验和教训会比较有效。对于这一点，就需要求我们家长在生活中有意识的搜集这一方面的信息。 （三）及时和老师联系，以便更好的了解自己的孩

18、子的学习。 有的学生家长认为把学生交给老师就万事大吉了，这种想法其实是很危险的。事实证明，只有学生、教师和家长共同的努力才能使得学生取得最大的进步。辅导老师毕竟和学生在一起的时间有限，而且辅导班的授课一般是根据大部分同学的水平进行授课，如果条件允许，尽可能的选择一对一教学，真正做对“因材施教”，因为每个学生都有自己不同的擅长的知识和知识缺陷，要想更好的补充学生的知识缺陷，一是老师的引导，再就是家长在课下的时候和学生一起努力才行。 （四）根据自己孩子的弱项，有针对性的帮助他把弱项变成强项； 如果是小班教学，上课时，教师只能根据大部分人的水平进行授课，这就决定了每个学生不同的弱项不可能都在课上解决

19、，这就需要学生自己在课下自己努力解决。而如果是“一对一”教学，一般每个学生的弱项教师都会通过上课了解并尽量及时地和家长联系，这时家长就需要根据自己孩子的情况调其重点学习的方向。 （五）做好孩子的后勤保障工作； 一提到后勤保障工作，大多数家长只是注意让孩子吃饱穿暖，而忽略了学生的信心。家长的鼓励和平时的言语对学生的信心影响是很大的。家长应该多以鼓励的话来安慰孩子，激励孩子。一句赞美的话要比一百句批评的话更有效。不要总是拿自己的孩子和别人的孩子比，要多拿自己的孩子的现在和过去比，看到孩子的进步，鼓励她去取得更大的进步。 说了这么多，希望能对同学们有所帮助，祝愿大家在日后的奥数学习中学有所成。 20

20、13年7月鸡兔同笼学法探讨大约在1500年前，孙子算经中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？先假设它们全是兔.于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看相差多少.每差2只脚就说明有一只鸡；将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只鸡。这种解题方法就是前面第十讲所介绍的假设法。概括起来，解鸡兔同笼问题的基本关系式是：鸡数=（每只兔脚数×兔总数实际脚数）÷（

21、每只兔子脚数每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数鸡数当然，也可以先假设全是鸡。关于“鸡兔同笼”你还有什么需要补充？请你写在下面：例题选讲【例1】（古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？【分析】如果 46只都是兔，一共应有 4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚.那么，46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行了.所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。【解答】【体会】在解决这个问题的过程中，

22、你有什么体会？有什么需要补充？请你写在下面：【练习151】小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？【例2】鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？【分析】这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡

23、脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。【解答】【体会】在解决这个问题的过程中，你有什么体会？有什么需要补充？请你写在下面：【练习152】有鸡兔共20只，兔的脚比鸡多20只，鸡兔各几只？【例3】100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？【分析】本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题。【解答】【体会】在解决这个问题的过程中，你有什么体会？有什么需要补充？请你写在下面：【练习153】100个和

24、尚分100个馒头，大和尚每人分3个，小和尚每3人分1个。问：大、小和尚各有多少人？ 巧算图形的周长一、学法探讨：围成一个封闭图形的所有线段或曲线的长度总和，叫做这个图形的周长。我们已经学习了长方形和正方形的周长，这些图形是标准图形，我们可以用公式直接求出周长。长方形的周长=（长+宽）×2，若用字母C表示长方形的周长，a表示长方形的长，b表示长方形的宽，则长方形的周长计算公式用字母表示为：C=(a+b)×2。正方形的周长=边长×4，若用字母C表示正方形的周长，a表示正方形的边长，则正方形的周长计算公式用字母表示为：C=a×4或C=4a。当然，我们遇到的图形

25、不可能全都是标准的长方形或正方形，有些是不标准的图形或者是组合图形，要求这些图形的周长时，我们要紧扣周长的概念，善于发现图中的规律，分析复杂图形中各段边长之间的关系，从而巧妙地求出周长。在解决问题时，一是要重视操作，即摆一摆、画一画；二是要善于转化，将不规则图形转化成规则图形，转化中可以采用线段平移法，即不改变线段的长度，将线段平行移动，以简化问题。二、例题选讲：1245【例题1】 下图是一幢楼房的平面图形，请你求出这个平面图形的周长？（单位:米）12B45A【分析】仔细观察图形，我们发现不能直接用长方形或者正方形的周长公式进行计算，但是我们知道周长的概念就是围成这个图形6条线段的总长度，通过

