2022年《新课标》高三数学第一轮复习单元讲座第14讲直线圆的位置关系

1、普通高中课程标准实验教科书数学人教版 高三新 数学第一轮复习教案（讲座14）直线、圆的位置关系一课标要求：1能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；2探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；3能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；4能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；5在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。二命题走向本讲考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系（特别是弦长问题），此类问题难度属于中等，一般以选择题的形式出现，有时在解析几何中也会出现大题，多考察其几何图形的性质或方程

2、知识。预测 2007 年对本讲的考察是：（1）一个选择题或一个填空题，解答题多与其它知识联合考察；（2）热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，注重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向；（3）本讲的内容考察了学生的理解能力、逻辑思维能力、运算能力。三要点精讲1直线 l1与直线 l2的的平行与垂直（1）若 l1，l2均存在斜率且不重合：l1/l2k1=k2； l1l2k1k2=1。（2）若0:,0:22221111cybxalcybxal若 a1、a2、b1、 b2都不为零。l1/l2212121ccbbaa；l1l2a1a2+b1b2=0；l1与 l2相交2121

3、bbaa；l1与 l2重合212121ccbbaa；注意：若a2或 b2中含有字母，应注意讨论字母=0 与0 的情况。两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。2 距离（1）两点间距离：若)y,x(b),y,x(a2211，则212212)()(yyxxab精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 27 页 - - - - - - - - -特别地

4、：x/ab轴，则ab|21xx、y/ab轴，则ab|21yy。（ 2 ） 平 行 线 间 距 离 ： 若0:, 0:2211cbyaxlcbyaxl，则：2221baccd。注意点： x，y 对应项系数应相等。（3）点到直线的距离：0cbyax:l),y,x(p，则p 到 l 的距离为：22bacbyaxd3直线0cbyax与圆222)()(rbyax的位置关系有三种（1）若22bacbbaad，0相离rd；（2）0相切rd；（3）0相交rd。还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组0022feydxyxcbyax求解，通过解的个数来判断：（1）当方程组有2 个公共解时（直线与圆有2 个交点），

5、直线与圆相交；（2）当方程组有且只有1 个公共解时（直线与圆只有1 个交点），直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为，圆心 c 到直线 l 的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切d=r0；相交d0；相离dr0。4两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为o1，o2，半径分别为r1，r2，doo21。条公切线外离421rrd；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p

6、 d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 27 页 - - - - - - - - -条公切线外切321rrd；条公切线相交22121rrdrr；条公切线内切121rrd；无公切线内含210rrd；外离外切相交内切内含判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。四典例解析题型 1：直线间的位置关系例 1 （1） （2006 北京 11）若三点a（2，2） ，b（a，0） ，c（0，b） (ab0)共线，则, 11ab的值等于。（2）（2006 上海文 11） 已知两条直线12:330,: 4610.laxylxy若12/ll，则a_

7、_。解析： （1）答案：12； （2）2。点评： （1）三点共线问题借助斜率来解决，只需保证acabkk； （2）对直线平行关系的判断在一般式方程中注意系数为零的情况。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 27 页 - - - - - - - - -例 2 （1） （2006 福建文， 1）已知两条直线2yax和(2)1yax互相垂直，则a等于（）a2b1c0d1（2） （2006

8、安徽理， 7）若曲线4yx的一条切线l与直线480 xy垂直，则l的方程为（）a430 xyb450 xyc430 xyd430 xy解析： （1）答案为 d； （2）与直线480 xy垂直的直线l为40 xym，即4yx在某一点的导数为4，而34yx，所以4yx在(1 ，1) 处导数为4，此点的切线为430 xy，故选 a。点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况。题型 2：距离问题例 3 （2002 京皖春文， 8）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（）axy=0 bx+y=0 c|x|y=0 d |x|y|=0 解析：设到坐标轴距离相等的

9、点为（x，y）|x|y| |x|y|0。答案： d 点评：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径例 4 （2002 全国文， 21）已知点p 到两个定点m（ 1，0） 、n（1，0）距离的比为2，点 n 到直线 pm 的距离为1求直线pn 的方程。解析：设点p 的坐标为（ x，y） ，由题设有2|pnpm，即2222)1(2)1(yxyx。整理得x2+y26x+1=0 因为点 n 到 pm 的距离为 1，|m|2，所以 pmn30，直线 pm 的斜率为33，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - -

10、- - - 第 4 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 27 页 - - - - - - - - -直线 pm 的方程为y=33（x1）将式代入式整理得x24x10。解得 x23，x23。代入式得点p 的坐标为（ 23，13）或（ 23， 13） ； （23，13）或（ 23，13） 。直线 pn 的方程为y=x1 或 y=x+1。点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识

11、解决问题的能力 .比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想。该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度。题型 3：直线与圆的位置关系例 5 （1） （2006 安徽文， 7）直线1xy与圆2220(0)xyaya没有公共点，则a的取值范围是（）a(0,21)b( 21,21)c(21,21)d(0,21)（2） （2006 江苏理， 2）圆1)3()1(22yx的切线方程中有一个是（）axy0bxy0cx0dy0 解析： （ 1） 解析：由圆2220(0)xyaya的圆心(0, )a到直线1xy大于a，

12、且0a，选 a。点评：该题考察了直线与圆位置关系的判定。（2）直线 ax+by=022(1)(3)1xy与相切，则|3 |12ab，由排除法，选 c，本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选c,用图象法解最省事。点评：本题主要考查圆的切线的求法，直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径。直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件：圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件：直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解。例 6 （ 2006 江西理， 16）已知圆 m： （xcos ）2（ ysin ）21，直线 l：ykx，下面四个命题：（a）对任意实数k 与 ，直线 l

13、 和圆 m 相切；（b）对任意实数k 与 ，直线 l 和圆 m 有公共点；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - -（c）对任意实数，必存在实数k，使得直线l 与和圆 m 相切；（d）对任意实数k，必存在实数，使得直线l 与和圆 m 相切。其中真命题的代号是_（写出所有真命题的代号）解析：圆心坐标为（cos ，sin ）d222|k cossi

14、n|1k |sin|1k1k|sin|1（ ）（ ）故选（ b） （d）点评：该题复合了三角参数的形式，考察了分类讨论的思想。题型 4：直线与圆综合问题例 7 （1999 全国， 9）直线3x+y 23=0 截圆 x2y24 得的劣弧所对的圆心角为（）a6b4c3d2解析：如图所示：由4032322yxyx消 y 得： x23x+2=0， x1=2，x2=1。a（2，0） ，b（1，3）|ab|=22)30()12(=2 又|ob|oa|=2， aob 是等边三角形，aob=3，故选 c。点评：本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时也体现了数形结合

15、思想的简捷性。如果注意到直线ab 的倾斜角为120，则等腰oab 的底角为60.因此 aob=60.更加体现出平面几何的意义。例 8 （2006 全国 2， 16）过点（ 1，2）的直线l 将圆 (x2)2y24 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率 k。解析： 过点(1, 2)的直线l将圆22(2)4xy分成两段弧， 当劣弧所对的圆心角图精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6

16、 页，共 27 页 - - - - - - - - -最小时，直线l的斜率22k解析 (数形结合 )由图形可知点a(1, 2)在圆22(2)4xy的内部 , 圆心为o(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线loa，所以11222loakk。点评：本题主要考察数形结合思想和两条相互垂直的直线的斜率的关系，难度中等。题型 5：对称问题例 9 （89 年高考题）一束光线l 自 a（ 3， 3）发出，射到x 轴上，被x 轴反射到c：x2y24x4y70 上。() 求反射线通过圆心c 时，光线l 的方程；() 求在 x 轴上，反射点m 的范围解法一：已知圆的标准方程是(x2)2+(y2)2=1，