26、观察，我们可以把A、B两条线段进行平移（成虚线），我们发现通过平移以后，原来的图形就变成了一个长方形（如右图），并且长是5米，宽是4米。当然本题除了应用平移的方法外，也可以用分割图形的方法算出周长，同学们你们可以试试看。【解答】【体会】在解决这个问题的过程中，你有什么体会？有什么需要补充？请你写在下面：56473【练习7-1】试求下图的周长(单位：厘米)。【例题2】 用三个边长3分米的正方形，拼成一个长方形（如下图），求这个长方形的周长？【分析】 我们可以清楚的看到长方形的长是由3条正方形的边长组成，而宽是由1条正方形的边长组成的，利用长方形的周长公式可得长方形的周长。也可以这样想，长方形的周

27、长是由8条正方形的边长组成，所以长方形的周长为正方形一条边长的8倍。当然也可先算出3个正方形的周长和，再去掉组合后合并的边。【解答】【体会】在解决这个问题的过程中，你有什么体会？有什么需要补充？请你写在下面：【练习7-2】 用15个边长2厘米的小正方形摆成如下图的形状，这个图形的周长是多少厘米？ 【例题3】 如下图所示，一个大正方形被分成了三个相同的小长方形。如果每个长方形的周长是16米，那么这个大正方形的周长是多少米？【分析】 我们通过观察很容易发现，原来大正方形的上下边就是小长方形的长，左右边是由3个长方形的宽组成，而我们知道正方形的边长相等，所以小长方形的长3个宽的长度，而长方形的长宽1

28、6÷28（米），所以通过等量代换，我们可以算出小长方形的宽是8÷42（米），小长方形的长即原大正方形的边长是2×36（米），从而可算出大正方形的周长。【解答】【体会】在解决这个问题的过程中，你有什么体会？有什么需要补充？请你写在下面：【练习7-3】 一个大正方形被分成了5个相等的长方形（如图所示）。每个长方形的周长都是36厘米，求大正方形的周长是多少厘米？ 和倍问题一、基本知识与方法：这一讲我们来讲一下生活中常见的问题之二：和倍问题，那什么是和倍问题？和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数类型的题目。为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系

29、，常采用画线段图，使数量关系直观形象，更好地帮助我们分析理解题意，确定正确的解题方法。和倍应用题在解答时先确定一倍的量，将一倍的量看做1份，将几倍的量看做几份，再用总量除以总份数（1份几份）得到1份的量。和倍问题的数量关系式是： 和÷（倍数1）1倍数（即较小数） 和较小数较大数，或较小数×倍数较大数你还有什么需要补充的，请你写在下面：二、例题选讲：【例题1】 毛毛和点点共有280元钱.毛毛的钱是点点的4倍，毛毛和点点各有多少元钱？【分析】设点点的钱为1份，则毛毛的钱为点点的4倍，那么毛毛和点点所有钱的和是点点的5倍。即5份的数量是280元，求出1份的数量也就求出了点点的钱数

30、，然后再求毛毛的钱数.用下图表示它们的关系：4倍280元点点毛毛【解答】 【练习151】两个数的和是682，其中一个数的个位是0，若把0去掉，则与另一个加数相同。这两个数各是多少？【例题2】红星小学有图书120万册，洪雅小学有图书30万册，红星小学给洪雅小学多少万册，红星小学的图书是洪雅小学的2倍？【分析】通过题目我们可知，红星、洪雅小学的图书总和是不变的。最后要求红星图书是洪雅图书的2倍，那么红星、洪雅两校图书总和相当于洪雅现有图书的3倍。依据解和倍问题的方法，先求出洪雅小学现有图书多少万册，再与原有图书册书相比较，即可求出正确的答案。根据上述讲解，仿照例题1，在下面空白处画出线段图。【解答

31、】【练习152】妹妹有课外书22本，姐姐有课外书38本，姐姐给妹妹多少本后，妹妹课外书比姐姐多2倍? 牛吃草问题学法探讨著名的英国数学家牛顿（16431727）在他的著作普通算术中提出了一道关于牧场上的牛吃牧草的问题，引起大家的喜爱，后来人们称这类有趣的问题为“牛吃草问题”也叫“牛顿问题”。我们来看下面问题：“一袋饲料可供10头猪吃20天，问这袋饲料可供25头猪吃多少天？解答这个问题比较简单：以1头猪1天吃的饲料为衡量饲料的数量单位（记为头·天）则这袋饲料共有10×20=200（头·天），用来喂25头猪，可以喂200÷25=8（天）再看看下面的“牛吃草问