17、它关于 x 轴的对称圆的方程是(x2)2+(y+2)2=1。设光线 l 所在的直线的方程是y3=k(x+3)（其中斜率k 待定） ，由题设知对称圆的圆心c（ 2，-2）到这条直线的距离等于1，即 d=21|55|kk=1。整理得12k2+25k+12=0 ，解得 k= 43或 k= 34。 故所求直线方程是y 3=34(x+3)， 或 y3= 34(x+3)， 即 3x+4y+3=0 或 4x+3y+3=0。解法二：已知圆的标准方程是(x2)2+(y2)2=1，设交线l 所在的直线的方程是y-3=k( x+3)（其中斜率k 待定） ，由题意知k0，于是 l 的反射点的坐标是（kk)1(3，精品

18、学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 27 页 - - - - - - - - -0） ，因为光线的入射角等于反射角，所以反射光线l 所在直线的方程为y= k(x+kk)1 (3)，即 y+kx+3(1+k)=0 。这条直线应与已知圆相切，故圆心到直线的距离为1，即 d=21|55|kk=1。以下同解法一。点评：圆复合直线的对称问题，解题思路兼顾到直线对称性问题，重点关注对称圆的几何要素

19、，特别是圆心坐标和圆的半径。例 10已知函数f(x)=x21(x1)的图像为c1，曲线 c2与 c1关于直线y=x 对称。（1）求曲线 c2的方程 y=g(x)；（2）设函数 y=g(x)的定义域为m， x1， x2m，且 x1x2，求证 |g(x1)g(x2)|x1 x2|; （3）设 a、b 为曲线 c2上任意不同两点，证明直线ab 与直线 y=x 必相交。解析： （1）曲线 c1和 c2关于直线y=x 对称，则g(x)为 f(x)的反函数。y=x21，x2=y+1，又 x 1， x=1y，则曲线c2的方程为g(x)= 1x(x0)。（2）设 x1，x2m，且 x1x2，则 x1x20。又

20、 x10， x20，|g(x1)g(x2)|=| 11x12x|=112121xxxx221xx|x1x2|。（3）设 a(x1，y1)、b（x2，y2）为曲线 c2上任意不同两点，x1，x2m，且 x1x2，由（ 2）知， |kab|=|2121xxyy|=|)()(|2121xxxgxg1 直线 ab 的斜率 |kab|1，又直线y=x 的斜率为1，直线ab 与直线 y=x 必相交。点评：曲线对称问题应从方程与曲线的对应关系入手来处理，最终转化为点的坐标之间的对应关系。题型 6：轨迹问题例 11（ 2005山东理，22） 已知动圆过定点,02p，且与直线2px相切，其中0p。（i ）求动圆

21、圆心c的轨迹的方程；（ii ）设 a、b 是轨迹c上异于原点o的两个不同点，直线oa和ob的倾斜角分别为和，当,变化且为定值(0)时，证明直线ab恒过定点，并求出该定点的坐标。yaxob,02pfmn2px精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 27 页 - - - - - - - - -解析： （i）如图，设m为动圆圆心，,02p为记为f，过点m作直线2px的垂线， 垂足为n，由题意

22、知：mfmn即动点m到定点f与定直线2px的距离相等，由抛物线的定义知，点m的轨迹为抛物线，其中,02pf为焦点，2px为准线，所以轨迹方程为22(0)ypx p；（ii ） 如图，设1122,a x yb xy， 由题意得12xx（否则） 且12,0 x x所以直线ab的斜率存在， 设其方程为ykxb， 显然221212,22yyxxpp， 将yk x b与22(0)ypx p联 立 消 去x， 得2220k yp yp b由 韦 达 定 理 知121222,ppbyyyykk（1） 当2时， 即2时，tantan1所以121212121,0yyx xy yxx，221212204y yy

23、yp所以2124y yp由知：224pbpk所以。因此直线ab的方程可表示为2ykxpk，即(2 )0k xpy，所以直线ab恒过定点2 ,0p。（2）当2时，由，得tantan()=tantan1tantan=122122 ()4p yyy yp，将式代入上式整理化简可得：2tan2pbpk，所以22tanpbpk，此时，直线ab的方程可表示为yk x22ta nppk即精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - -

24、- - - 第 9 页，共 27 页 - - - - - - - - -2(2 )0tanpk xpy，所以直线ab恒过定点22 ,tanpp。所以由（1） （2）知，当2时，直线ab恒过定点2 ,0p，当2时直线ab恒过定点22 ,tanpp。点评：该题是圆与圆锥曲线交汇题目，考察了轨迹问题，属于难度较大的综合题目。例 12 （2005 江苏， 19）如图，圆1o 与圆2o 的半径都是1，124o o. 过动点p分别作圆2o 、 圆2o的 切 线 p mp n，（ mn，分 别 为 切 点 ）， 使 得2pmpn . 试建立适当的坐标系，并求动点p的轨迹方程。解析：以12o o 的中点 o

25、为原点，12o o 所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则1( 2 0)o， ，2(2 0)o，。由已知2pmpn ，得222pmpn 。因为两圆半径均为1，所以221212(1)popo。设()p x y，则2222(2)12(2)1xyxy，即22(6)33xy( 或221230 xyx) 。点评：本小题主要考查求轨迹方程的方法及基本运算能力。题型 7：课标创新题例 13已知实数x、y 满足1) 1()2(22yx，求xyz1的最大值与最小值。解 析 ：xy1表 示 过 点a （ 0 ， 1 ） 和 圆1)1()2(22yx上的动点 （x，y）的直线的斜率。如下图，当且仅当直线与

26、圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值。设切线方程为1kxy，即01ykx，则精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 27 页 - - - - - - - - -11|22|2kk，解得374k。因此，374374minmaxzz，点评：直线知识是解析几何的基础知识，灵活运用直线知识解题具有构思巧妙、直观性强等特点，对启迪思维大有裨益。下面举例说明其在最值问题中的巧妙运用。例

27、14设双曲线xy1的两支分别为cc12、，正三角形pqr 的三顶点位于此双曲线上。若p11，在c2上， q、r 在c1上，求顶点q、 r 的坐标。分析：正三角形pqr 中，有pqprqr， 则以p11，为圆心，pr为半径的圆与双曲线交于r、q 两点。根据两曲线方程可求出交点q、r 坐标。解析：设以 p 为圆心，prr r ()0为半径的圆的方程为：xyr11222，由xyrxy111222得：xrx221110。（ 其 中 ， 可 令txx1进行换元解之）设 q、r 两点的坐标分别为xyxy1122，则xxrx x12212111。即xxxxx xr12212212224114，同理可得：yy

28、r122221 14，且 因 为 pqr是 正 三 角 形 ， 则，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 27 页 - - - - - - - - -即rxxyyr2122122222114，得r224。代入方程xrx221110，即xx2410。由方程组xxxy24101，得：xy112323或xy222323，所以，所求q、r 的坐标分别为23232323，点评：圆是最简单的

29、二次曲线，它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。对一些数学问题，若能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而使问题得解，起到铺路搭桥的作用。五思维总结1关于直线对称问题：（1）关于 l ：ax by c 0 对称问题：不论点，直线与曲线关于l 对称问题总可以转化为点关于l 对称问题，因为对称是由平分与垂直两部分组成，如求p（ x0，y0）关于 l ：ax by c 0 对称点 q（x1，y1） 有1010 xxyyba（ 1）与 a2210 xxb2210yyc 0。（2）解出 x1与 y1；若求 c1：曲线 f（x ，y） 0（包括直线）关于l ： ax byc10对称的曲线c

30、2，由上面的 （1） 、 （ 2）中求出 x0g1（x1，y1）与 y0 g2（ x1，y1） ，然后代入c1：f g1（x1，y1） ，g2（x2，y2）0，就得到关于l 对称的曲线c2方程： f g1（x ，y） ， g2（ x ，y）0。（3）若 l ：ax by c 0 中的 x ，y 项系数 |a|1，|b |1就可以用直接代入解之，尤其是选择填空题。如曲线c1：y24 x 2 关于 l ：x y 40 对称的曲线 l2的方程为： (x 4) 24（y 4） 2即 y 用 x 4 代， x 用 y 4 代，这样就比较简单了。（4）解有关入射光线与反射光线问题就可以用对称问题来解决。点