32、题“：“牧场上长满牧草，每天均匀生长（即每天都长了同样多的新草），这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问：供25头牛可吃多少天？我们“牛吃草问题”与前面的“饲料喂猪问题”比较，牛吃草问题要复杂得多，原因是：袋中的饲料的数量是固定不变的，10头猪在20天恰好吃完袋中的饲料，但牧场上的草每天都在生长，10头牛在20天中不但吃完了牧场上现有的草，而且吃完了这20天中长出来的新草。它与15头牛10天中的吃的草的数量并不一致。草的数量随天数而改变增加了问题的难度这也正好是这类问题的魅力所在。本讲讨论“牛吃草问题”的基本类型以及它的变型。解答这类问题的关键是从变化中找到不变的量，即求出每天

33、长出新草的数量和原有的草量。解题时通常都是把一个个体（1头牛）在1个时间单位（1天）内完成的工作量（所吃的草）作为衡量牧草（或其它物体）的数量单位。从而逐步弄清：1、原有的初始工作量是多少。2、每个时间单位均匀增加的份额是多少。3、把参加完成工作者分成两部分，一部分解决原始工作量，另一部分解决均匀增长的工作量。4、原始工作量完成之时，均匀增长也同时停止。关于“牛吃草的问题”你还有什么需要补充？请写在下面。例题选讲【例题1】牧场上现有牧草的数量为120（头·天），而每天长出新草的数量为2（头·天）。问：（1）这片牧场可供10头牛放牧多少天？ （2）要在这片牧场上放牧10天，可

34、以放牧多少头牛？【分析】这是个简化了的“牛吃草问题”，因为每天长出新草的数量为2。恰够2头牛每日食用。如果只放牧2头牛，则牧场上的草量不会改变，保持平衡。因此我们只要设想从放牧牛的总数中分出2头牛专吃每天长出的新草，那么问题就转化为草的数量固定不变了。这样便可按通常的方法求出问题的解答。【解答】【体会】在解决这个问题的过程中，你有什么体会？有什么需要补充？请你写在下面：【练习19-1】某牧场现有牧草的数量为100（头·天），牧场每天长出的新草数量为1（头·天），问：（1）这块牧场可供6头牛放牧多少天？（2）要在这片牧场上放10天，可以放牧多少头牛？【例题2】牧场上云满牧草，

35、每天匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，问：（1） 这片牧场可供25头牛吃多少天？（2） 这片牧场可供多少头牛吃25天？【分析】要求出牧场上现有牧草的数量，以及每天长出新草的数量，我们可以通过比较问题中给出的两个条件来求：10头牛20天所吃的草的数量为：10×20=200（头·天）15头牛10天所吃的草的数量为：15×10=150（头·天）两相比较可知，10天中长出的新草的数量主：200-150=50，在而每天长出的新草的数量为：50÷10=5，故牧场上现有牧草的数量主：200-5×20=100（或150-5

36、×10=100），于是问题就可按例1的方法求解。【解答】【体会】通过本题学习我们看到求出牧场原有牧草的数量及每天长出新草的数量是解“牛吃草问题”的关键。你还有什么体会？请写在下面。【练习19-2】一片草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6天或23头牛吃9天，那么这片草地可供21头牛吃几天？“牛吃草问题”与追及问题与行程问题中的追及问题比较，我们会发现牛吃草问题与追及问题本质上是类似的。许多牛一同吃草，牧草“消耗”的速度较快，而牧草生长的速度较慢，赶不上“消耗”的速度，所以牧草终究被牛吃完；正如乙在前面跑，甲在后面追，甲的速度比乙快，乙终究被甲追上。我们解下面追及问题并且与

37、牛吃草问题进行比较，可以加深对这两类问题及其内在联系的理解问题：甲、乙两人赛跑，乙在前面跑，甲在后面追。若甲每秒跑8米，则30秒可追上乙；若甲每秒跑9米，则24秒可追上乙。问：（1）若甲每秒跑10米，多少时间可追上乙？（2）若甲在15秒时追上乙，他每秒应跑多少米？解：如图所示：甲30秒追上乙：8×30=240甲24秒追上乙：9×24=216甲在30秒中跑过的路程为：8×30=240米；甲在24秒中跑过的路程为：9×24=216米。两相比较，可知乙在30-24=6秒中跑过的路程为：240-216=24米，所以乙的速度为：24÷6=4（米/秒）；甲