31、与圆位置关系：p（x0，y0）和圆 c ：(x a) 2 (y b) 2 r2。点 p 在圆 c 外有 (x0a) 2(y0b) 2r2；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 27 页 - - - - - - - - -点 p 在圆上： (x0a) 2(y0b) 2r2；点 p 在圆内： (x0a) 2(y0b) 2r2。3直线与圆的位置关系：l ：f1（x ，y） 0圆 c ：

32、f2（x ，y） 0 消 y 得 f（x2）0。（1）直线与圆相交：f（x ，y） 0 中0；或圆心到直线距离d r 。直 线 与 圆 相 交 的 相 关 问 题 ： 弦 长 |ab| 21 k2|x1 x2| 21k2212214)(xxxx， 或|ab|222dr； 弦中点坐标 （221xx，221yy） ；弦中点轨迹方程。（2）直线与圆相切：f（x）0 中 0，或 d r 其相关问题是切线方程如p（x0，y0）是圆 x2y2r2上的点，过p 的切线方程为x0 x y0y r2，其二是圆外点 p （x0， y0） 向圆到两条切线的切线长为22020)()(rbyax或22020ryx；其三

33、是 p（x0，y0）为圆 x2y2r2外一点引两条切线，有两个切点a ，b ，过 a ，b 的直线方程为x0 x y0y r2。（3）直线与圆相离：f（x） 0 中 0；或 d r ；主要是圆上的点到直线距离d的最大值与最小值，设q 为圆 c ：(x a) 2(y b) 2 r2上任一点， |pq|max|pc|r ；|pq|min|pq|r ，是利用图形的几何意义而不是列出距离的解析式求最值4 圆与圆的位置关系：依平面几何的圆心距|o1o2|与两半径 r1， r2的和差关系判定（1）设 o1圆心 o1，半径 r1， o2圆心 o2，半径 r2则：当 r1r2|o1o2|时 o1与 o2外切；

34、当 |r1r2| |o1o2|时，两圆相切；当|r1 r2|o1o2|r1r2时两圆相交；当|r1r2|o1o2|时两圆内含；当r1r2|o1o2|时两圆外离。（2）设 o1：x2 y2d1x e1y f10， o2：x2y2d2x e2y f20。两圆相交a 、b 两点， 其公共弦所在直线方程为（d1d2）x （e1e2）y f1f20；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 2

35、7 页 - - - - - - - - -经过两圆的交点的圆系方程为x2y2 d1x e1y f1 （x2 y2d2x e2y f2） 0（不包括 o2方程） 。普通高中课程标准实验教科书数学人教版 高三新数学第一轮复习教案（讲座13）直线、圆的方程一课标要求：1直线与方程（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；（3）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式） ，体会斜截式与一次函数的关系；2圆与方程回顾确定圆的几何要素，在平

36、面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。二命题走向直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。预测 2007 年对本讲的考察是：（1）2 道选择或填空，解答题多与其他知识联合考察，本讲对于数形结合思想的考察也会是一个出题方向；（2）热点问题是直线的倾斜角和斜率、直线的几种方程形式和求圆的方程。三要点精讲1倾斜角： 一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为,0。2斜率： 当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线

37、的斜率，即k=tan;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。过两点 p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式:k=t an1212xxyy（若 x1x2，则直线 p1p2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900） 。4直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。名称方程说明适用条件斜截式y=kx+bk斜率倾斜角为90的直线不精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可

38、选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 27 页 - - - - - - - - -b纵截距能用此式点斜式y-y0=k(x-x0) (x0，y0)直线上已知点， k斜率倾斜角为90的直线不能用此式两点式121yyyy=121xxxx(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式ax+by=1 a直线的横截距b直线的纵截距过（ 0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式ax+by+c=0 ba，ac，bc分别为斜率、横截距和纵截距a、b 不能同时为零直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的

39、直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。5圆的方程圆心为),(bac，半径为 r 的圆的标准方程为：)0()()(222rrbyax。特殊地，当0ba时，圆心在原点的圆的方程为：222ryx。圆 的 一 般 方 程022feydxyx， 圆 心 为 点)2,2(ed， 半 径2422fedr，其中0422fed。二元二次方程022feydxcybxyax，表示圆的方程的充要条件是：、2x项2y项的系数相同且不为0，即0ca；、没有xy 项，即b=0；、0422afed。四典例解析题型 1：直线的倾斜角例 1 （ 1995 全国， 5）

40、图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）ak1k2k3 bk3k1k2ck3k2k1 dk1k3k2 答案： d 图精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 27 页 - - - - - - - - -解析：直线l1的倾斜角 1是钝角，故k10，直线l2与 l3的倾斜角 2、3均为锐角，且 23，所以 k2k30，因此 k2k3k1，故应选d。点评：本题重点考查

41、直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力。例 2过点 p（2，1）作直线l分别交 x 轴、 y 轴的正半轴于a、b 两点，求papb2 |的值最小时直线l的方程。解析：依题意作图，设bao，则papb12sincos，papb222442sincossincossin，当sin21，即45时papb2 |的值最小，此时直线l的倾斜角为135，斜率kltan1351。故直线l的方程为yx1122，即xy30。点评：求直线方程是解析几何的基础，也是重要的题型。解这类题除用到有关概念和直线方程的五种形式外，还要用到一些技巧。题型 2：斜率公式及应用例 3 （1） （05 年江西高考）设实数x，y

42、 满足xyxyy20240230，则yx的最大值是_。（2） （1997 全国文， 24）已知过原点o 的一条直线与函数y=log8x 的图象交于a、b两点，分别过点a、b 作 y 轴的平行线与函数ylog2x 的图象交于c、d 两点。（1）证明点c、d 和原点 o 在同一条直线上。（2）当 bc 平行于 x 轴时，求点a 的坐标。解析： （1）如图， 实数 x，y 满足的区域为图中阴影部分（包括边界），而yxyx00表示点（ x，y）与原点连线的斜率，则直线ao 的斜率最大，其中a 点坐标为132，此时koa32，所以yx的最大值是32。y b p（2，1）o a x 精品学习资料 可选择p

43、 d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 27 页 - - - - - - - - -点评：本题还可以设yxk，则ykx，斜率k 的最大值即为yx的最大值，但求解颇费周折。（2） 证明：设 a、 b 的横坐标分别为x1， x2， 由题设知x11，x21， 点 a （x1， log8x1） ，b（x2， log8x2）. 因为 a、b 在过点 o 的直线上，所以228118loglogxxxx，又点 c、d

44、 的坐标分别为（x1，log2x1） ， （x2，log2x2）由于 log2x12loglog818x3log8x1，log2x22loglog828x3log8x2，所以 oc 的斜率和od 的斜率分别为228222118112log3log,log3logxxxxkxxxxkodoc。由此得 kockod，即 o、c、 d 在同一条直线上。由 bc 平行于 x 轴，有 log2x1log8x2，解得x2x13将其代入228118loglogxxxx，得 x13log8x13x1log8x1. 由于 x1 1， 知 log8x10， 故 x133x1， x13， 于是点 a 的坐标为 （3

45、， log83）. 点评：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力。例 4 （05 年全国高考）当02x时，函数的最小值是（）a2 bc4 d4 3解析：原式化简为，则 y 看作点 a（0， 5）与点bxxsincos232，的连线的斜率。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 27 页 - - - - - - - - -

46、因为点 b 的轨迹是xxyxxsincos23202即过 a 作直线ykx5，代入上式，由相切（0）可求出k4，由图象知k 的最小值是4，故选 c。点评：也可用三角函数公式变换求最值或用求导的方法求最值等。但将问题转化为直线与椭圆的位置关系使问题解决的十分准确与清晰。题型 3：直线方程例 5已知直线的点斜式方程为yx1342，求该直线另外三种特殊形式的方程。解 析 ： （ 1） 将yx1342移 项 、 展 开 括 号 后 合 并 ， 即 得 斜 截 式 方 程。（2）因为点（ 2，1） 、 （0，52）均满足方程yx1342，故它们为直线上的两点。由两点式方程得：yx1521202即yx13