38、、乙之间原有的距离为240-4×30=120（米）（1）若甲每秒跑10米，则可以设想他用每秒4米“抵消”乙的速度，而用每秒6米“缩短”甲、乙之间原有的距离，所以甲追上乙所需的时间为：120÷（10-4）=120÷6=20（秒）以上追及问题的解答和我们本讲所举例说明的牛吃草问题的解答其思路完全一样。整数的巧算学法探讨在进行整数的加、减、乘、除四则运算时，为了提高计算速度和计算的准确性，常常要灵活地应用四则运算的运算定律和运算性质，如交换律、结合律、分配律等。应用四则运算的运算定律和运算性质，有时要先对算式进行适当地变形。这些都是提高整数计算速度和准确性必须具备的能力

39、。四年级同学常用的“巧算”方法有“凑整”、“找规律”等。我们一起来将小学阶段学过的运算定律和运算性质整理一下：加法、乘法交换律：a+b=b+a；a×b=b×a。加法、乘法结合律：（a+b）+c=a+(b+c)，（a×b）×c=a×(b×c)。乘法分配律：（a+b）×c=a×c+b×c。减法的性质：abc=a（b+c）。除法的性质：a÷b÷c=a÷(b×c)，去（添）括号（带着符号搬家）：a(bc)=abc=acb a÷(b÷c)=a÷b

40、×c=a×c÷b。关于“整数的巧算”你还有什么需要补充？请你写在下面：例题选讲【例1】计算：32+17+68+83。【分析】观察算式发现32与68可以凑成100，17和83也可以凑成100。因此利用加法的交换律与结合律，我们可以用“凑整”法来解答。【解答】【体会】在解决这个问题的过程中，你有什么体会？有什么需要补充？请你写在下面：【练习11】计算42+71+85+29+58。【例2】计算：2134-1568+568-45-55。【分析】四则混合运算中，括号的运用是非常广泛的，通过添加和去除括号，我们也可以达到“凑整”的目的。【解答】【体会】在解决这个问题的过程中，

41、你有什么体会？有什么需要补充？请你写在下面：【练习12】计算：95865861197+1971003+3。【例4】计算：1111×1111。【分析】找规律：1×11，11×11121，111×11112321，【解答】【体会】在解决这个问题的过程中，你有什么体会？有什么需要补充？请你写在下面：【练习14】计算：22222×22222（1997年我爱数学夏令营计算竞赛试题）。一些特殊数字的巧算数学是奇妙的，也是富有规律的，在遇到一些特殊数字的计算时，我们要充分运用这些数字自身独特的规律与技巧，使计算更加方便、快捷、准确。十几乘以十几的巧算：方法：

42、任何两个“十几”的数相乘，他们的积都是把一个乘数加上另一个乘数的个位写在前面，再把两个乘数的个位相乘的积写在后面，满十要进位，简单的可以记作：先加后乘。相加结果写在前面个位相乘结果写在后面例如： 12 × 13 15 6 解题步骤：先是12315放前，再将2×36放后，最后连写，所以结果为：156。对于两个相同的并接近整百或整千数的巧算：如果两个数接近整百数，再利用上面介绍的方法来算就显得有些复杂了，既然接近整百数，我们是否能借鉴它们的整百数的特点来解决它呢？当然可以，这里再介绍一种方法“补数法”，当然它不仅可以解决两个两位数相乘，对接近整千的三位数相乘，不用竖式，同样可以

43、直接得出正确答案。方法：任何两个相同的数相乘，自己减去自己的补数，写在前面，补数乘补数写在后面，如不足两位，在十位上添“0”。补数2×2982例如： 98 × 98 96 04 解题步骤：98的补数是2，一是自己减去补数，即98296；二是补数自己乘自己2×24，然后连写，所以结果为：9604。我们再举一个三位数的例子，看看吧。补数12×1298812 988 × 988 976 144解题步骤：988的补数是12，一是自己减去补数，即99812976；二是补数自己乘自己12×12144，然后连写，所以结果为：976144。找规律【例题1】观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数： 2、5、8、11、（ ）、17、20， 19、17、15、13、（ ）、9、7，【分析】不难发现，从第2项开始，每一项减去它前一项所得的差都等于3，也就是说每相邻两项的差是3。接下来括号中应