47、222（3）由yx3452知：直线在y 轴上的截距b52又令y0，得x103故直线的截距式方程xy103521点评：直线方程的四种特殊形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同表现形式，要掌握好它们之间的互化。在解具体问题时，要根据问题的条件、结论，灵活恰当地选用公式，使问题解得简捷、明了。例 6直线l经过点 p（-5，-4） ，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l的方程。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - -

48、 - - - - - - - 第 18 页，共 27 页 - - - - - - - - -解析：设所求直线l的方程为，直线l过点 p（-5，-4） ，541ab，即45abab。又由已知有125a b，即ab10，解方程组4510ababab，得：ab524或ab52故所求直线l的方程为：xy5241，或xy521。即85200 xy，或25100 xy点评：要求l的方程，须先求截距a、b 的值，而求截距的方法也有三种：（1）从点的坐标a，0或0，b中直接观察出来；（2）由斜截式或截距式方程确定截距；（3）在其他形式的直线方程中，令x0得y轴上的截距b；令y0得出 x 轴上的截距 a。总之，

49、在求直线方程时，设计合理的运算途径比训练提高运算能力更为重要。解题时善于观察，勤于思考，常常能起到事半功倍的效果。题型 3：直线方程综合问题例 5 （2003 北京春理， 12）在直角坐标系xoy 中，已知 aob 三边所在直线的方程分别为 x=0，y=0，2x+3y=30，则 aob 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）a95 b91 c88 d75 答案： b解析一：由y=1032x（0 x15，xn）转化为求满足不等式y1032x（0 x15，xn）所有整数 y 的值 .然后再求其总数.令 x=0，y 有 11 个整数， x=1，y 有 10 个，x=2 或 x=3 时

50、，y 分别有 9 个，x=4 时，y 有 8 个，x=5 或 6 时，y 分别有 7 个，类推：x=13时 y 有 2 个，x=14 或 15 时， y 分别有 1 个，共 91 个整点 .故选 b。解析二：将x=0，y=0 和 2x+3y=30 所围成的三角形补成一个矩形 .如图所示。对角线上共有6 个整点，矩形中（包括边界） 共有 163 11=176.图精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - -

51、第 19 页，共 27 页 - - - - - - - - -因此所求 aob 内部和边上的整点共有26176=91（个）点评：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径。例 6 （2003 京春理， 22）已知动圆过定点p（1，0） ，且与定直线l：x=1 相切，点 c 在 l 上。（）求动圆圆心的轨迹m 的方程；（）设过点p，且斜率为3的直线与曲线m 相交于 a、b 两点。（i）问： abc 能否为正三角形？若能，求点c 的坐标；若不能，说明理由；（ii）当 abc 为钝角三角形时，求这种点c 的纵坐标的取值范围。（）解法一，依题意

52、，曲线m 是以点 p 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线 m 的方程为y2=4x. 解法二：设m（x， y） ，依题意有 |mp|=|mn|，所以 |x+1|=22)1(yx。化简得： y2=4x。（） （i）由题意得，直线ab 的方程为y=3（ x1）. 由.4),1(32xyxy消 y 得 3x210 x+3=0，解得 x1=31，x2=3。所以 a 点坐标为（332,31） ，b 点坐标为（ 3， 23） ，|ab|=x1+x2+2=316。假设存在点c（ 1，y） ，使 abc 为正三角形，则|bc|=|ab|且|ac|=|ab|，即.)316()32()131(,)316()3

53、2()13(222222yy图精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 27 页 - - - - - - - - -由得42+（y+23）2=（34）2+（y332）2，解得 y=9314。但 y=9314不符合，所以由，组成的方程组无解。因此，直线l 上不存在点c，使得 abc 是正三角形。（ii） 解法一：设 c （ 1， y） 使 abc 成钝角三角形， 由.1),1(3xxy

54、得 y=23，即当点 c 的坐标为（ 1，23）时， a、b、c 三点共线，故y23。又|ac|2=（ 131）2+（ y332）2=334928y+y2，|bc|2=（3+1）2+（y+23）2=28+43y+y2，|ab|2=（316）2=9256。当 cab 为钝角时， cosa=|2|222acabbcacab|ac|2+|ab|2，即9256334928342822yyyy，即 y392时， cab 为钝角。当|ac|2|bc|2+|ab|2，即9256342833492822yyyy，即 y|ac|2+|bc|2，即2234283349289256yyyy，即0)32( ,0343

55、3422yyy。该不等式无解，所以acb 不可能为钝角。因 此 ， 当 abc为 钝 角 三 角 形 时 ， 点c的 纵 坐 标y的 取 值 范 围 是)32(9323310yyy或。解法二：以ab 为直径的圆的方程为（x35）2+（y+332）2=（38）2。圆心（332,35）到直线l：x= 1的距离为38，所以，以ab 为直径的圆与直线l 相切于点 g（ 1，332） 。当直线 l 上的 c 点与 g 重合时， acb 为直角，当c 与 g 点不重合，且a、b、c三点不共线时，acb 为锐角，即abc 中， acb 不可能是钝角。因此，要使 abc 为钝角三角形，只可能是cab 或 cb

56、a 为钝角。过点 a 且与 ab 垂直的直线方程为)31(33332xy。令 x=1 得 y=932。过点 b 且与 ab 垂直的直线方程为y+2333（x3） 。令 x=1 得 y=3310。又由.1),1(3xxy解得 y=23，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 27 页 - - - - - - - - -所以，当点c 的坐标为（1，23）时， a、b、c 三点共线，不构

57、成三角形。因此，当 abc 为钝角三角形时，点c 的纵坐标y 的取值范围是y932（y23） 。点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力。比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度。题型 4：圆的方程例 7 （ 1）已知 abc 的三个项点坐标分别是a（4，1） ，b（6， 3） ，c（ 3，0） ，求 abc 外接圆的方程。分析：如果设圆的标

58、准方程222()()xaybr，将三个顶点坐标分别代入，即可确定出三个独立参数a，b，r，写出圆的标准方程；如果注意到 abc 外接圆的圆心是abc 三边垂直平分线的交点，由此可求圆心坐标和半径，也可以写出圆的标准方程。解法一：设所求圆的方程是222()()xaybr因为 a（4，1） ，b（6， 3） ，c（ 3，0）都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，于是222222222(4)(1),(6)( 3),( 3)(0).abrabrabr可解得21,3,25.abr所以 abc 的外接圆的方程是22(1)(3)25xy。解法二： 因为 abc 外接圆的圆心既在ab 的垂直平分线上，也在 bc

59、 的垂直平分线上，所以先求ab、bc 的垂直平分线方程，求得的交点坐标就是圆心坐标。31264abk，0( 3)1363bck，线段ab 的中点为（ 5， 1） ，线段bc 的中点为33(,)22，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 27 页 - - - - - - - - -ab 的垂直平分线方程为11(5)2yx，bc 的垂直平分线方程333()22yx解由联立的方程组可得

60、1,3.xy abc 外接圆的圆心为（1， 3） ，半径22|(41)(13)5rae。故 abc 外接圆的方程是22(1)(3)25xy点评：解法一用的是“待定系数法”，解法二利用了圆的几何性质。（2）求过 a（4，1） ，b（6， 3） ，c（ 3，0）三点的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。分析：细心的同学已经发现，本题与上节例1 是相同的，在那里我们用了两种方法求圆的方程现在再尝试用圆的一般方程求解（解法三），可以比较一下哪种方法简捷。解析：设圆的方程为220 xydxeyf因为三点a（4， 1） ，b（6， 3） ，c（ 3，0）都在圆上，所以它们的坐标都是方程的解，将它们的坐